MECCANICA ANALITICA – Dispensa 1 CAPITOLO 1 Equazioni di Lagrange

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MECCANICA ANALITICA – Dispensa 1
CAPITOLO 1
Equazioni di Lagrange
1.1 Spazio delle configurazioni e spazio delle fasi
Prendiamo in considerazione, nella Meccanica Newtoniana, un sistema di
N particelle di massa m con α = 1,2,....,N, soggette a delle forze F =
α α
(F ,F ,F ) e fissiamo l’origine O e una terna di vettori ortonormali
α1 α2 α3
B = (e ,e ,e ). In questo sistema di riferimento (O,B), la posizione di
1 2 3
ogni particella sar´a descritta da un vettore r = (r ,r ,r ). Abbiamo,
α α1 α2 α3
cos´ı, N equazioni del tipo:
m ¨r = F
α α α
ognuna delle quali rappresenta l’equazione del moto per ogni singola par-
ticella.
Il primo passo della teoria Lagrangiana ´e l’introduzione dello spazio
delle configurazioni C a 3N dimensioni in cui la posizione dell’intero
sistema, cio´e di tutte le particelle, ´e rappresentato da un unico punto
q = (q ,q ,...,q ) ∈ C, dove
1 2 3N
q = r , q = r , q = r , q = r ,........., q = r ,
1 11 2 12 3 13 4 21 3N N3
in cui il primo indice fa riferimento alla particella e il secondo indica la
coordinata.
Dunque, lo spazio delle configurazioni C = (cid:60)3N ´e lo spazio di tutti i
possibili q ed ´e mediante questo spazio che rappresentiamo la posizione
di tutte le particelle del sistema.
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Introducendo le costanti
µ = m , µ = m , µ = m ,
1 1 2 1 3 1
µ = m , µ = m , µ = m ,
4 2 5 2 6 2
. . .
. . .
. . .
µ = m , µ = m , µ = m
3N−2 N 3N−1 N 3N N
le equazioni del moto assumono la forma
µ ¨q = F , i = 1,......,3N, (1.1.1)
i i i
ovvero si tratta di 3N equazioni del secondo ordine in cui
F = F , F = F , F = F , F = F ,.........., F = F ;
1 11 2 12 3 13 4 21 3N N3
sottolineando che il vettore F ´e dato da:
F = (F ,F ,F ,F ,........,F ) = (F ,F ,F ,F ,......,F ).
1 2 3 4 3N 11 12 13 21 N3
Per rappresentare la configurazione del sistema e le velocit´a delle par-
ticelle bisogna assegnare i valori delle 6N variabili
q ,q ,......,q ,v ,v ,......v ,
1 2 3N 1 2 3N
dove v = q˙ . Si perviene, cos´ı, al concetto di spazio delle fasi P, lo spazio
k k
a 6N dimensioni in cui´e possibile rappresentare mediante un unico punto
x = (q ,q ,......,q ,v ,v ,......v )
1 2 3N 1 2 3N
il sistema di particelle o, piu´ precisamente, la posizione e la velocit´a di
ogni particella.
Ogni singolo punto dello spazio delle fasi P corrisponde ad un particolare
”stato di moto”, ovvero la posizione e la velocit´a dei punti del sistema
definiscono il suo stato di moto. Ad ogni posizione possono corrispondere
infiniti stati di moto.
Siano x , i = 1,...,6N, le componenti del vettore x e osserviamo
i
che le ultime 3N sono le derivate delle prime 3N, ovvero v = q˙ i =
i i
1,...,3N o anche
x = x˙ , i = 1,...,3N (1.1.2)
3N+i i
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che sono 3N equazioni del primo ordine.
Le 3N equazioni della forma (1.1.1), quindi, possono anche essere scritte
nel modo seguente:
F = µ q¨ = µ v˙ = µ x˙ i = 1,...,3N.
i i i i i i 3N+i
Le 6N equazioni del primo ordine espresse da
F = µ x˙ i = 1,...,3N
i i 3N+i
e da
x = x˙ i = 1,...,3N
3N+i i
possono essere scritte in un unico modo. Infatti intoducendo il vettore f
di componenti
(cid:189)
f = µ v = µ x
i i i i 3N+i
f = F
3N+i i
con i = 1,...,3N
e sapendo che µ = µ , i = 1,...,3N (in quanto x e x i =
3N+i i i 3N+i
1,...,3N si riferiscono alla stessa particella e quindi alla stessa massa),
si ha:
f = µ x˙ i = 1,...,6N. (1.1.3)
i i i
Quindi le equazioni del moto dell’intero sistema si possono scrivere come
6N equazioni del primo ordine. Per risolverle servono tutte le condizioni
iniziali:
x (0), x (0) ,..., x (0), x (0) = v (0) ,..., x (0) = v .
1 2 3N 3N+1 1 6N 3N
Per ogni scelta di queste, esiste un’unica soluzione x(t) per le equazioni
(1.1.3). Tale soluzione esprime sia le posizioni che le velocit´a delle par-
ticelle istante per istante e inoltre individua una curva orientata nello
spazio delle fasi detta orbita. Nello spazio delle fasi P, perci´o, passa solo
un’orbita per ogni punto. La famiglia delle orbite ´e definita ritratto di
fase.
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Consideriamo, adesso, l’esempio dell’oscillatore armonico in una di-
mensione spaziale.
Esempio (1.1.1)
La seconda legge della dinamica per un oscillatore armonico in una di-
mensione spaziale ´e data dall’equazione
m¨q = −kq,
dove con q indichiamo l’unica coordinata dell’oscillatore armonico e con
k la costante elastica.
Essendo in questo caso lo spazio delle fasi a due dimensioni, abbiamo:
x = (q,v) = (x ,x )
1 2
e l’equazione del moto nello spazio delle fasi ´e dato dal seguente sistema:
(cid:110)
mx˙ = mx
1 2 (1.1.4)
mx˙ = −kx .
2 1
Notiamo che la prima equazione del sistema si ottiene considerando f =
i
µ x˙ per i = 1 e sapendo che x˙ = x ; la seconda si ottiene dall’equazione
i i 1 2
dell’oscillatore mx˙ = −kx .
2 1
Derivando la prima equazione del sistema (1.1.4), sostituendola nella
secondaeaffiancandoall’equazionecos´ıottenutaladerivatadellaseconda,
otteniamo: (cid:189)
mx¨ = −kx
1 1
mx¨ = −kx˙
2 1
ovvero (cid:189)
mx¨ = −kx
1 1
mx¨ = −kx
2 2
che ha soluzione:
 (cid:113) (cid:113)
(cid:112)
x (t) = x (0)cos kt+x (0) m sin kt
1 1 (cid:113)m 2 (cid:113)k (cid:113)m

x (t) = x (0)cos kt−x (0) k sin kt .
2 2 m 1 m m
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Tale soluzione pu´o essere cos´ı scritta:
 (cid:179)(cid:113) (cid:180)
x (t) = A cos kt−ϕ
1 1 (cid:179)(cid:113)m 1(cid:180) (1.1.5)

x (t) = A cos kt−ϕ .
2 2 m 2
Calcolando le fasi (moltiplicando e dividendo per l’ampiezza A ), otte-
1
niamo che ϕ = ϕ + π, ovvero le fasi differiscono di π. Tale risultato ci
2 1 2 2
consente di scrivere la (1.1.5) cos´ı:
 (cid:179)(cid:113) (cid:180)
x (t) = A cos kt−ϕ
1 1 (cid:179)(cid:113)m 1(cid:180)

x (t) = A sin kt−ϕ .
2 2 m 1
La traiettoria di questa soluzione nello spazio delle fasi ´e un’ellisse, infatti
x2 x2
1 + 2 = 1 ´e valida.
A2 A2
1 2
Dunque, l’orbitadell’oscillatorearmonico´eun’ellissechehacomesemiassi
A e A , dove
1 2 (cid:114)
m
A = x2(0)+x2(0)
1 1 2 k
e
(cid:114) (cid:114) (cid:114) (cid:114)
m k m k
A = x2(0)+x2(0) = x2(0)+x2(0) = A .
2 2 1 k m 1 2 k m 1
6
Possiamo osservare che A e A dipendono dalle condizioni iniziali, a dif-
1 2(cid:113)
ferenza del loro rapporto A2 = k. Da qui ne segue che ellissi corrispon-
A1 m
denti a diverse condizioni iniziali non si possono intersecare. Tale carat-
teristica ´e una propriet´a generale che deriva dal fatto che esiste un’unica
soluzione per ogni equazione del tipo (1.1.3) in corrispondenza di una
data condizione iniziale x(0). D’altra parte se due traiettorie diverse si
intersecassero in un punto x, allora esisterebbero due diverse soluzioni
per il problema (1.1.3) in corrispondenza dell’unica condizione iniziale
x(0) = x, che non ´e possibile.
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1.2 Trasformazioni di coordinate
La configurazione di un sistema rappresentato dalle coordinate
q ,q ,...,q
1 2 n
pu´o essere equivalentemente descritta da un diverso sistema di coordinate
˜q ,˜q ,...,˜q ,
1 2 n
purch´e le funzioni
˜q (q,t), ˜q (q,t) ,..., ˜q (q,t),
1 2 n
che definiscono la corrispondenza tra le coordinate q = (q ,q ,...,q ) e le
1 2 n
coordinate q˜ = (˜q ,˜q ,...,˜q ) al tempo t, stabiliscano una corrispondenza
1 2 n
biunivoca. Pertanto, per ogni n-pla di tali funzioni che soddisfano questa
condizione, q˜ = (˜q ,˜q ,...,˜q ) costituisce un sistema di coordinate in
1 2 n
grado di descrivere la configurazione del sistema. Ci riferiamo ad esso
come ad un sistema di coordinate generalizzate.
Se lo stato di un sistema ´e descritto all’ istante t dal punto
(q ,...,q ,v ,...,v ),
1 n 1 n
definendo un altro spazio delle fasi abbiamo
(˜q ,...,˜q ,v˜ ,...,v˜ ),
1 n 1 n
dove le ”nuove” coordinate sono funzioni delle ”vecchie” e del tempo,
˜q = ˜q (q(t),t). Di conseguenza le velocit´a generalizzate relative ad un
k k
altro sistema di coordinate sono definite da:
(cid:88)
d˜q ∂˜q dq ∂˜q dt
k k j k
v˜ = = + ,
k
dt ∂q dt ∂t dt
j
j
dove dt = 1.
dt
In genere si indica anche la trasformazione del tempo (dal ”vecchio” al
”nuovo”) che comunque ´e banale: ˜t = t, ma ´e bene specificarlo, vista
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l’importanza di sottolineare come il ”nuovo” tempo dipende dal ”vecchio”
sistema. Dunque, il tempo pu´o essere considerato come un particolare
tipo di coordinata detta coordinata temporale.
Quindi,ricapitolando,passiamodalsistema(q,v,t)alsistema(q˜,v˜,˜t)
con la seguente trasformazione delle coordinate e delle velocit´a:
(cid:40)
˜q = ˜q (q(t),t)
a (cid:80)a
v˜ = ∂˜qav + ∂˜qa
a c ∂qc c ∂t
˜t = t.
´
E questa una trasformazione da uno spazio delle fasi ad un altro.
Vediamo qualche esempio.
Esempio (1.2.1)
La configurazione di un punto in un piano pu´o essere descritta mediante
le coordinate generalizzate costituite dalle coordinate polari.
Poniamo
(cid:110)
q = x, q = y
1 2
˜q = r, ˜q = ϕ .
1 2
Quindi, abbiamo:
9
(cid:112)
˜q (x,y) = r = x2 +y2
1

arctan y se x > 0,y ≥ 0
x
˜q (x,y) = ϕ = π +arctan y se x < 0
2  x
2π +arctan y se x > 0,y < 0 .
x
In questo caso, vediamo facilmente che:
∂x
= 0
∂y
∂x
= −rsinϕ
∂ϕ
in quanto x = rcosϕ.
Osservazione:
q˜,v˜,˜tsonotraloroindipendentiinquantofannopartedellostessosistema
di variabili. Di conseguenza ∂˜qa = 0, invece ∂˜qa (cid:54)= 0 perch´e ˜q dipende da
∂˜t ∂t a
t.
Esempio (1.2.2)
Se il sistema di riferimento Σ(cid:48) si muove rispetto a Σ con velocit´a uniforme
u = (u,0,0)lungo la direzione x e all’istante t = 0 gli assi di Σ(cid:48) coincidono
con quelli di Σ, la configurazione di una particella rispetto a Σ(cid:48) ´e descritta
dalle coordinate:
x˜ = x˜(x,t) = x−ut
y˜ = y
z˜ = z .
Qui possiamo osservare che:
∂x˜ = −u (cid:54)= 0, mentre ∂x˜ = 0.
∂t ∂˜t
Dunque, anche se la trasformazione della coordinata temporale ´e quella
banale ˜t = t, le derivate rispetto a t e rispetto a ˜t sono diverse.
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1.3 Equazioni del moto in un sistema di coordinate generaliz-
zate
Teniamo presente che il nostro obiettivo ´e riscrivere l’equazione del moto
in termini di nuove coordinate, o meglio cercare una forma dell’equazione
del moto valida per ogni sistema di coordinate.
Il primo passo consiste nel considerare una funzione F : PT −→ (cid:60) dove
PT = (cid:60)2n ×(cid:60) (dove n ´e il numero delle coordinate) e quindi F dipende
da q˜,v˜,˜t.
Andando a definire in corrispondenza di un valore fissato dell’indice a, la
seguente forma
d ∂F ∂F
− , (1.3.1)
dt∂v ∂q
a a
possiamo osservare che si tratta ancora di una funzione definita sullo
spazio delle fasi.
Esempio (1.3.1)
Se F fosse l’energia cinetica di un punto che si muove nel piano e suppo-
nendodiscriverlarispettoallecoordinatecartesiane,avremmoF(q,v,t) =
1m(v2 +v2).
2 1 2
Sapendo che disponiamo di n forme della (1.3.1) per ogni F, possiamo
scrivere la (1.3.1) nel modo seguente:
per a = 1 d ∂F − ∂F = ma , in quanto ∂F = mv e inoltre l’energia
dt∂v1 ∂q1 1 ∂v1 1
cinetica non dipende da q ;
1
per a = 2 d ∂F − ∂F = ma .
dt∂v2 ∂q2 2
Dunque, possiamo fare uso dei risultati ottenuti per scrivere l’equazione
del moto e, quindi, ottenere:
(cid:40)
d ∂F − ∂F = f
dt∂v1 ∂q1 1
d ∂F − ∂F = f .
dt∂v2 ∂q2 2