mecanique des materiaux solides annales

70 Pages·2008·0.54 MB·French

by  Georges Cailletaud

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MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES
ANNALES
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ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides, 23juin1997
Exercice :
On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux 2. Définir la valeur de la contrainte s pour laquelle le matériau
11
axes x , x , x d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans atteindralalimitedudomained’élasticité,pourchacundescassuivants:
1 2 3
la direction x , tandis que les faces en direction x sont libres, et que les –critèredeTresca, f(s )=max(s )−min (s )−s
1 2 i i j j y
facesendirectionx restentbloquées. –critèredevonMises,∼f(s )=J−s
3 y
1.Indiquerquelssontlestermesnonnulsdutenseurdescontraintesetdu –critèredeDrucker–Prag∼er, f(s )=J+(s −a I )/(1−a ),endistinguant
y 1
icilecasoùlacontraintes es∼tentractionouencompression.
tenseur des déformations dans le repère (x ,x ,x ), et écrire les relations 11
1 2 3
On rappelle que I désigne la trace du tenseur de contraintes, et que,
contrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, 1
avecunmoduled’YoungE etuncoefficientdePoissonn . si s est le déviateur associé au tenseur de contrainte, J est défini par
J=∼((3/2)s:s)0.5
On est en déformations planes selon l’axe x3, si bien que les ∼ ∼
Lestroiscontraintesprincipalessonts =0<s =ns <s =s .
composantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi que 3 2 11 1 11
Latracedutenseurdecontrainte,sondéviateuretledeuxièmeinvariantde
les termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale à
celui-cis’écriventrespectivement
l’axex estlibre,lescomposantes12,22,23dutenseurdecontraintesont
2
nulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de
I =s +s +s =(1+n )s
symétrie.Ceciconduitauxformessimples: 1 11 22 33 11
s 11 0 0  e 11 0 0 I s 2−n 0 0 
s∼ = 00 00 s 0  ∼e = 00 e 022 00 ∼s=s − 31∼I = 311 00 −10−n 2n 0−1
33
r
Lesrelationscontrainte–déformationsont: 3 p
J= s:s=|s | 1−n +n 2
11
2∼ ∼
Ee =s −ns
11 11 33 Ceciconduitauxrésultatssuivants:
Ee 22=−ns 11−ns 33 – pourlecritèredeTresca:
Ee =−ns +s
33 11 33
f(s )=|s |−s s =±s
11 y 11 y
∼
Laconditione =0permetd’écrire:
33
– pourlecritèredevonMises:
s =ns
33 11 s
p
f(s )=|s | 1−n +n 2−s s =±√ y
∼ 11 y 11 1−n +n 2
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– pourlecritèredeDrucker–Prager: Onadonc:
f(s )=(1−a )J−a I −s 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 y ¶ ¶ ¶ ¶
∼
= 0 0 0+ 0 1 0+ 0 0 0
¶s ¶s ¶s ¶s
donc: p ∼ 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1
(1−a )|s | 1−n +n 2+as (1+n )=s
11 11 y
s En posant : s > s > s le critère prendra la forme : f(s )= |s −s |
s 11= (1−a )√1−n +y n 2±a (1+n ) d’où: 1 2 3 ∼ 1 3
 
Dans cette dernière expression le signe (+) correspond à la traction, le (cid:18)f(s )(cid:19)n 1 0 0
e˙vp= ∼ 0 0 0 
signe(−)àlacompression. ∼ K
0 0 −1
3. On suppose que le matériau suit une loi de comportement
viscoplastique à seuil, qui s’écrit sous chargement uniaxial de traction
4. Calculer alors l’évolution du système (contrainte, déformation,
simple, en introduisant deux coefficients supplémentaires K et n pour
déformationviscoplastique)danslesdeuxcassuivants:
caractériserlaviscositédumatériau,etenposant<x>=max(x,0):
–onbloquelacontraintes àlavaleurmaximaleatteintes ;
11 m
(cid:28)s −s (cid:29)n –onbloqueladéformationtotalee àlavaleurmaximaleatteintee .
e˙vp= y 11 m
K Ona:
On généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant le ∼e˙11=∼e˙e11+∼e˙v11p
critère de Tresca. On effectue une mise en charge rapide au cours de
0=e˙e +e˙vp
laquelle la déformation viscoplastique est négligeable, jusqu’à un état ∼33 ∼33
de contrainte tel que s > s . Quelle est la direction de l’écoulement 1 n (cid:18)s −s (cid:19)n
11 y e˙ = s˙ − s˙ + 11 y
viscoplastique? ∼11 E∼11 E∼33 K
L’existencedupotentielviscoplastiquefournitl’équation:
1 n (cid:18)s −s (cid:19)n
0= s˙ − s˙ − 11 y
¶F ¶ f E 33 E 11 K
e˙vp=
∼ ¶ f ¶s
∼ donc:
qu’il faut appliquer avec le critère de Tresca : f(s )=maxi,j|s i−s j| et la e˙ = 1−n 2s˙ +(1−n )(cid:18)s 11−s y(cid:19)n
K (cid:18) f (cid:19)n+1 11 E 11 K
forme:F = d’oùilvient:
n+1 K Onsupposequelamiseenchargeestinstantanée,sibienque,àt =0:
∼e˙vp=(cid:18)Kf (cid:19)n¶s¶ f e s= 1−En s s
∼
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-sionbloquelacontrainteàlavaleurs ,onas =s ,ets˙ =0: Danscecasona:
m s m 11
∼
Z t(cid:18)s −s (cid:19)n s
e 11=e s+(1−n ) mK y dt J(s )= s 211+s 233−s 11s 33
0 ∼ 2
1−n (cid:18)s −s (cid:19)n
= s +(1−n ) m y t
E m K ¶ J(s ) 3s
∼ = ∼ =
¶s 2J(s )
Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec le ∼ ∼
temps.  2s −s 0 0 
1 11 33
-sionbloqueladéformationàlavaleure m,onae s=e m,ete˙11=0,sibien = q  0 −s 11−s 33 0 
que: 2(s 211+s 233−s 11s 33) 0 0 2s 33−s 11
1 (cid:18)s −s (cid:19)n
s˙ + 11 y +0 Lesvitessesdesdéformationsviscoplastiques:
11 1+n K
Ldé’ecxripteospaanrtunneesftoennctgioénnépruailspsalunscegr:and que 1. L’évolution de s 11 est donc e˙v11p=qs 211+s 2332−Ks 11s 33 −s ynq2(s 22s+11s −2 s−33s s )
s =s +K(cid:18)(s s−s y)1−n+ E(n−1)t(cid:19)1−1n 11 33 11 33
Avec: 11 y K E (1+n )K e˙v33p=qs 211+s 2332−Ks 11s 33 −s ynq2(s 22s+33s −2 s−11s s )
s = e 11 33 11 33
s 1−n m
La contrainte s reste constante, donc s˙ = 0. La déformation dans la
11 11
direction3restebloquée,ona:
5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Mises
e˙ =e˙e +e˙vp=0
pour effectuer l’extension tridimensionnelle du modèle viscoplastique, 33 33 33
et en supposant toujours que l’on effectue une mise en charge rapide, q n
lda’élcaosntitcraitiént:e atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domaine 0= E1s˙33+ s 211+s 2332−Ks 11s 33 −s y q2(s 22s+33s −2 s−11s s )
–donnerl’expressiondutenseurvitessededéformationviscoplastiqueàla 11 33 11 33
findelamiseencharge, Onremarqueque,horsdelazoneélastique:
– en supposant que la contrainte s est maintenue constante, montrer
11
qcaulecullaercao.nQtruaeilnletessso3n3tatelonrdsalessymcopmtoptoiqsuaenmteesndtevlearsvituenseseldimeidteéfoqrumealt’ioonn qs 211+s 2332−s 11s 33 −s ynq 1 >0 ∀s 33
viscoplastique? K 2(s 211+s 233−s 11s 33)
80
Onsupposeques aunevaleurassymtotique,laconditionnécessaireest Il est simple de vérifier que si s = s m, on a s˙ = 0. Si s < s m,
33 33 2 33 33 2
doncs˙ =0.Onobtientdonc: on obtient s˙ > 0, ceci montre que s augmente jusqu’à la valeur
33 33 33
2s −s =0 assymtotiquei s 33 = s2m. Cette valeur est ensuite impossible d’augmenter
33 11 (cars˙ =0),nidiminuer(carsis diminue,onobtientànouveaus˙ >0,
33 33 33
ou: s s ceciestimpossible).
s = 11 = m
33
2 2
81
Cylindre en torsion
On considère un barreau prismatique d’axe x , de section circulaire Leséquationsd’équilibresontbienvérifiées,enl’absencedeforcesde
3
(rayon R), et de longueur L dans le repère orthonormé (x ,x ,x ). Il est volumes.
1 2 3
“suffisamment long” pour que les contraintes et les déformations soient Sur un point courant de la section latérale, le vecteur contrainte reste une
indépendantesdex . seulecomposantedecisaillement:
3
q q
Résolutionenélasticité t = s 2 +s 2 =µa x2+x2=µa r
13 23 1 2
Le matériau est supposé élastique isotrope, de module d’Young E et de
coefficient de Poisson n . Le barreau est encastré dans sa partie inférieure Le problème est indépendent selon x3, le vecteur contrainte de la section
(plan (x = 0)), et il subit un champ de déplacement u, pour lequel la supérieureresteinchangéparrapportàceluid’unesectionlatérale.
3
composanteselon3estnulle,et:
4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que le
u1=−a x2x3 ; u2=a x1x3 moment M autour de l’axe x3. En déduire que les champs obtenus sont
bienlasolutiond’unproblèmedetorsionautourdel’axex .Quelleestla
3
significationphysiquedea ?
1.Calculerlescomposantesdutenseurdedéformation.
La force résultante sur la section supérieure est alors un moment de
torsionquivaut:
1 a x
e = (u +u )=− 2
13 2 103 301 2 Z Z R 1
M= (x s −x s )dS=2p t r2dr= p µR4a
e = 1(u +u )= a x1 S 1 23 2 13 0 2
23 203 302
2 2
a représente l’angle de torsion unitaire, c’est-à-dire, pour une longueur
Lesautrescomposantesdutenseurdedéformationsontnulles. d’unité, la section supérieure tourne d’un angle a par rapport à la section
inférieure.
2.Calculerlescomposantesdutenseurdescontraintes.
Résolutionenplasticité
Onsupposequelematériauestélastique–parfaitementplastique,avecune
s 13=2µe 13=−µa x2 limited’élasticitéentractionsimples .
y
s =2µe =µa x
23 23 1
Lesautrescomposantesdutenseurdecontraintessontnulles. 1. En supposant que s et s sont les deux seules composantes non
13 23
nullesdutenseurdecontraintes,montrerque,pourlecritèredevonMises
3.Montrerqueleséquationsd’équilibresontvérifiées,enl’absencede
commepourceluideTresca,onauraenrégimeplastique:
forcesdevolume;calculerlevecteurcontraintesurunpointcourantdela
sectionlatérale,etsurunpointcourantdelasectionsupérieure. s 2 +s 2 =t 2
13 23 y
82
t étantlalimited’élasticitéencisaillementpur. Danslazoneplastique,lacontrainteresteconstante:
y
Exprimerpourchacundesdeuxcritèrest enfonctiondes .
y y s
Enrégimeplastique,pournotrecasdecisaillementpur,onaura: t = √y
3
t =t
y
Leproblèmeestdoncstatiquementdéterminé
Onobtientdonc:
s 2 +s 2 =t 2 4.Donnerlaformedutenseurdevitessededéformationplastiquedans
13 23 y
la zone plastique. Montrer, pour un point du barreau qui est d’abord en
PourlecritèredevonMises:
élasticité,puisenplasticité,queletrajetdedéformationdansleplane –
s 13
t y= √y e 23 estunsegmentdedroitedontlapenteresteinchangéelorsdupassage
3
enplasticité.
PourlecritèredeTresca: s Onaletenseurdescontraintes:
t = y
y
2  0 0 s 
13
s = 0 0 s 23
∼ s s 0
2. Pour quelle valeur M du moment M une zone plastique apparaît- 13 23
e
elle dans la structure pour le critère de von Mises? Quelle est sa
Tenseurdedirectiond’écoulement:
localisation?
Laplasticitéapparaîtenpremiersurlerayonextérieur,lorsqueµa R=  0 0 s /s 
s /√3. On a donc à ce moment un angle b = √s yL , un moment M = n= 3 0 0 s 1233/s yy
y e 3µR e ∼ 2 s /s s /s 0
s 13 y 23 y
√y p R3.
2 3 Leschampsdevitessededéformationplastique:
3. Montrer que le problème d’obtention des contraintes dans la zone 3s
e˙p = 13p˙
plastiqueeststatiquementdéterminé,c’est-à-direquel’onpeutobtenirles 13 2s
y
contraintesdanslastructuresansréférenceàladéformation.
En plasticité parfaite, la déformation ainsi que la contrainte sont 3s
e˙p = 23p˙
imposées par le «noyau» qui reste élastique, elles sont toujours linéaires 23 2s
y
en fonction du rayon. A la frontière entre les zones élastique et plastique,
Leschampsdedéformationtotales’écrivent:
lecritèredeplasticitéestvérifié,onadonc:
s s 3s
t =s q z= √y3 e 13= 21µ3 + 2s 1y3p
83
s 3s
e = 23 + 23p Onobtientlemomentparintégration,soit:
23 2µ 2s
y Z R
M=2p t r2dr
Dans le plan e −e pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité, 0
13 23
nousavonstoujours: = 2√ps y(cid:18)Z cr3dr+Z Rr2dr(cid:19)
e 13 s 13 x2 3 0 c c
e 23 = s 23 =−x1 = 2p √s y (cid:18)R3−c3(cid:19)
3 3 4
Cette dernière équation représente que le trajet de déformation est un
segmentdroitequiresteinchangéepourunpoint.
7. Quelle est la valeur maximale théorique M du moment que peut
M
supporterlebarreau?
5. En déduire que le champ de déplacement utilisé en élasticité reste
LavaleurlimiteM estobtenuepourc=0:
M
valide en élasto–plasticité, ce qui justifie en même temps l’hypothèse
que seules s 13 et s 23 sont non nulles. On a donc trouvé une solution M = 2p √s y R3= 4M
M e
plastiquement admissible, compatible avec les conditions statiques et 3 3 3
cinématiquesimposéesàlastructure.
Avec un rapport constant e 13/e 23 = −xx21 pour un point qui passe de 8. On suppose qu’on effectue un chargement jusqu’à un moment Mm,
l’élasticitéenplasticité,lechampdedéplacementutiliséresteencorevalide telqueM <M <M ,puisquel’onramènelemomentàzéro.Tracerla
e m M
enélasto-plasticité. variationdet (telquet 2=s 2 +s 2 )lelongdurayonr (0<r<R)pour
13 23
le moment maximum et après retour à zéro. Risque-t-on de rencontrer de
nouveauledomaineplastiquelorsdeladécharge?
6. Calculer, pour une valeur donnée de a , la valeur c du rayon où se
On suppose que la décharge s’effectue en élasticité et on le vérifiera
trouve la frontière entre la zone élastique et la zone plastique. Calculer la
après. Le résultat du problème est alors la superposition des deux cas : le
valeurdumomentobtenueenfonctiondec.
chargement élastoplastique jusqu’à M et la décharge élastique de M à
m m
A la frontière entre les zones élastique et plastique, le critère de zéro.
plasticitéestvérifié,onadonc: Onobtientalors:
s -si r=0 t =0
t =µa c= √y
3 -si r=c t = √s y −2cMm
3 p R4
c= µas √y 3 -si r=R t = √s y3−2p MR3m
84
Notonsquel’hypothèsededéchargeélastiqueestvérifiéecar: utilisationultérieure?Montrerqu’ilestfondamentaldemémoriserlesens
de rotation lors de la précharge, faute de quoi on détériore la valeur du
s 2M s 4s s
t (R)= √y − m < √y − √y =− √y momentélastiqueapparentaulieudel’améliorer.
3 p R3 3 3 3 3 3
Après la décharge, si l’on continue un chargement dans le même sens
aveclepréchargement,letrajetresteencoreenélasticitéjusqu’àM=M >
Onnepourrapasrencontrerdenouveaulaplasticitélorsdeladécharge. m
M .Nousavonsalorsunevaleurdumomentélastiqueplusgrande.
e
Si l’on effectue le chargement dans le sens inverse avec celui du
9. Le type de préchargement décrit dans la question précédente
préchargement, le trajet reste encore en élasticité jusqu’à M = M −
est utilisé industriel- lement pour traiter par exemple les arbres de m
transmission. Quel intérêt voyez-vous à un tel traitement en vue d’une p R√3s y <M
e
3
85
ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides, 12juin1998
Etudedelalocalisationdansuneplaque
x
2 1.Indiquerlaformedutenseurdescontraintesdanslerepère(t,n,e ).
3
Ecrireleséquationsd’équilibredanscerepère.(Onintroduiralesnotations
s ,s ,s etlesdérivéespartielles¶ ./¶ n=. et¶ ./¶ t =. ).
nn tt nt ,n ,t
n
Danslerepèreindiqué,lescomposantesdutenseurdecontraintesont:
t x
F 1 s s 0 
tt nt
x3 s nt s nn 0 
0 0 s
33
avec,ennotantc=cosF ets=sinF :
s =s c2+s s2 s =s s2+s c2 s =(s −s )cs
tt 11 22 nn 11 22 nt 11 22
On applique sur un parallélipipède dont les arêtes sont respectivement
parallèles aux axes x1, x2 et x3 de vecteurs directeurs (e1, e2, e3) un effort Leséquationsd’équilibres’exprimentalors:
caractérisé dans ce repère par un tenseur dont les seules composantes non
nullessonts ,s ets . s +s =0 et s +s =0
11 22 33 tt,t nt,n nt,t nn,n
On veut caractériser la direction des faces selon lesquelles risque de
s’établiruneinstabilitéconduisantàlaruinepardéformationexcessive.On
supposequelematériauestrigide-plastique(pasdedéformationélastique,
2. Indiquer quelles sont les dérivées partielles des composantes du
limited’élasticités ),etqu’ilobéitaucritèredevonMises.
0 tenseurdescontraintesquisontconnuesenunpointdelafacedéfiniepar
(t,e ),etdirepourquoionnepeutpasdéterminers =¶s /¶ n.
On suppose également que la plaque est entièrement plastifiée. La 3 tt,n tt
direction de la face recherchée est définie par le vecteur n, qui est situé On peut suivre dans chaque matériau des lignes parallèles à t,
dans le plan (x , x ), et qui fait un angle F avec e . Elle contient donc donc définir les dérivées partielles par rapport à t. Grâce aux équations
1 2 2
les vecteurs t et e , le repère (t,n) étant direct. Le problème se résume précédentes, la donnée de s et s permet de définir s et s au
3 tt,t nt,t nt,n nn,n
à démontrer qu’il peut exister une discontinuité du champ de contrainte passage de la frontière. Il n’y a par contre pas d’information particulière
lorsqu’on traverse une ligne définie par la direction t, c’est-à-dire que, pourconnaîtres .
tt,n
connaissant complètement la solution d’un côté de la ligne définie par t,
il peut être impossible de déterminer complètement la solution de l’autre 3.Endésignantpar f lafonctionquidéfinitlecritèredevonMises,la
côté. condition de plastification de l’ensemble de la plaque impose l’équation