Mechanik: Eine Einführung in Experiment und Theorie (Springer-Lehrbuch)

573 Pages·2004·12.63 MB·German

by  S. Brandt

Springer-Lehrbuch
·
S.Brandt H.D. Dahmen
Mechanik
¨
Eine Einfuhrung in Experiment und Theorie
VierteAuflage
mit270Abbildungen,10Tabellen,52Experimenten
¨
und145AufgabenmitHinweisenundLosungen
123
ProfessorDr.SiegmundBrandt
e-mail:[email protected]
ProfessorDr.HansDieterDahmen
e-mail:[email protected]
FachbereichPhysik
Universit¨atSiegen
57068Siegen
Deutschland
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detailliertebibliografischeDatensindimInternetüber<http://dnb.ddb.de>abrufbar.
ISBN3-540-21666-9 4.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
ISBN3-540-59319-5 3.Aufl.SpringerBerlinHeidelbergNewYork
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Vorwort zur vierten Auflage
Der vorliegende Band ist eine Einführung in die Mechanik, die die grund-
legenden experimentellen Befunde und die theoretischen Methoden zur Be-
schreibung und zum Verständnis der physikalischen Vorgänge und ihrer Ge-
setzmäßigkeitengleichgewichtigbehandelt.EntsprechenddieserZielsetzung
istderBandgemeinsamvoneinemexperimentellenundeinemtheoretischen
Physiker geschrieben worden. Der Inhalt dieses Bandes wird in einem Se-
mester behandelt. Der Stoffumfang entspricht vier Vorlesungsstundenin der
WocheundzusätzlichdreiErgänzungsstundeninkleinenGruppen.DerBand
wendetsichanStudentenderPhysik,MathematikundChemieimGrundstu-
dium.
Experimente von grundsätzlicher oder beispielhafter Bedeutung werden
besondersausführlichundquantitativbeschrieben.MitHilfevonstroboskopi-
schen Aufnahmensind Bewegungsabläufeoft photographischso dargestellt,
daß der Leser quantitative Messungen an den Abbildungen nachvollziehen
kann. Ergänzt wurde das Beispielmaterial in vielen Fällen durch Computer-
zeichnungenphysikalischerVorgänge,dieebenfallsstrengquantitativsind.
Die theoretischeBegriffsbildunggeht nicht wesentlichüber die der klas-
sischenAnfängerausbildunghinaus,wirdjedochoftstrengergefaßtundver-
tieft. Eine knappe Darstellung wird durch konsequente Benutzung von Vek-
torschreibweise und gelegentlich der Tensorschreibweise erreicht. Die nöti-
gen mathematischen Hilfsmittel werden in einem ausführlichen Anhang be-
reitgestellt und an vielen Beispielen veranschaulicht. Vorausgesetzt werden
nurelementareKenntnissederDifferential-undIntegralrechnung.
Für die vierte Auflage wurde die Mechanik sorgfältig durchgesehen und
überarbeitet. Ein unabhängiger Band Elektrodynamik (ebenfalls in vierter
Auflage)erscheintgleichzeitig.
Wir danken Herrn T. Stroh herzlich für seine Hilfe beim Computersatz
dieserAuflage.
Siegen,Mai2004 S.Brandt H.D.Dahmen
Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Massenpunkt.VektorenvonOrt,Geschwindigkeit
undBeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 GleichförmiggeradlinigeBewegung . . . . . . . 4
1.2.2 GleichmäßigbeschleunigteBewegung . . . . . . 4
1.2.3 GleichförmigeKreisbewegung . . . . . . . . . . 6
1.2.4 SuperpositionvonBewegungen . . . . . . . . . 8
1.3 Einheitenvon Länge und Zeit. Dimensionen.
Einheitensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 DynamikeineseinzelnenMassenpunktes . . . . . . . . . . . 13
2.1 SchwereMasse.Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 KraftalsVektorgröße . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 BeispielevonKräften,Gewicht,Reibungskraft,
Federkraft.Reduzierungder Reibung
durchLuftkissen . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 ErstesNewtonschesGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 ZweitesNewtonschesGesetz.TrägeMasse . . . . . . . . 21
2.5 DrittesNewtonschesGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Anwendungen:Federpendel.MathematischesPendel.
FallundWurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Federpendel
(eindimensionalerharmonischerOszillator) . . . 28
2.6.2 MathematischesPendel . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.3 FallundWurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6.4 WurfmitReibung . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VIII Inhaltsverzeichnis
2.9 Kraftfelder.Feldstärke.Gravitationsgesetz . . . . . . . . 44
2.10 Potential.PotentielleEnergie . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.11 KonservativesKraftfeldalsGradientdesPotentialfeldes . 53
2.12 KinetischeEnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.13 EnergieerhaltungssatzfürkonservativeKraftfelder . . . . 55
2.14 EinheitenderEnergie.LeistungundWirkung . . . . . . . 57
2.15 DrehimpulsundDrehmoment . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.16 BewegungimZentralfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.17 BewegungimzentralenGravitationsfeld . . . . . . . . . 59
2.18 BeschreibungderPlanetenbewegungimImpulsraum . . . 66
2.19 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 DynamikmehrererMassenpunkte . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1 Impuls eines Systems zweier Massenpunkte.
Schwerpunkt.Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . 73
3.2 VerallgemeinerungaufmehrereMassenpunkte.
Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Drehimpuls.Drehimpulserhaltungssatz . . . . . . . . . . 84
3.5 Zweikörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5.1 Schwerpunkt-undRelativkoordinaten . . . . . . 86
3.5.2 Planetenbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.3 ElastischerStoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6 Mehrkörperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.1 NumerischeLösung . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6.2 BeispielezumDreikörperproblem . . . . . . . . 94
3.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 StarrerKörper.FesteAchsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.1 Zusammenhangzwischen Geschwindigkeit
undWinkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Impuls.Zentripetalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 DrehimpulsundTrägheitsmoment.Bewegungsgleichung . 102
4.4 BewegungimSchwerefeld.PhysikalischesPendel . . . . 106
4.5 SteinerscherSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Rotationsenergie.Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . 111
4.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1 Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 RotationdesKoordinatensystems . . . . . . . . . . . . . 121
5.3 Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Inhaltsverzeichnis IX
6 Nichtinertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1 BeschleunigtesBezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.2 ZeitabhängigeRotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 GleichförmigrotierendesBezugssystem.Zentrifugalkraft.
Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 StarrerKörper.BeweglicheAchsen . . . . . . . . . . . . . . 148
7.1 DieFreiheitsgradedesstarrenKörpers . . . . . . . . . . 148
7.2 EulerschesTheorem.ZeitableitungbeliebigerVektoren . . 151
7.3 DrehimpulsundTrägheitsmomentdesstarrenKörpers
beiRotationumeinenfestenPunkt . . . . . . . . . . . . 152
7.4 Trägheitstensorenverschiedener Körper.
Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5 DrehimpulsundTrägheitsmomentumfesteAchsen . . . . 161
7.6 Trägheitsellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.7 SteinerscherSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.8 Bewegungsgleichungendes starren Körpers.
Drehimpulserhaltungssatz.EulerscheGleichungen . . . . 165
7.9 Kinetische Energie des starren Körpers.
Translationsenergie.Rotationsenergie.Energieerhaltungssatz 168
7.10 KräftefreierKugelkreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.11 KräftefreieRotationumeineHauptträgheitsachse . . . . . 172
7.12 KräftefreieRotationum eine beliebigeAchse.
PoinsotscheKonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.13 SymmetrischerKreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.14 Kreisel unter der Einwirkung von Kräften.
Larmor-Präzession . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.15 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 UngedämpfteSchwingung.KomplexeSchreibweise . . . 190
8.3 Phasenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4 GedämpfteSchwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.5 ErzwungeneSchwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.5.1 ErregterOszillator.Schwingungsgleichung . . . . 201
8.5.2 LösungderSchwingungsgleichung . . . . . . . . 204
8.5.3 StationäreSchwingung . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5.4 Energie-undLeistungsbilanz.Resonanz . . . . . 209
8.5.5 Einschwingvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5.6 GrenzfallverschwindenderDämpfung.Schwebung 217
8.5.7 Resonanzkatastrophe . . . . . . . . . . . . . . . 219
X Inhaltsverzeichnis
8.6 GekoppelteOszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9 NichtlineareDynamik.DeterministischesChaos . . . . . . . 233
9.1 Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2 LineareBewegungsgleichung.Stabilität.Fixpunkte . . . . 239
9.3 NichtlineareBewegungsgleichung.Linearisierung . . . . 249
9.4 Grenzmengen.Attraktoren.Poincaré-Darstellung . . . . . 254
9.5 StabileundseltsameAttraktoren.DeterministischesChaos 258
9.6 Feigenbaum-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.7 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10 Wellenaufein-undzweidimensionalenTrägern . . . . . . . 270
10.1 LongitudinaleWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.2 TransversaleWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.3 AllgemeineLösungderWellengleichung . . . . . . . . . 276
10.4 HarmonischeWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.5 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.6 EnergiedichteundEnergiestromdichte . . . . . . . . . . 281
10.7 Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.8 StehendeWellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.9 LaufendeWelleaufeingespannterSaite . . . . . . . . . . 296
10.10Membranschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.11Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.1 ElastischeKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.2 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.3 DehnungundQuerkontraktion . . . . . . . . . . . . . . 312
11.4 Spannungs- und Verzerrungstensor
fürdenlängsverzerrtenQuader . . . . . . . . . . . . . . 314
11.5 LokalerVerzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.6 LokalerSpannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.7 Kraftdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11.8 LokalesHookeschesGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 332
11.9 Scherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.10Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
11.11Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.12Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
Inhaltsverzeichnis XI
12 WelleninelastischenMedien . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
12.1 EulerscheBewegungsgleichungelastischerMedien . . . . 349
12.2 ZerlegunginQuell-undWirbelfeld . . . . . . . . . . . . 351
12.3 Das Quellfeld. Longitudinalwellen
imunendlichausgedehntenMedium . . . . . . . . . . . 352
12.4 Das Wirbelfeld. Transversalwellen
imunendlichausgedehntenMedium . . . . . . . . . . . 355
12.5 Verzerrungs- und Spannungstensoren
vonTransversal-undLongitudinalwellen . . . . . . . . . 357
12.6 Reflexion und Brechung
derTransversal-undLongitudinalwelleanderOberfläche
einesMediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12.7 Transversal-undLongitudinalwellenineinerMaterialplatte 364
12.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13 Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
13.1 DeformationeinesFlüssigkeitselementes . . . . . . . . . 372
13.2 Rotations-undVerzerrungsgeschwindigkeitstensor . . . . 374
13.3 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13.4 KonservativeäußereundinnereKräfte . . . . . . . . . . 379
13.5 IdealeFlüssigkeiten.EulerscheBewegungsgleichung . . . 382
13.6 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.7 Gleichförmig rotierende, inkompressible,
idealeFlüssigkeitimSchwerefeld . . . . . . . . . . . . . 386
13.8 StationäreStrömungeinerinkompressiblenFlüssigkeit.
Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.9 Energiesatzfür die nichtstationäreStrömung
deridealenFlüssigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.10SpannungstensorderReibungeinerzähenFlüssigkeit.
StokesschesReibungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 396
13.11Navier–Stokes-Gleichung.Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . 400
13.12StrömungdurchRöhren.Hagen–Poiseuille-Gesetz . . . . 402
13.13Reibungswiderstand einer Kugel
ineinerzähenFlüssigkeit.StokesschesReibungsgesetz . . 405
13.14Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Anhang
A Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
A.1 BegriffdesVektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
A.2 VektoralgebrainkoordinatenfreierSchreibweise . . . . . 409
A.2.1 MultiplikationeinesVektorsmiteinerZahl . . . 409
A.2.2 AdditionundSubtraktionvonVektoren . . . . . 409