Mechanik der Kontinua

210 Pages·1956·6.45 MB·German

by  Prof. Dr. G. Hamel (auth.)

MECHANIK DER KONTINUA
Von
t
Prof. Dr. G. HAMEL
Herausgegeben von
Dr.-Ing. ISTVAN SZABO
o. Professor an der Technischen Universität Berlin-Charlottenburg
Mit 65 Bildern· 1956
B. G. TEUBNER VERLAGSGESELLSOHAFT . STUTTGART
ISBN 978-3-519-02025-7 ISBN 978-3-663-01402-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01402-7
Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des auszug3weisen Nachdruckes
und der fotomechanischen Wiedergabe, vorbehalten
©
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft mbH, Stuttgart 1956
Softcover reprint of the hardcover I st edition 1956
VORWORT
Dem großen Lehrmeister der Mechanik, Georg Hamei, war es vergönnt, vor seinem
Tode auch noch den letzten, handgeschriebenen Teil seiner "Mechanik der Kon
tinua" durchzusehen. Der weitaus größte Teil lag schon in Maschinenschrift vor,
die dazugehörigen Abbildungen waren gezeichnet. Ich darf vorausschicken, daß
die Bitte und Anregung an Hamei, diesen, von allen seinen Schülern so sehr
geschätzten und von ihm selbst wohl am meisten geliebten Teil seiner Vorlesungen
in Buchform erscheinen zu lassen, von mir ausgegangen ist. Er griff diesen Gedanken
freudig auf, und in Landshut, wo Hamel seine letzten Lebensjahre verbrachte,
wurde von Herrn Studienrat Käufi aus Vorlesungsaufzeichnungen und nach
Diktaten ein handgeschriebenes Manuskript fertiggestellt, von Hamel durch
gelesen und mir - wie er schrieb - "aktiv Lehrendem" übergeben, um "kritisch
gelesen zu werden". Bei der Durchsicht und den anschließenden Änderungen
unterstützte mich Herr Dipl.-Math. Andre mit großer Gewissenhaftigkeit und
mit vorzüglichen und kritischen Sachkenntnissen; er hat auch sämtliche Ablei
tungen und Beispiele noch einmal durchgerechnet und schließlich das maschinen
geschriebene Manuskript fertiggestellt.
In persönlichen Unterhaltungen und in der Korrespondenz war es mit Hamel ver
einbart, daß wir das maschinengeschriebene Exemplar des Werkes noch einmal
einer "Generaldurchsicht" unterziehen sollten, um eventuelle Änderungen und
insbesondere Kürzungen zu erwägen; wegen Hameis Tod wurde diese gemeinsam
geplante Arbeit nicht mehr durchgeführt. Als ich auf Aufforderung des V erlages
die Herausgabe übernahm, verbot nicht allein die Pietät, sondern auch die eigene
Überzeugung es mir, größere Änderungen oder Kürzungen vorzunehmen. Über
Inhalt und Stoffeinteilung findet der Leser das Notwendige in dem Inhaltsver
zeichnis. Die Art der Darstellung ist nicht anders, wie wir sie in Hameis anderen
zusammenfassenden Werken - wie "Grundbegriffe der Mechanik", "Theoretische
Mechanik" - in unübertrefflicher Weise finden: Klarheit und Sauberkeit in den
Grundlagen; souveräne Beherrschung des Stoffes; Weiterförderung bekannter
Ergebnisse durch neue, originelle Ideen; Anregungen zum Weiterforschen;
Literaturhinweise auf älteste und modernste Arbeiten.
Hamel war ein Schüler der Universität und wurde ein großer Lehrer der Tech
nischen Hochschulen. Bei der'Erwähnung dieser Tatsache sei mir erlaubt, auf eine
andere hinzuweisen: Die Vorlesungen der Mechanik an den Universitäten unter-
4 Vorwort
schieden sich wesentlich von denen .an den Technischen Hochschulen, und ich
meine, daß hier schon mit Rücksicht auf die Probleme der Praxis, denen die Hörer
später gegenüberstehen werden, eine Annäherung der beiden Standpunkte ange
strebt werden müßte. Für das große und in der Praxis immer bedeutungsvoller
werdende Gebiet der Mechanik der Kontinua ist das vorliegende Werk von Hamel
eine ideale Brücke!
Zum Schluß möchte ich noch einmal auf die wesentlichen Beiträge zum Gelingen
des Werkes hinweisen, die von den Herren Käufl. und Andre geleistet wurden;
ihnen und der Deutschen Forschungsgemeinschaft, die die Mittel zur Beschäftigung
von Herrn Andre und später für Herrn cand. math. Morgenstern, dessen Hilfe bei
den Korrekturen mir sehr nützlich war, zur Verfügung gestellt hat, gilt mein
besonderer Dank. Die Zusammenarbeit mit dem Teubner Verlag war in jeder
Hinsicht eine dankenswert erfreuliche.
Bad Neuenahr, im Herbst 1955 Istvan Szabo
INHALTSVERZEICHNI S
1. Theorie der idealen Flüssigkeiten ............................................. 9
§ 1. Die Grundlagen .......................................................... 9
1. Der Energiesatz der Mechanik und der Hauptsatz der Thermodynamik. . . . . 9
2. Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Die sogenannte Kontinuitätsgleichung; die Erhaltung der Masse ........... 11
4. Die Grundgleichung der Mechanik ..................................... 13
5. Die Zustandsgleichung ............................................... 14
6. Barotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7. Stationäre Prozesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8. Die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . 18
9. Die drei Fundamentalsätze der Mechanik in der Hydromechanik. . . .. . . .. .. 20
10. Verhältnis zur Thermodynamik. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
11. Eine Umformung der Fundamentalsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
12. Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
§ 2. Eindimensionale Luftbewegung : Schall und Knall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
13. Der Schall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
14. Die exakte Methode nach D'Alembert . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
15. Die Methode der Partikularlösungen von Daniel Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
16. Eine exakte Sonderlösung ............................................ 32
17. Die allgemeine strenge Lösung nach Riemann ........................... 34
18. Die Bedeutung von r und 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 37
19. Zur Integration der partiellen Differentialgleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
20. Die Methode nach Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. 41
21. Verdichtungsstöße .................................................. " 44
§ 3. Potentialströmungen ohne freie Oberflächen ................................. 46
22. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
23. Ein besonders wichtiger Spezialfall : Die Inkompressibilität . . . . . . . . . . . . . . .. 47
24. Ebene Bewegungen .................................................. 48
25. Singuläre Stellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
26. Der umströmte Kreiszylinder. Erste Methode. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
27. Weiterbildung durch Joukowski und Kutta. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
28. Eine zweite Methode: Die Singularitätenmethode ........................ 56
29. Eine dritte Methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57
30. Berechnung des Widerstandes ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
31. Widerstand einer bewegten Kugel in ruhender Flüssigkeit. . . . . . . . . . . . . . . .. 61
§ 4. Ebene Potentialströmungen mit freien Oberflächen ........................... 63
32. Das Ausfiußproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
33. Fortsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
34. Stationäre Strömung um die ebene Platte nach Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . .. 68
35. Fortsetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
36. Ebene Potentialwellen nach Airy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
37. Zwei Sonderfälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74
6 Inhaltsverzeichnis
§ 5. Wirbelbewegung idealer Flüssigkeiten (Lagrange und Heimholtz) ............... 75
38. Mathematische Sätze ............. , ................ '" . . . . . . .... . . . . .. 75
39. Berechnung von U aus rot U • . . . . . • • • • • . . . . . . • • • • . . • • • . • • • • . . • . • . . • • • . . 76
40. Der zweite, physikalische Satz von Helmholtz ......................... " 79
41. Die Wirkung paralleler Wirbelfäden aufeinander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
42. Beispiele .......................................................... " 82
43. Die v. Karmansche Wil'belstraße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
44. Körper und Wirbelstraße ............................................ " 86
45. Helmholtz' Wirbelringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
46. Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
47. Das Lagrangesche Integral ....... , .................................. " 94
48. Die Gerstnerschen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
§ 6. Zweidimensionale, stationäre Bewegungen kompressibler Flüssigkeiten .......... 98
49. Die Grundgleichungen .................................. : . . . . . . . . . . . . . 9S
50. Wirbelbewegung ................................................... " 99
§ 7. Die Potentialbewegung ................................................... 100
51. Die Grundgleichungen .. , ............................................. 100
52. Eine zweite Methode .................................................. 102
53. Transformationen ... , ................ , ............................... 103
54. Genauere Bestimmung der Sonderlösung .............................. " 104
55. Die Integralfiächen von Nr. 54 als abwickelbare Flächen (Torsen) .......... 106
56. Legendresche Transformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108
57. Die Gleichungen von Molenbroek und Tschapligin ....................... 109
58. Partikularlösungen ................................................. " 111
59. Grenzlinien und Machsches Netz ..................................... " 112
60. Die Kurven des Hauptnetzes als Epizykloiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114
61. Durchrechnung für den Fall der Sonderlösung von Nr. 54 ................. 115
62. Lösung von Tschapligin ................· ............................... 116
63. Benutzung komplexer Variabler ....................................... 119
II. Zähe Flüssigkeiten ......................................................... 123
§ 8. Die Navier-Stokesschen Gleichungen ....................................... 123
64. Die Laminarströmung nach Hagen und Poiseuille (1838--1840) ............ 123
65. Die Zähigkeitsziffer ...... '" ...... , ................................. " 125
66. Turbulenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126
67. Rauhe Rohre und Schlüpfen ........ " ................................. 127
68. Ableitung der allgemeinen Gleichungen von Navier und Stokes ............ 128
69. Der Energiesatz ..................................................... 132
70. Vollständiger mechanisch.thermodynamischer Ansatz für homogene isotrope
Gase bei Ausschluß von Wärmestrahlung .................. , ............. 133
71. Modelltheorie ....................................................... 135
72. Ähnlichkeitsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 137
73. Parameterfreie Differentialgleichungen ................................ " 141
74. Grenzübergang zu großen Reynoldsschen Zahlen .. , ...................... 143
75. Umwandlung in Integralgleichungen .................................... 144
§ 9. Schleichende Bewegungen ......................................... , ....... 146
76. Laminarbewegungen ,................................................ 146
77. Ebene Bewegung in Kreisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148
78. Allgemeine Bemerkungen .......................................... '" 150
79. Räumliche Schleichbewegungen bei Rotationssymmetrie ........... " ..... 151
80. Der Widerstand einer Kugel nach Stokes (1845) ......................... 153
81. Ein zweiter Weg ................................................... " 156
Inhal tsverzeichnis 7
§ 10. Exakte Lösungen ....................................................... " 157
82. Vorbemerkung ....................................................... 157
83. Transformation auf isometrische Koordinaten ........................... 158
84. Eine Sonderlösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 159
85. Die reine Radialströmung a = 0 ....................................... 161
86. Diskussion der Radialströmung, freie Strömung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162
87. Radialströmung zwischen festen Wänden. Ausströmen .................... 163
88. Einströmen zwischen festen Wänden .................................... 164
89. Bemerkung über die Bewegung in logarithmischen Spiralen ............... 165
90. Weitere Bewegungen in Spiralen ....................................... 165
91. Stationäre Bewegungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 166
92. Nichtstationäre Strömungen ........................................... 167
93. Integrale mit Stellen der Bestimmtheit ................................. 168
94. Ausdehnung der Betrachtung auf Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
95. Anschließende Untersuchungen ........................................ 170
§ 11. Prandtls Grenzschichttheorie .............................................. 171
96. Der Ansatz .......................................................... 171
97. Durchführung für die ebene Platte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 172
98. Rechnerische Durchführung der Integration der Differentialgleichung (1I, 1I) 174
99. Konvergenzbetrachtung .............................................. 176
100. Strahlablösung ....................................................... 178
§ 12. Turbulenz ............................................................... 179
101. Der Ansatz von Osborne Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 179
102. Bestimmung der Zusatzspannungen .................................... 181
103. Weitere Ansätze für den Mischungsweg ................................. 182
104. Die Streifenmethode ................................................. 183
105. Stabilitätsfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185
106. Weitere Untersuchungen zur Turbulenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 186
III. Über allgemeinere deformierbare Systeme .................................... 188
§ 13. Elastische Schwingungen ................................................. 188
107. Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
108. Kompressionswellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189
109. Wirbelwellen ........................................................ 190
1I0. Plastische Vorgänge .................................................. 190
111. Der erste ebene Fall .................................................. 192
112. Linearisierung ....................................................... 193
113. Partikularlösungen ................................................... 195
o(p, <X)
114. Der Ausnahmefall ---= 0 ......................................... 196
o(x, y)
115. Die Charakteristiken oder Gleitlinien ................................... 197
116. Die allgemeine Lösung ............................................... 198
117. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202
118. Zusammenhang der Funktionen U, V, W ............................... 203
119. Erweiterungen der Theorie ............................................ 204
120. Rheologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
Namen- und Sachverzeichnis ............ " ..................................... 207
I. Theorie der idealen Flüssigkeiten
§ I. Die Grundlagen
I. Der Energiesat.z der Mechanik und der Hauptsatz der Thermodynamik. Der Ener
giesatz der Mechanik der Systeme von endlich vielen Freiheitsgraden besagt
bekanntlich, daß die Xnderung dE der kinetischen Energie eines solchen Systems
in einem Zeitintervall dt gleich ist der in dieser Zeit geleisteten Arbeit dA. Dabei
wird vorausgesetzt, daß kein Energieverlust durch Reibung eintritt. Wenn wir
dabei dA zerlegen in die Arbeit dAa der äußeren Kräfte und in einen Rest dAi,
die Arbeit der inneren Kräfte, so können wir den Energiesatz schreiben in der Form
(1,1) dE = dAa + dAi
(wir erinnern daran, daß beim starren Körper dA, = 0 ist).
Die Thermodynamik, die wir hinfort stark heranziehen müssen, kennt einen ana
logen Satz, ihren sogenannten ersten Hauptsatz; der Gedanke dieses Satzes ist,
daß die von außen in Form von Wärme und äußerer Arbeit zugeführte Energie auf
gespeichert wird in Form von kinetischer Energie und einer "inneren Energie"
lJf des Systems:
(1,2) dAa + Qdt = dE + dlJf ,
wobei Q die in der Zeiteinheit zugeführte Wärmemenge istl). Statt 'P verwendet
man häufig die "spezifische innere Energie" "P, mit der 'P durch die Beziehung
'P=f"Pdm
zusammenhängt, worin m die Masse bedeutet. Subtrahieren WIr nun (1,1) und
(1,2) voneinander, so erhalten wir die Gleichung
+
(1,3) Qdt = dAi d'P.
2. Kinematik. Es sei für eine materielle Bewegung der Ortsvektor
(1,4) t=t(a,t),
wobei das zeitlich unveränderliche a für den materiellen Punkt charakteristisch
ist. Für a kann man etwa den Ortsvektor des materiellen Punktes zu einer be
stimmten Zeit t = to nehmen. In diesem Fall ist also a = t (a, to).
Behält man konsequent, auch bei der Darstellung von t) = :; und \tJ = :~ , a und t
als Unabhängige bei, so spricht man vom Lagrangeschen Standpunkt: man
verfolgt den einzelnen materiellen Punkt im Verlauf seiner "Geschichte". Häufig,
1) Statt Q dt verwendet man üblicherweise dQ, die in der Zeit dt zugeführte Wärmemenge
(Q hat dann natürlich eine andere Dimension). Wir benötigen im folgenden jedoch die
Wärmemenge pro Zeiteinheit.
10 I. Theorie der idealen Flüssigkeiten
ja in der Hydrodynamik mit Vorliebe, nimmt man rund t als Unabhängige, denkt
sich also (1,4) nach a aufgelöst:
(1,5) a=a(r,t).
Man fragt also: Was geschieht an einer bestimmten Stelle zu einer bestimmten
Zeit t; insbesondere: welches Teilchen befindet sich gerade dort 1 Man nennt. diesen
Standpunkt den Eulerschen.
Nun gilt für jede physikalische Größe (Skalar, Vektorkomponente oder Tensor
komponente) U = U(r, t) = U(x, y, z, t):
au au au au
dU =Ttdt+ ax-dx+ aydy+ az-dz
au au au
=Ttdt + äfdr =Ttdt + grad U dr,
wobei das Symbol a~ = V den "Nabla"-Operator bedeutet, d. h. den symbo
lischen Vektor a~ i + a: j + aa f, und daher
z
dU au au BU
(1,6) (it=Tt + äfl)=Tt + I) grad U,
falls r = r(a, t) gilt. Man nennt aB~ die lokale Fluxion, d. h. die Änderungsge
schwindigkeit an Ort und Stelle; dagegen !~ die materielle Fluxion, d. h. die
Änderungsgeschwindigkeit am bestimmten materiellen Punkt. I) grad U beschreibt
denjenigen sog. konvektiven Anteil der materiellen Fluxion, der von der Be
wegung des Punktes herrührt.
Ist für alle in Betracht kommenden Größen die lokale Fluxion Null, so heißt die
Bewegung "stationär". Es herrscht dann an einem Ort stets derselbe Zustand.
Wir wollen von (1,6) gleich eine wichtige Anwendung machen. Für v'" = i ist
av", av", av", Bv",
ddtv""", = a-t + --ax v'" + ay-vy + az-Vz
=aav-",t + T1 aax (v2'" + v2y + v%2 ) -vy (a-v-ay x-aayv"-,) -,r Vz (aavzx- ---aBVxZ ) .
Mit
a . (avz av (av", avz) (av avx)
rot 1)=a-t XI)=l -ay --azy ) +1• -az --Bx +~11 -axy --By
ist also
Bv", B
dv", 1 2
dt""=a-t+TBX I) -vy(rotl))z+vz(rotl))y
av", 1 a
=a-t + Tax 1)2_ (I) X rot 1))",.
Entsprechendes gilt für ~: und ~: . Durch yektorielle Zusammenfassung erhalten
wir das wichtige Ergebnis (Umformung von Euler und Clebsch)
du au 1
(1,7) dt = Te' + T grad 1)2 - I) X rot I) •
§ 1. Die Grundlagen 11
Wir notieren noch die folgenden Sätze:
1) Bei rotorfreier Bewegung gilt für die Beschleunigung
du au I
(It=ae + "2 grad 1>2.
2) Bei rotorfreier Bewegung existiert ein Geschwindigkeitspotential cp
= acp
I>
at
und umgekehrt: Ist I> der Gradient einer skalaren Funktion, so ist die Bewegung
rotorfrei. Der Beweis der Umkehrung ist klar; denn
rot I> = rot :~ = aat X (aat cp) = 0 .
Der Satz selbst folgt aus der allgemeinen Tatsache, daß ein Vektorfeld mit ver
schwindender Rotation das Gradientenfeld einer geeigneten skalaren Funktion
ist (s. die Lehrbücher der Differential- und Integralrechnung).
3) Bei rotorfreier Bewegung ist die Beschleunigung
n> = du = ~ (acp + ..!:..1>2)
at at
dt 2
also ein Gradient, d. h. aus rot I> = 0 folgt rot n> = 0; aber die Umkehrung gilt
nicht.
3. Die sogenannte Kontinuitätsgleichung; die Erhaltung der Masse. Durch I> muß
die Änderung des Volumens bestimmt sein, da durch I> bestimmt ist, wohin jeder
Punkt im Lauf der Zeit gelangt. Das ist eine rein kinematische Tatsache. Ist V ein
Volumen, durch das Flüssigkeit oder irgendein anderes Medium strömt, so gilt
~~ =pl>ndF =pvndF,
wo n einen Einheitsvektor in Richtung der äußeren Normalen yon V bedeutet und
Vn die Geschwindigkeitskomponente nach dieser Richtung. Denn in der Zeit dt
verschiebt sich ein Element der Oberfläche F um "dt, was zu der Volumenver
größerung nl> dtdF führt. Nach dem Gaußschen Integralsatz ist aber
f f f v;
pVndF= Ca + ~v: + aav:)dxdydz= f divl>dV.
Also gilt
f
~ ~~ = ~ div I> d V = (mv I»Mitteb
und somit für ein hinreichend kleines Volumenelement 15 V
(1,8) dlogc5V = div I> = ~atI >.
dt
Das ist, wie gesagt, ein rein mathematischer Satz, der nur gewisse Stetigkeits
bedingungen voraussetzt, aber nichts Physikalisches.
Nun führen wir die Masse ein. Jedem Stück Materie komme eine positive, zeitlich
unveränderliche Masse m zu, also der das Volumenelement c5V erfüllenden Materie
eine Masse 15m.