Mecánica y Ondas

225 Pages·2008·1.92 MB·Spanish

Mec´anica y Ondas
Salamanca, Primer semestre
´
Indice
1. Preliminares Matem´aticos 1
1. Sistemas de coordenadas ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1..1 Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1..2 Coordenadas cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1..3 Coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Derivada de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4..1 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4..2 Integrales de volumen y superficie . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5..1 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5..2 Integrales de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6. Laplaciana de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Cinem´atica de una part´ıcula 33
1. Sobre la noci´on de part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1..1 Posici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1..2 Orbita y trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1..3 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1..4 Aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Estudio de curvas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2..1 Representaci´on anal´ıtica de una curva . . . . . . . . . . . . . 35
2..2 Longitud de un arco de curva. Representaci´on intr´ınseca . . 36
2..3 Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2..4 Vector normal: Curvatura y c´ırculo osculador . . . . . . . . 37
2..5 Vector binormal: Torsio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Triedro intr´ınseco de una curva en el espacio . . . . . . . . . . . . . 38
3..1 F´ormulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . 39
i
ii
5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Movimiento de una part´ıcula en tres dimensiones: Fuerzas cen-
trales 65
1. Movimiento de una part´ıcula en tres dimensiones . . . . . . . . . . 65
1..1 Segunda ley de Newton: Momento lineal . . . . . . . . . . . 66
1..2 Fuerzas conservativas: Conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . 66
1..3 Fuerzas centrales: Conservacio´n del momento angular . . . . 67
2. Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2..1 Puntos de retroceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2..2 Estados ligados y estados de difusi´on . . . . . . . . . . . . . 68
3. El oscilador arm´onico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3..1 Resoluci´on en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . 69
3..2 Resoluci´on en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . 70
4. Potencial de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4..1 Caso repulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4..2 Caso Atractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Secci´on eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5..1 Concepto de secci´on eficaz y secci´on eficaz diferencial . . . . 87
5..2 Difusi´on por una esfera dura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5..3 Difusi´on de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5..4 Aproximaci´on de ´angulos pequen˜os . . . . . . . . . . . . . . 92
6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4. Mec´anica de Lagrange y Hamilton 137
1. C´alculo de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1..1 Funcionales integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1..2 Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1..3 Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2. Formulaci´on lagrangiana para sistemas potenciales . . . . . . . . . . 139
2..1 Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2..2 Principio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2..3 Funcio´n de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2..4 Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
2..5 T´erminos de la energ´ıa cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2..6 Potencial: Fuerzas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2..7 Momentos generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3. Sistemas con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3..1 Ligaduras hol´onomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3..2 Ligaduras no hol´onomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3..3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4. Formulaci´on Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
iii
4..1 Funcio´n de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4..2 Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4..3 Conservaci´on del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4..4 Significado f´ısico del hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . 148
5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5. Mec´anica relativista 183
1. Relatividad en la Mec´anica cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1..1 Transformaciones de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1..2 La relatividad de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2. La mec´anica cl´asica y La electrodin´amica . . . . . . . . . . . . . . . 185
3. La Teor´ıa del Eter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3..1 Experimento de Michelson Morley . . . . . . . . . . . . . . . 186
3..2 Hip´otesis de Fitzgerald: Experimento de Kennedy-Thorndike 188
3..3 Hip´otesis del arrastre del eter: aberraci´on estelar y experi-
mento de Fizeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4. Intentos de modificar el electromagnetismo: Experimento de De Sitter190
5. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5..1 Postulados b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5..2 Transformaciones entre sistemas inerciales . . . . . . . . . . 191
5..3 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6. Consecuencias de la Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . 193
6..1 Composici´on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6..2 Dilataci´on temporal. Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . 193
6..3 Contracci´on espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6..4 Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7. Espacio de Minkovski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7..1 Conservaci´on del intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7..2 Espacio-tiempo cuadridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 196
8. La part´ıcula libre en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . 197
8..1 Lagrangiano relativista de la particula libre . . . . . . . . . 197
8..2 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8..3 Hamiltoniano relativista de la particula libre . . . . . . . . 199
8..4 Part´ıculas con masa: Energ´ıa en reposo . . . . . . . . . . . 199
8..5 Energ´ıa de las part´ıculas sin masa . . . . . . . . . . . . . . . 199
9. Interacciones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9..1 Efecto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9..2 Efecto Fotoel´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9..3 Emisi´on de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9..4 Absorci´on de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Cap´ıtulo 1 .
Preliminares Matem´aticos
1. Sistemas de coordenadas ortonormales
Sea {u ,u ,u } un sistema de ejes coordenados perpendiculares y sean {(cid:126)j ,(cid:126)j ,(cid:126)j }
1 2 3 1 2 3
los respectivos vectores unitarios. Un vector (cid:126)r ser´a, en este sistema:
(cid:126)r = x (cid:126)j +x (cid:126)j +x (cid:126)j (1.1)
1 1 2 2 3 3
Dado que, en general, los vectores unitarios (salvo en coordenadas cartesianas)
var´ıan de un punto a otro (dependen de las coordenadas), la diferencial de (cid:126)r ser´a:
d(cid:126)r = dx (cid:126)j +dx (cid:126)j +dx (cid:126)j +x d(cid:126)j +x d(cid:126)j +x d(cid:126)j (1.2)
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
que es otro vector y por tanto ha de escribirse
d(cid:126)r = dl (cid:126)j +dl (cid:126)j +dl (cid:126)j = h du(cid:126)j (1.3)
1 1 2 2 3 3 i i i
donde el indice i recorre los valores 1,2 y 3.
Las cantidades h definidas como
i
dl = h du (1.4)
i i i
son los par´ametros de escala que caracterizan a un sistema de coordenadas con-
creto. Como puede verse, el problema reside basicamente en determinar las valores
d(cid:126)j de los vectores de la base.
i
Los elementos de longitud, superficie y volumen son por tanto:
elemento de l´ınea
• dl = h du es el elemento de longitud cuando u y u permanecen constantes
1 1 1 2 3
• dl = h du es el elemento de longitud cuando u y u permanecen constantes
2 2 2 1 3
1
2 Cap´ıtulo 1
• dl = h du es el elemento de longitud cuando u y u permanecen constantes
3 3 3 1 2
elemento de superficie
• dS = dl dl = h h du du es el elemento de superficie cuando u permanece
1 2 3 2 3 2 3 1
constante
• dS = dl dl = h h du du es el elemento de superficie cuando u permanece
2 1 3 1 3 1 3 2
constante
• dS = dl dl = h h du du es el elemento de superficie cuando u permanece
3 1 2 1 2 1 2 3
constante
elemento de volumen
dV = dl dl dl = h h h du du du
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1..1 Coordenadas cartesianas
La nomenclatura usual es:
• coordenadas
{u ,u ,u } = {x,y,z} (1.5)
1 2 3
Preliminares Matem´aticos 3
(cid:6)(cid:1)
(cid:4)(cid:1)
(cid:5)(cid:1)
(cid:3)(cid:1)
(cid:2)(cid:1)
(cid:7)(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:8)(cid:9)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:14)(cid:11)(cid:14)(cid:15)(cid:1)(cid:16)(cid:14)(cid:10)(cid:17)(cid:12)(cid:15)(cid:18)(cid:14)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:1)
• vectores unitarios
{(cid:126)j ,(cid:126)j ,(cid:126)j } = {(cid:126)i,(cid:126)j,(cid:126)k} (1.6)
1 2 3
donde los vectores unitarios son tangentes a la direcci´on de variaci´on de las coor-
denadas.
4 Cap´ıtulo 1
(cid:17)(cid:1)
(cid:4)
(cid:1)
(cid:16)(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)(cid:2)(cid:1)
(cid:3)
(cid:18)(cid:1)
(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:6)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:13)(cid:3)(cid:8)(cid:14)(cid:10)(cid:3)(cid:9)(cid:11)(cid:1)(cid:6)(cid:13)(cid:1)(cid:7)(cid:9)(cid:9)(cid:10)(cid:15)(cid:6)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:14)(cid:11)(cid:1)(cid:7)(cid:14)(cid:10)(cid:8)(cid:6)(cid:11)(cid:3)(cid:14)(cid:13)(cid:14)(cid:11)(cid:1)
(cid:1)
• Vector posici´on
(cid:126)r = x(cid:126)i+y(cid:126)j +z(cid:126)k (1.7)
• Variacio´n de los vectores unitarios
En este caso los vectores unitarios son constantes por lo que la variacio´n de (cid:126)r se
debe solo a la variacio´n de sus coordenadas
d(cid:126)i = d(cid:126)j = d(cid:126)k = 0 (1.8)
• Variacio´n del vector posici´on
d(cid:126)r = dx(cid:126)i+dy(cid:126)j +dz(cid:126)k (1.9)
• Par´ametros de escala
h = h = h = 1 (1.10)
x y z
Preliminares Matem´aticos 5
• Elementos de l´ınea
dl = dx
x
dl = dy
y
dl = dz (1.11)
z
• Elementos de superficie
dS = dydz
x
dS = dxdz
y
dS = dxdy (1.12)
z
• Elemento de volumen
dV = dxdydz (1.13)
(cid:21)(cid:1)
(cid:4)(cid:1)
(cid:20)(cid:1)
(cid:3)(cid:1)
(cid:2)(cid:1)
(cid:22)(cid:1)
(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:7)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:1)(cid:12)(cid:7)(cid:1)(cid:13)(cid:11)(cid:6)(cid:14)(cid:8)(cid:7)(cid:9)(cid:1)(cid:7)(cid:9)(cid:1)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:10)(cid:7)(cid:18)(cid:19)(cid:16)(cid:9)(cid:16)(cid:18)(cid:1)
1..2 Coordenadas cil´ındricas
La nomenclatura usual es:
6 Cap´ıtulo 1
• coordenadas
(cid:14)(cid:1)
(cid:2)(cid:1)
(cid:13)(cid:1)
r
j
(cid:15)(cid:1)
(cid:3)(cid:4)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:6)(cid:9)(cid:10)(cid:1)(cid:11)(cid:4)(cid:12)(cid:9)(cid:5)(cid:7)(cid:10)(cid:1)
(cid:1)
{u ,u ,u } = {ρ,ϕ,z} (1.14)
1 2 3
donde la relaci´on con las coordenadas cartesianas es
(cid:112)
ρ = x2 +y2
y
ϕ = arctg
x
x = ρcosϕ (1.15)
y = ρsenϕ
• vectores unitarios