Mécanique des Structures et Approximations Numériques

239 Pages·2017·10.99 MB·French

Mécanique des Structures
et
Approximations Numériques
novembre 2017
S. Drapier
Département Mécanique et Procédés d’Elaboration
Centre Science des Matériaux et des Structures & LGF UMR CNRS 5307
École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne
158, cours Fauriel; CS 62362
42023 Saint-Étienne Cedex 2
bureau J3-15, tél :00-79
Introduction générale
La mécanique des milieux continus, ou MMC, est la base de la résolution de pro-
blèmes en mécanique des solides et mécanique des fluides. Si la MMC permet de traiter
tout type de problème, la résolution analytique simultanée des 3 équations d’équilibre en
toutpointdudomaineconsidéré,devientviteinsurmontablepourêtreutiliséedirectement
dans le dimensionnement des produits industriels courants. Dans le cas de la mécanique
des solides, les ingénieurs ont isolé des cas particuliers de la MMC, où via certaines hy-
pothèses sur les géométries et le chargement, la résolution peut se faire plus aisément. Ce
domaine de la mécanique des solides se nomme la mécanique des structures et se définit,
par opposition à la MMC, comme la mécanique des solides de dimensions finies où une
des dimensions au moins est très faible devant les autres.
Les théories cinématiques qui sous-tendent la mécanique des structures ont été
mises au point dans les 2 derniers siècles pour le dimensionnement des structures. Dans
le même temps la résistance des matériaux, ou RdM, était mise en place comme un
cadre particulier de la mécanique où des hypothèses supplémentaires simplifient encore
les problèmes à traiter. Dans ce cours, la théorie des poutres sera plus particulièrement
développée (Figure 1) et ensuite étendue à la théorie des plaques, ceci principalement
dans le cadre de la RdM.
On verra, à travers cette introduction à la mécanique des structures, que bien
avant que les résolution numériques ne soient disponibles, le dimensionnement des
structures à l’aide de ces approches répondait, au moins en première approximation, à la
plupart des cas de la vie courante. On peut toutefois noter que pour les cas complexes,
les calculs s’alourdissent considérablement, et le bon sens de l’ingénieur doit primer dans
le choix des hypothèses à poser pour mener à bien ces résolutions, que ce soit de façon
analytique ou bien numérique.
L’introduction de la théorie des poutres en RdM peut être envisagée principale-
ment de 2 façons différentes. Une première approche consiste à partir des considérations
particulièrespourdesgrandesfamillesd’exemples.Unetelleapprochenécessiteunebonne
connaissanceetunebonnemaîtrisedelamodélisationdesproblèmesphysiquesàrésoudre.
Une approche plus systématique, choisie ici, permet de poser la formulation rigoureuse
de la théorie des poutres à partir de considérations purement mécaniques. Cette théorie
tout à fait générale sera ensuite appliquée aux cas plus simples permettant d’isoler les
comportements linéaires en traction, flexion simple, et en torsion. Les comportements
non-linéaires seront ensuite abordés, et la mécanique des plaques sera décrite à partir
i
ii
d’une cinématique proche de celle des poutres. Au fur et à mesure des exemples traités,
le lien entre les problèmes physiques et leur formulation devra apparaître de plus en plus
naturellement.
Enfin, même si les solutions proposées dans le cas des structures simples restent
d’un grand intérêt, il apparaîtra rapidement, dans le cas des plaques notamment, que
la résolution analytique est de portée limitée. On comprend alors que la conception de
systèmes avancés, de plus en plus complexes et multi-physiques (aéroélasticité/structure,
thermo-mécanique, biomécanique, ...) ne pourra se faire à l’aide de solutions simplifiées
seulement. Au contraire, la conception et le dimensionnement de structures doit s’appuyer
de façon systématique sur les 2 types d’approches, analytique pour accéder rapidement à
des ordres de grandeur, puis numérique pour prendre en compte plus finement des com-
portements extrêmes et/ou locaux. En effet, l’avancée conjointe des connaissances dans
le domaine du comportement des matériaux et de la puissance de calcul des ordinateurs
fait que le recours aux simulations numériques, et souvent au calcul intensif (massivement
parallèle), est dorénavant systématique et pointue. Il faut toutefois noter que l’utilisation
de ces simulations ne peut se faire sans connaissance avancée en mécanique, et notamment
en mécanique des structures qui reste la base dans la formulation des éléments finis struc-
turaux largement répandus en conception. Seule une bonne connaissance de ces éléments,
et donc des hypothèses qui ont amené à leur formulation, ainsi que des méthodes de ré-
solution numériques correspondantes, permet de mener à bien, de façon optimale et sûre,
des calculs de dimensionnement des structures. Une extension à la résolution numérique
des problèmes de mécanique est donc proposée en fin de ce cours, avec un accent parti-
culier mis sur la mécanique numérique des structures. Ce chapitre représente également
un avant-goût du module 2 mis en place à la rentrée 2009-2010 dans l’option Matériaux
et Mécanique, intitulé ’Mécanique numérique’, et qui se concentre exclusivement sur les
méthodes numériques et la simulation en mécanique.
Quelques ouvrages de référence
— Introduction à la mécanique des milieux continus, P.Germain et P.Muller, Éd.
Masson 1995, collection Enseignement de la physique,
— Mécanique des Structures, Tome 2 Poutres, S.Laroze et J.-J. Barrau, Éd. Mas-
son 1991,
— Cours de Mécanique des Milieux Continus de 1ère année de l’École Nationale
Supérieure des Mines de Saint-Étienne, R. Fortunier, 2000 et H. Klöcker, 2003.
— Theoriesofelasticplates,V.Panc,Éd.NoordhoffInternationalPublishing1975,
collection Mechanics of Structures.
— Finite element simulations of heat transfers, J.-M. Bergheau et R. Fortunier,
ISTE - J. Wiley, ISBN 9781848210530, 2008.
iii
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 1: Exemples de structure : (a) poutre ventrale en composite carbone/époxyde d’un
Airbus A340 : 16 mètres de long pour 1600 kg, (b) un exemple de pale d’éolienne (LM61.5
par LMGlasfiber) : 61,5 m de long pour 17,7 tonnes en composite verre / époxyde - la
plus longue actuellement fait 88,4m (Adwen et LM Wind Power). (c) exemple de tablier
de pont soumis à des charges de roulement et une poussée aérodynamique, et (d) caisson
central de voilure A380 - concept et réalisation

Table des matières
1 Théorie des poutres 1
1.1 Rappels de MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Mécanique des structures et RdM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Définition des structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Résistance des Matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Hypothèses des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Torseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Bilan de la cinématique de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Contraintes et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Torseur des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6.1 Calcul des efforts internes - Équations d’équilibre . . . . . . . . . . 20
1.6.2 Calcul des déplacements et des rotations . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.3 Calcul des états de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Bilan de la théorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Théorie des poutres droites 33
2.1 Poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.1 Simplifications dans le cas des poutres à plan moyen chargées dans
ce plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2 Interprétation des grandeurs cinématiques et statiques . . . . . . . 35
2.1.3 Prise en compte du cisaillement transverse . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.4 Formulation des problèmes de flexion-tension . . . . . . . . . . . . . 37
v
vi
2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Flexion déviée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4 Sollicitation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.5 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Théorèmes énergétiques - Hyperstatisme 61
3.1 Rappels - calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.1 Simplifications dans le cadre de la RdM . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.2 Travail dans le cas des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Théorèmes énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.1 Théorème de réciprocité ou de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . 66
3.2.2 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Hyperstatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.4 Résolution des systèmes hyperstatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Théorème de Ménabréa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Extension aux problèmes non-linéaires et dynamiques 77
4.1 Flambage des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.1 Équations non-linéaires de la statique des poutres droites . . . . . . 80
4.1.2 Application à une poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.1.3 Extension aux calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Modes et fréquences propres de vibration en flexion dans les poutres droites 89
4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.2 Équations de la dynamique des poutres droites à plan moyen . . . . 89
4.2.3 Vibrations libres - application à la flexion simple . . . . . . . . . . 90
4.2.4 Vibrations libres - calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Extension : réponse post-bifurquée d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Poutre sur fondation élastique à deux paramètres . . . . . . . . . . 101
vii
5 Plaques 109
5.1 Plaques et coques - généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.1 Définition d’une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.2 Cas des coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Plaques planes de Love-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 Cinématique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.2 Champ de déplacement complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.3 Déformations et contraintes généralisées . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.4 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.5 Introduction des efforts tranchants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.6 Exemples de plaque de Love-Kirchhoff en flexion . . . . . . . . . . . 130
5.3 Plaques de Hencky-Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.3.1 Cinématique et déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2 Équations d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.3 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Approximations numériques 139
6.1 Notions de base sur les approximations numériques en mécanique . . . . . 140
6.2 Approximations numériques les plus courantes en élasto-statique . . . . . . 141
6.2.1 Résidus pondérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.2 Formulation intégrale faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2.3 Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Applications à la mécanique des structures : Barre soumise à son poids propre148
6.3.1 Solution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.2 Résolution par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.3 Méthodes de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3.4 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.5 De la méthode de Galerkin aux éléments finis . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Élément fini de poutre de type Hermitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4.1 Approximation par éléments finis de type Hermitte . . . . . . . . . 173
6.4.2 Formulation de l’élément fini d’Hermitte en statique linéaire . . . . 177
6.4.3 Vibrations libres en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.4.4 Détermination des charges de flambage . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.5 Conclusions sur les méthodes numériques en mécanique des structures . . . 188
viii
7 Rappels - Éléments et Principes de la mécanique 191
7.1 Rappel sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.1 Définition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.2 Produit scalaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.3 Dérivation d’un torseur dans un repère mobile . . . . . . . . . . . . 193
7.2 Calcul variationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.1 Extremum d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.2 Condition d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.3 Cas où la dérivée seconde intervient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.4 Importance des conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.5 Cas d’une fonctionnelle faisant intervenir des dérivées en temps et
en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.6 Remarque : Indépendance des formes de y dans la fonctionnelle I . 200
7.3 Cinétique - Dynamique - Énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.3.1 Moments et autres caractéristiques du mouvement des corps . . . . 200
7.3.2 Théorème de Huygens-Koënigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3.3 Tenseurs d’inertie pour des géométries courantes . . . . . . . . . . . 203
7.3.4 Cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3.5 Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.6 Principe Fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.3.7 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4 Principe des puissances virtuelles - PPV - et lien avec les autres principes
de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.4.1 Principe des Travaux Virtuels et Principe de Hamilton pour les
systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.4.2 Forme proposée par Lagrange pour les systèmes discrets . . . . . . 213
7.4.3 Généralisation aux systèmes discrets non-conservatifs . . . . . . . . 214
7.4.4 Principe de Hamilton pour les systèmes continus . . . . . . . . . . 216
7.4.5 LiensaveclePPV/PTV,etlePrincipedeHamiltondanslesmilieux
continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.5 Concepts de stabilité des équilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.1 Stabilité des équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.5.2 Définition d’un équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.5.3 Petites oscillations autour d’une configuration d’équilibre . . . . . . 225
ix
7.5.4 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.5.5 Linéarisation des énergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228