Mécanique générale Faïz Ben Amar

55 Pages·2009·0.72 MB·French

Université de Versailles St Quentin
UFR des Sciences et Technologies
Licence SPI
Me111 - Mécanique générale
Faïz Ben Amar
[email protected]
Chapitre 1
Introduction
1.1 Quelques définitions et terminologie
La mécanique générale a pour but l’étude des mouvements des corps dans l’univers. La
mécanique classique se décompose en :
– la cinématique : c’est l’étude des mouvements faisant intervenir des grandeurs ne dé-
pendant que du temps et de l’espace
– la cinétique : c’est l’étude des mouvements en intégrant en plus les masses et leurs
répartitions,
– la dynamique : c’est l’étude des mouvements des corps en tenant compte des forces qui
s’exercent sur ces corps,
1.1.1 Notion de solide rigide ou indéformable
Une pièce mécanique (S) peut être considérée comme un solide indéformable si quels que
soient les points A et B de (S), la distance AB reste constante au cours du temps t.
1.1.2 Notion de référentiel
La notion de mouvement d’un point ou d’un corps est tout à fait relative. On parle du
mouvement de la lune par rapport à la terre, du mouvement d’une voiture par rapport
à la chaussée, ... Décrire un mouvement donc n’a de sens que si on choisi un solide de
référence auquel on associe un repère appelé référentiel.
Exemple : on définit un repère R = (O,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) lié au socle (S ) et fixe par rapport au
0 0 0 0 0
sol pour définir le mouvement d’un robot.
1.1.3 Mesure du temps
La notion d’écoulement du temps de manière régulière et irréversible est donnée à l’ob-
servateur par des mouvements particuliers appelés horloge (pendule, quartz, horloge ato-
mique...)
1.2 Grandeurs vectorielles de la cinématique
Soit R = (O,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) un repère orthonormé direct. Soit (S) un solide en mouvement
0 0 0 0
par rapport à R .
0
2
1.2.1 Vecteur position
On appelle vecteur position du point P quelconque du solide (S) dans le repère R , à la
0
−→
date t, le vecteur OP où O est l’origine du repère R .
0
Le point P appartenant au solide (S) est appelé point matériel de (S). Ce point matériel
coincident à chaque instant avec un point géométrique du repère R . L’ensemble de ces
0
points géométriques est une courbe (C) qui constitue la trajectoire de P dans le repère
R .
0
−→
O P (t) = x(t)(cid:126)i +y(t)(cid:126)j +z(t)(cid:126)k
0 0 0 0

x = x(t)

y = y(t)
 z = z(t)
sont les équations paramétriques de la trajectoire de P dans R .
0
1.2.2 Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à R , à la date t, est la dérivée par rapport
0
au temps, pour un observateur lié au repère R , du vecteur position du point P dans R .
0 0
(cid:34) −→ (cid:35)
−→ d O P
0
V (P/R ) =
0
dt
R0
 (cid:16) (cid:17)
(cid:34) −→ (cid:35) d x(t)(cid:126)i +y(t)(cid:126)j +z(t)(cid:126)k
−→ d O P (t) 0 0 0
0
V (P/R0) = =  
dt dt
R0 R0
dx dy dz
= (cid:126)i + (cid:126)j + (cid:126)k
0 0 0
dt dt dt
= x˙(cid:126)i +y˙(cid:126)j +z˙(cid:126)k
0 0 0
Remarque :
– unité : m/s ou m.s−1
−→
– on peut préciser V (P,S/R ), s’il s’agit d’un point matériel de (S).
0
– il n’est pas nécessaire d’exprimer ce vecteur dans la base de R d’observation de la
0
vitesse.
– pour pouvoir calculer correctement cette dérivée, il est important de préciser le repère
de dérivation.
1.2.3 Vecteur Accélération
Le vecteur accélération d’un point P par rapport à R , à la date t, est la dérivée par
0
rapport au temps, pour un observateur lié au repère R , du vecteur vitesse du point P
0
par rapport à R .
0
F. Ben Amar UVSQ - Licence SPI - Me111 - Introduction - Torseur 3
(cid:34) −→ (cid:35)
−γ→(P/R ) = d V (P/R0)
0
dt
R0
(cid:34) −→ (cid:35)
d2 O P
0
=
dt2
R0
 (cid:16) (cid:17)
d x˙(cid:126)i +y˙(cid:126)j +z˙(cid:126)k
−→ 0 0 0
γ (P/R0) =  
dt
R0
= x¨(cid:126)i +y¨(cid:126)j +z¨(cid:126)k
0 0 0
Remarque :
– unité : m/s2 ou m.s−2
– il n’est pas non plus nécessaire d’exprimer ce vecteur accélération dans la base de R .
0
1.3 Torseur
1.3.1 Définition mathématique
(cid:126) (cid:126)
Un torseur {T } est un bi-vecteurs (R,M ), noté
P
(cid:40) −→ (cid:41)
R
{T } =
−→
M
P
P
où :
−→
– R : vecteur constant appelé résultante,
−→
– M : appélé moment en P, vecteur champ, dépendant du point, et qui doit satisfaire
P
la relation suivante, dite de transport ou de changement de point,
−→ −→ −→ −→
M =M + AB ∧ R
A B
1.3.2 Propriétés
– L’équiprojectivité du champ de moment :
−→ −→ −→ −→
M . AB=M . AB ∀A,B
A B
– L’invariant scalaire d’un torseur :
−→ −→ −→ −→
I =R . M =R . M
A B
– L’axe central et le pas d’un torseur : L’axe central est l’ensemble des points P tel que
−→ −→
M = λ R
P
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où λ est un scalaire appelé le pas. On montre que λ est unique et vaut
−→ −→
R . M
A
λ =
−→2
R
−→
On montre également que l’axe est une droite affine de vecteur directeur R et passe
par le point H tel que
−→ −→
−→ R ∧ M
A
AH=
−→2
R
L’amplitude du moment sur l’axe du torseur est minimal.
1.3.3 Quelques torseurs particuliers
−→ −→ −→ −→
– Le torseur nul : si R= 0 et M = 0 ,
P
−→ −→
– Le glisseur : si M . R= 0 ou l’invariant scalaire nul. Le moment d’un glisseur est
A
orthogonal à la résultante. L’invariant et le pas sont nuls. Le moment sur l’axe est nul.
−→ −→ −→ −→
– Le torseur couple : si R= 0 et M (cid:54)= 0 . Le moment d’un torseur couple est invariant.
P
1.3.4 Torseur d’effort
Ce torseur, dit aussi torseur statique, permet de caractériser toute action mécanique, en
la réduisant à deux vecteurs, noté :
(cid:40) −→ (cid:41)
R
{F} =
−→
M
A
A
Si cette action mécanique est une action de contact, c’est-à-dire surfacique, de densité
−→ −→
surfacique f (P) = df
s ds
(cid:40) −→ (cid:82) (cid:82) −→ (cid:41)
R= f (P)ds
{F} = S s
−→ (cid:82) (cid:82) −→ −→
M = AP ∧ f (P)ds
A S s A
Si cette action mécanique est une action à distance, c’est-à-dire volumique, de densité
−→ −→
volumiqe f (P) = df
v dv
(cid:40) −→ (cid:82) (cid:82) (cid:82) −→ (cid:41)
R= f (P)dv
{F} = V v
−→ (cid:82) (cid:82) −→ −→
M = AP ∧ f (P)dv
A S v A
1.3.5 Quelques actions simples
−→
– La force : une force F s’appliquant au point P peut être représentée par un torseur
(cid:40) −→ −→ (cid:41) (cid:40) −→ −→ (cid:41)
R=F R=F
{F} = ≡
−→ −→ −→ −→ −→
M =AP ∧ F M = 0
A A A P
Cetorseurestdetypeglisseur.Lapropriétédesglisseursvientdufaitquesilarésultante
(force) glisse sur son support, l’action mécanique est statiquement équivalente.
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−→ −→
– Le couple de 2 forces opposées : 2 forces opposées F et − F s’appliquant en deux
points distincts A,B produisent une action mécanique qui peut être représentée par un
torseur résultant :
(cid:40) −→ (cid:41) (cid:40) −→ (cid:41)
F − F
{F} = +
−→ −→
0 0
A B
(cid:40) −→ (cid:41) (cid:40) −→ (cid:41)
F − F
= +
−→ −→ −→ −→
0A ∧ F 0B ∧− F
O O
(cid:40) −→ (cid:41)
0
=
−→ −→ −→
(OA − OB)∧ F
O
(cid:40) −→ (cid:41)
0
=
−→ −→
BA ∧ F
O
Le torseur résultant est de type couple. Le moment d’un torseur couple est indépendant
du point O.
– Torseur associé à une distribution volumique d’effort : cas de la pesanteur
Soit un milieu continu (Ω), chaque élément de matière de volume dm est soumis à une
force
−→ −→ −→
df= dm g = ρdv g
−→
La résultante de ce champ de force df :
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
−→ −→
R = df
Ω
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
−→
= ρ g dv
Ω
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
−→
= g ρdv
Ω
−→
= g M
totale
−→
Chaque force df s’appliquant an centre P de l’élément de matière crée un moment au
−→ −→
point O égal à OP ∧ df. La résultante de ces moments élémentaires est :
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(cid:90) (cid:90) (cid:90)
−→ −→ −→
M = OP ∧ df
O
Ω
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
−→ −→
= OP ∧ρ g dv
Ω
(cid:18)(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:19)
−→ −→
= OP dm ∧ g
Ω
−→ −→
= M OG ∧ g
totale
−→ −→
= OG ∧M g
totale
−→ −→
= OG ∧ R
La distribution volumique des efforts de pesanteur est équivalente au poids total du
milieu appliqué au centre de gravité de celui-ci.
1.4 Quelques rappels de statique
– Principe fondamental de la statique : Un corps (ou un système de corps) est en équilibre
dans un référentiel dit galiléen, si et seulement si la somme des torseurs de toutes les
actions extérieures appliquées sur ce corps (ou système de corps) est égale à zéro.
– Principe des actions mutuelles : le torseur des actions du corps S sur le corps S est
1 2
égal à l’opposé du torseur des actions de S sur S .
2 1
– Un corps (ou système de corps) soumis à 2 forces est en équilibre si les 2 forces sont
opposées et portées par la ligne passant par les 2 points d’application de ces 2 forces.
– Un corps (ou système de corps) soumis à 3 forces est en équilibre si les 3 supports des
forces sont coplanaires et concourants (ou parallèles).
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Chapitre 2
Cinématique du solide rigide
2.1 Dérivation vectorielle
En général, les vecteurs positions et les vecteurs vitesses par rapport à un référentiel R
0
sont plus facilement exprimés en fonction de vecteurs de base qui ne sont pas fixes dans
(cid:126)
R . il convient donc d’exprimer de façon simple la dérivée d’un vecteur U quelconque par
0
rapport à un repère R ou par rapport à un autre repère R .
0 1
2.1.1 Etude d’un cas particulier de dérivation vectorielle
Examinons le cas particulier courant de deux repères R = (O ,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) et R =
0 0 0 0 0 1
(O ,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) où (cid:126)k , (cid:126)k d’une part et O , O d’autre part reste confondus quelque soit
1 1 1 1 1 0 0 1
t. L’orientation de la base de R est alors défini par un seul paramètre par rapport à celle
1
de R .
0
α(t) = ((cid:126)i ,(cid:126)i ) == ((cid:126)j ,(cid:126)j ).
0 1 0 1
soit U(cid:126)(t) = a(t)(cid:126)i +b(t)(cid:126)j +c(t)(cid:126)k .
1 1 1
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)
dU(cid:126) (cid:20)da db dc (cid:21) d(cid:126)i d(cid:126)j d(cid:126)k
= (cid:126)i + (cid:126)j + (cid:126)k +a(t) 1 +b(t) 1 +c(t) 1
1 1 1
dt dt dt dt dt dt dt
R0 R0 R0 R0
8
or
 (cid:126)i = cosα(cid:126)i +sinα(cid:126)j
 1 0 0
(cid:126)j = −sinα(cid:126)i +cosα(cid:126)j
1 0 0
 (cid:126) (cid:126)
k = k
1 0
donc
 (cid:104) (cid:105)
d(cid:126)i1 = −α˙ sinα(cid:126)i +α˙ cosα(cid:126)j = α˙(cid:126)j
 dt 0 0 1
 (cid:104) (cid:105)R0
d(cid:126)j1 = −α˙ cosα(cid:126)i −α˙ sinα(cid:126)j = −α˙(cid:126)i
dt 0 0 1
 (cid:104)d(cid:126)k1(cid:105)R0 =(cid:126)0
dt
R0
avec α˙ = dα et car(cid:126)i ,(cid:126)j sont fixes dans R .
dt 0 0 0
(cid:126) (cid:126)
En posant Ω(R /R ) = α˙k , on peut écrire
1 0 0
 (cid:104) (cid:105)
d(cid:126)i1 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)i
 dt 1 0 1
 (cid:104) (cid:105)R0
d(cid:126)j1 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)j
dt 1 0 1
 (cid:104)d(cid:126)k1(cid:105)R0 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)k
dt 1 0 1
R0
on obtient donc
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)
(cid:126) (cid:126)
dU dU
(cid:126) (cid:126) (cid:126)
= +Ω(R /R )∧U ∀U(t)
1 0
dt dt
R0 R1
(cid:126)
Ω(R /R )estappeléevecteurrotationdelabaseR parrapportàcelledeR (unitérd/s).
1 0 1 0
(cid:104) (cid:105)
Dans le cas où U(cid:126) est fixe dans R , la dérivée dU(cid:126) se ramène au calcul simple d’un
1 dt
R0
produit vectoriel.
2.1.2 Formule générale de dérivation vectorielle
Afin de généraliser la formule précédente au cas d’un mouvement quelconque de la base
d’un repère R par rapport à la base d’un repère R , exprimons les dérivées des vecteurs
1 0
de base(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k .
1 1 1
On traduit qu’au cours du mouvement, la base de R reste orthonormée quelque soit t :
1

||(cid:126)i ||2=||(cid:126)j ||2=||(cid:126)k ||2= 1
 1 1 1
 (cid:126)i .(cid:126)j = 0
∀t 1 1
(cid:126)j .(cid:126)k = 0
 1 1
 (cid:126)k .(cid:126)i = 0
1 1
en dérivant ces expressions scalaires par rapport au temps, on obtient,
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 (cid:104) (cid:105) (cid:104) (cid:105) (cid:104) (cid:105)
 (cid:126)i . d(cid:126)i1 =(cid:126)j . d(cid:126)j1 =(cid:126)k . d(cid:126)k1 = 0
 (cid:104)1 (cid:105)dt R0 1 d(cid:104)t R(cid:105)0 1 dt R0
 dd(cid:126)it1 .(cid:126)j1 = −(cid:126)i1. dd(cid:126)jt1 = Ωz
(cid:104) (cid:105)R0 (cid:104) (cid:105)R0
 d(cid:126)j1 .(cid:126)k = −(cid:126)j . d(cid:126)k1 = Ω
 (cid:104) dt (cid:105)R0 1 1 (cid:104) dt(cid:105)R0 x
 dd(cid:126)kt1 .(cid:126)i1 = −(cid:126)k1. dd(cid:126)it1 = Ωy
R0 R0
La première équation montre aisément que la dérivation vectorielle donne un vecteur
perpendiculaire. On montre également que ces relations correspondent aux propriétés des
applications linéaires et antisymétriques, et dont la matrice s’exprime dans la base de R
1
par
(cid:104) (cid:105) (cid:104) (cid:105) (cid:104) (cid:105)
d(cid:126)i1 d(cid:126)j1 d(cid:126)k1
dt dt dt
R0 R0 R0
 0 −Ω Ω  (cid:126)i
z y 1
 Ωz 0 −Ωx  (cid:126)j1
−Ω Ω 0 (cid:126)k
y x 1
ou encore
 (cid:104) (cid:105)
d(cid:126)i1 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)i
 dt 1 0 1
 (cid:104) (cid:105)R0
d(cid:126)j1 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)j
dt 1 0 1
 (cid:104)d(cid:126)k1(cid:105)R0 = Ω(cid:126)(R /R )∧(cid:126)k
dt 1 0 1
R0
avec Ω(cid:126)(R /R ) = Ω (cid:126)i +Ω (cid:126)j +Ω (cid:126)k
1 0 x 1 y 1 z 1
(cid:126)
On en déduit la relation générale de la dérivée vectorielle d’un vecteur U(t) par rapport
à R :
0
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)
(cid:126) (cid:126)
dU dU
(cid:126) (cid:126) (cid:126)
= +Ω(R /R )∧U ∀U(t)
1 0
dt dt
R0 R1
(cid:126)
Le vecteur Ω(R /R ) ne dépend que du mouvement de la base R par rapport à celle de
1 0 1
R . Ce vecteur est appelé, par analogie au cas particulier précédent, le vecteur rotation
0
de la base R par rapport à celle de R . Il est définit de façon unique à chaque instant.
1 0
2.1.3 Détermination du vecteur rotation
Mouvement de translation
Quand il s’agit d’un changement d’origine entre deux repères R = (O ,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) et
0 0 0 0 0
−→
R = (O ,(cid:126)i ,(cid:126)j ,(cid:126)k ) avec O O (t), le vecteur rotation Ω(cid:126)(R /R ) est nul.
1 1 0 0 0 0 1 1 0
Ω(cid:126)(R /R ) =(cid:126)0 (2.1)
1 0
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