MECANICA y ONDAS

99 Pages·2008·2.85 MB·Spanish

Apuntes de
MECANICA y ONDAS
Grupo B
Curso 2008-09
Gabriela Baremboin
Chantal Ferrer
Jose A. Peæarrocha
Facultat de F(cid:237)sica
Universitat de Valencia
1
2
1 Coordenadas curvilineas.
CinemÆtica del punto
1.1 De(cid:133)niciones
1.2 Elementos diferenciales
1.3 Operadores diferenciales
1.4 Coordenadas cartesianas
1.5 Coordenadas cilindricas
1.6 Coordenadas esfericas
1.7 CinemÆtica del punto
1.8 Formulas de Frenet
1.1 De(cid:133)niciones
Punto: P(x;y;z) P((cid:11);(cid:12);(cid:13))
(cid:15) (cid:17)
x=x((cid:11);(cid:12);(cid:13))
Correspondencia biunivoca: y =y((cid:11);(cid:12);(cid:13))
(cid:15) 9
z =z((cid:11);(cid:12);(cid:13))
=
Lineascoordenadasl(cid:11);l(cid:12);l(cid:13) :curvascon(cid:11);(cid:12);(cid:13);variablesrespectivamente
(cid:15)
Super(cid:133)cies coordenadas s ;s ;s : super(cid:133)cies con (cid:11);(cid:12);(cid:13) constantes
(cid:12)(cid:13) (cid:13)(cid:11) (cid:11)(cid:12)
(cid:15)
respectivamente
Referencia local: Vectores unitarios tangentes a lineas coodenadas: r =
(cid:0)!
(cid:15)
x(cid:0)!i +y(cid:0)!j +z(cid:0)!k =
)
1 @(cid:0)!r 1 @(x(cid:0)!i +y(cid:0)!j +z(cid:0)!k)
u = = ;
(cid:0)!(cid:11)
h @(cid:11) h @(cid:11)
(cid:11) (cid:11)
@x 2 @y 2 @z 2
h = + +
(cid:11)
s @(cid:11) @(cid:11) @(cid:11)
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
Analogamente u y u
(cid:0)!(cid:12) (cid:0)!(cid:13)
Referencia dual: Vectores unitarios ortogonales a planos coodenados
(cid:15)
1
u = u u
(cid:0)!(cid:11)(cid:12) (cid:0)!(cid:11) (cid:0)!(cid:12)
(cid:0)!u(cid:11) (cid:0)!u(cid:12) (cid:2)
j (cid:2) j
Coordenadas ortogonales = Referencia dual = Referencia local
(cid:15) )
1.2 Elementos diferenciales
3
Diferencial de la posici(cid:243)n
(cid:15)
dr =(h d(cid:11))u +(h d(cid:12))u +(h d(cid:13))u
(cid:0)! (cid:11) (cid:0)!(cid:11) (cid:12) (cid:0)!(cid:12) (cid:13) (cid:0)!(cid:13)
Elementos de linea
(cid:15)
d(cid:0)!l (cid:11) =(h(cid:11)d(cid:11))(cid:0)!u(cid:11), d(cid:0)!l (cid:11) =h(cid:11)d(cid:11)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Analogamente para d(cid:0)!l ;d(cid:0)!l (cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:13)
Elementos de super(cid:133)cie
(cid:15)
d(cid:0)!s(cid:11)(cid:12) = d(cid:0)!l (cid:11) d(cid:0)!l (cid:12) =(h(cid:11)h(cid:12)d(cid:11)d(cid:12))(cid:0)!u(cid:11) (cid:0)!u(cid:12)
(cid:2) (cid:2)
ds = h h d(cid:11)d(cid:12) 1 (u u )2
(cid:0)!(cid:11)(cid:12) (cid:11) (cid:12) (cid:0)!(cid:11) (cid:0)!(cid:12)
j j (cid:0) (cid:1)
= h h d(cid:11)d(cid:12)q, (para c. ortogonales)
(cid:11) (cid:12)
Analogamente para ds ; ds
(cid:0)!(cid:12)(cid:13) (cid:0)!(cid:13)(cid:11)
Elemento de volumen
(cid:15)
dv = d(cid:0)!l (d(cid:0)!l d(cid:0)!l )
(cid:11) (cid:11) (cid:11)
(cid:1) (cid:2)
= u (u u )h h h d(cid:11)d(cid:12)d(cid:13)
(cid:0)!(cid:11) (cid:0)!(cid:12) (cid:0)!(cid:13) (cid:11) (cid:12) (cid:13)
(cid:1) (cid:2)
= h h h d(cid:11)d(cid:12)d(cid:13) , (para c. ortogonales)
(cid:11) (cid:12) (cid:13)
1.3 Operadores diferenciales
Gradiente de un campo escalar, (cid:0)gr(cid:0)a!d (cid:8): Sea (cid:8)((cid:11);(cid:12);(cid:13))
(cid:15)
d(cid:8)=(cid:0)gr(cid:0)a!d (cid:8) d(cid:0)!r
(cid:1)
Expresion en coordenadas ortogonales
(cid:15)
1 @(cid:8) 1 @(cid:8) 1 @(cid:8)
(cid:0)gr(cid:0)a!d (cid:8)= (cid:0)!u(cid:11)+ (cid:0)!u(cid:12) + (cid:0)!u(cid:13)
h @(cid:11) h @(cid:12) h @(cid:13)
(cid:11) (cid:12) (cid:13)
Propiedad: (cid:0)gr(cid:0)a!d (cid:8) es perpendicular a la super(cid:133)cie (cid:8)=const:
(cid:15)
Divergencia de un campo vectorial, div (cid:0)!A: Sea (cid:0)!A = A(cid:11)(cid:0)!u(cid:11) +A(cid:12)(cid:0)!u(cid:12) +
(cid:15)
A u .
(cid:13)(cid:0)!(cid:13)
La divergencia en un punto es el (cid:135)ujo de (cid:0)!A por unidad de volumen a
traves de las caras del volumen elemental en ese punto
1
div (cid:0)!A = (cid:0)!A d(cid:0)!sc
dv (cid:1)
c
X
4
Expresi(cid:243)n en coordenadas ortogonales
(cid:15)
1 @ @ @
div (cid:0)!A = (A h h )+ (A h h )+ (A h h )
(cid:11) (cid:12) (cid:13) (cid:12) (cid:13) (cid:11) (cid:13) (cid:11) (cid:12)
h h h @(cid:11) @(cid:12) @(cid:13)
(cid:11) (cid:12) (cid:13) (cid:20) (cid:21)
Propiedad: div(cid:0)!A = 0 = No hay fuentes ni sumideros en el punto con-
(cid:15) )
siderado (campo solenoidal)
Teorema de la divergencia: Sea S una super(cid:133)cie cerrada que encierra V.
(cid:15)
Entonces
div (cid:0)!A dv = (cid:0)!A (cid:0)!ds
(cid:1)
ZV IS
Rotacional de un campo vectorial, (cid:0)r!ot (cid:0)!A: Circulaci(cid:243)n en un punto por
(cid:15)
unidad de super(cid:133)cie a lo largo de los lados de una super(cid:133)cie elemental
1
(cid:0)r!ot (cid:0)!A = (cid:0)!A d(cid:0)!l L
(cid:11) ds(cid:12)(cid:13) (cid:1)
(cid:16) (cid:17) XL
Analogamente para las demas componentes
Expresi(cid:243)n en coodenadas ortogonales
(cid:15)
h u h u h u
1 (cid:11)(cid:0)!(cid:11) (cid:12)(cid:0)!(cid:12) (cid:13)(cid:0)!(cid:13)
(cid:0)r!ot(cid:0)!A = @=@(cid:11) @=@(cid:12) @=@(cid:13)
h h h (cid:12) (cid:12)
(cid:11) (cid:12) (cid:13) (cid:12) A(cid:11)h(cid:11) A(cid:12)h(cid:12) A(cid:13)h(cid:13) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
Propiedad: (cid:0)r!ot (cid:0)!A = 0 = Circulaci(cid:243)n nula alrededor del punto consider-
(cid:15) )
ado (campo irrotacional)
Teorema de Stokes. Sea (cid:0) un circuito frontera de la super(cid:133)cie S
(cid:15)
(cid:0)r!ot (cid:0)!A (cid:0)!ds= (cid:0)!A (cid:0)!dl
(cid:1) (cid:1)
ZS I(cid:0)
1.4 Coordenadas cartesianas
De(cid:133)nici(cid:243)n: x=x; y =y; z =z
(cid:15)
Referencia local:
(cid:15)
(cid:0)!ux =(1;0;0)=(cid:0)!i ; (cid:0)!uy =(0;1;0)=(cid:0)!j ; (cid:0)!uz =(0;0;1)=(cid:0)!k
Elementos de linea: dx; dy; dz = d(cid:0)!r =dx(cid:0)!i +dy(cid:0)!j +dz(cid:0)!k
(cid:15) )
5
Elementos de super(cid:133)cie: dydz; dxdz; dxdy = d(cid:0)!s =dydz(cid:0)!i +dxdz(cid:0)!j +
(cid:15) )
dxdy(cid:0)!k
Elemento de volumen: dxdydz
(cid:15)
Gradiente:
(cid:15) @(cid:8) @(cid:8) @(cid:8)
(cid:0)gr(cid:0)a!d (cid:8)=(cid:0)!(cid:8)= (cid:0)!i + (cid:0)!j + (cid:0)!k
r @x @y @z
Divergencia:
(cid:15) @A @A @A
div (cid:0)!A =(cid:0)! (cid:0)!A = x + y + z
r (cid:1) @x @y @z
Rotacional:
(cid:15)
(cid:0)!i (cid:0)!j (cid:0)!k
(cid:0)r!ot (cid:0)!A =(cid:0)! (cid:0)!A = @=@x @=@y @=@z
r (cid:2) (cid:12) (cid:12)
(cid:12) A A A (cid:12)
(cid:12) x y z (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
1.5 Coordenadas cilindricas
De(cid:133)nici(cid:243)n:
(cid:15) x=(cid:26)cos(cid:30)
y =(cid:26)sin(cid:30)
9
z =z
=
Referencia local ;
(cid:15)
u =(cos(cid:30);sin(cid:30);0); h =1
(cid:0)!(cid:26) (cid:26)
u =( sin(cid:30);cos(cid:30);0); h =(cid:26)
(cid:0)!(cid:30) (cid:30)
(cid:0)
u =(0;0;1); h =1
(cid:0)!z z
Elementos de linea: d(cid:26); (cid:26)d(cid:30); dz dr =d(cid:26)u +(cid:26)d(cid:30)u +dzu
(cid:0)! (cid:0)!(cid:26) (cid:0)!(cid:30) (cid:0)!z
(cid:15) !
Elementos de super(cid:133)cie: (cid:26)d(cid:30)dz; d(cid:26)dz; (cid:26)d(cid:26)d(cid:30)
(cid:15) !
ds =(cid:26)dzd(cid:30)u +d(cid:26)dzu +(cid:26)d(cid:26)d(cid:30)u
(cid:0)! (cid:0)!(cid:26) (cid:0)!(cid:30) (cid:0)!z
Elemento de volumen: dv =(cid:26)d(cid:26)d(cid:30)dz
(cid:15)
1.6 Coordenadas esfericas
De(cid:133)nici(cid:243)n
(cid:15) x=rsin(cid:18)cos(cid:30)
y =rsin(cid:18)sin(cid:30)
9
z =rcos(cid:18); (cid:18) [0;(cid:25)[
=
2
;
6
Referencia local
(cid:15)
u =(sin(cid:18)cos(cid:30);sin(cid:18)sin(cid:30);cos(cid:18)); h =1
(cid:0)!r r
u =(cos(cid:18)cos(cid:30);cos(cid:18)sin(cid:30); sin(cid:18)); h =r
(cid:0)!(cid:18) (cid:18)
(cid:0)
u =( sin(cid:30);cos(cid:30);0); h =rsin(cid:18)
(cid:0)!(cid:30) (cid:30)
(cid:0)
Elementos de linea: dr =dru +rd(cid:18)u +rsin(cid:18)d(cid:30)u
(cid:0)! (cid:0)!r (cid:0)!(cid:18) (cid:0)!(cid:30)
(cid:15)
Elementosdesuper(cid:133)cie: ds =r2sin(cid:18)d(cid:18)d(cid:30)u +rsin(cid:18)drd(cid:30)u +rdrd(cid:18)u
(cid:0)! (cid:0)!r (cid:0)!(cid:18) (cid:0)!(cid:30)
(cid:15)
Elemento de volumen: dv =r2sin(cid:18)drd(cid:18)d(cid:30)
(cid:15)
1.7 CinemÆtica del punto: de(cid:133)niciones
Espacio (metro): 1m distancia que viaja la luz en 1=299792458 segun-
(cid:15) (cid:17)
dos.
Tiempo (segundo): 1s 9192631770 periodos de transicion hiper(cid:133)na del
(cid:15) (cid:17)
estado fundamental del Cesio 133:
Trayectoria: Posici(cid:243)neneltranscursodeltiempo= ~r(t)=x(t)~{+y(t)~|+
(cid:15) )
z(t)~k
Elemento de trayectoria: de= d~r = (dx)2+(dy)2+(dz)2
(cid:15) j j
Espacio: p
(cid:15) t2 2 2 2
e= de= dt x(cid:1) +y(cid:1) +z(cid:1)
Z(cid:0) Zt1 q
donde x(cid:1) dx=dt; etc.
(cid:17)
Velocidad: ~v(t)=d~r(t)=dt
(cid:15)
Celeridad: v(t)= ~v(t) =de=dt
(cid:15) j j
Vector tangente a la trayectoria: ~(cid:28) =~v(t)=v(t)=d~r(t)=de
(cid:15)
Radio de curvatura: R=de= d~(cid:28) (arco=angulo)
(cid:15) j j(cid:17)
Vector normal a la trayectoria: ~n=d~(cid:28)=d~(cid:28) =d~(cid:28)=(de=R)=Rd~(cid:28)=vdt
(cid:15) j j
Aceleraci(cid:243)n: ~a(t)=d~v(t)=dt
(cid:15)
Componentes tangencial y normal de la aceleraci(cid:243)n: Derivando ~v(t) =
(cid:15)
v(t)~(cid:28) =
) dv(t) v2
~a(t)= ~(cid:28) + ~n=
dt R )
dv v2
a = , a = , componentes intrinsecas de ~a
(cid:28) n
dt R
7
1.8 Formulas de Frenet
Triedro de Frenet: ~(cid:28);~n;~b=~(cid:28) ~n = (~b ~n=~b ~(cid:28) =~n ~(cid:28) =0)
(cid:15) (cid:2) ) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
n o
Formulas de Frenet:
(cid:15)
d~(cid:28) 1
1ra F. de Frenet : = ~n
de R
d~b 1
2da F. de Frenet : = ~n
de (cid:0)(cid:27)
d~n 1 1
3ra F. de Frenet : = ~b ~(cid:28)
de (cid:27) (cid:0) R
(cid:27) se llama radio de torsi(cid:243)n.
8
2 DinÆmica del punto
2.1 Leyes de Newton
2.2 Interacciones fundamentales
2.3 Fuerzas Macroscopicas
2.4 Fuerzas de friccion
2.5 Ejemplo: Paracaidismo
2.6 Trabajo y Energ(cid:237)a
2.7 Momento lineal y Momento angular
2.8 Potenciales unidimensionales
2.1 Leyes de Newton
Primeraley: Todocuerpopermaneceenreposooenmovimientouniforme
(cid:15) a menos que actue una fuerza F~ sobre el mismo
Segunda ley: La variaci(cid:243)n de la cantidad de movimiento de un objeto es
(cid:15)
igual a la resultante de la fuerza que actua sobre dicho objeto
d(m~v)
F~ =
dt
m masa inercial, m~v cantidad de movimiento
(cid:17) (cid:17)
Tercera ley: Cuando dos cuerpos ejercen fuerzas entre s(cid:237), Østas son de
(cid:15)
intensidades iguales y sentidos opuestos
Sistema de referencia inercial: Es aquØl en el que se veri(cid:133)can las leyes de
(cid:15)
Newton.
Transformaciones de Galileo: Cambio de coordenadas entre dos sistemas
(cid:15)
inerciales S y S con ejes paralelos y or(cid:237)genes iguales en t = 0. (S se
0 0
mueve con velocidad~v respecto de S):
~r =~r ~vt
0
(cid:0)
2.2 Interacciones fundamentales
De(cid:133)nici(cid:243)n. Tienen su origen en la materia elemental y son las œltimas
(cid:15)
responsables de todas las fuerzas de la Naturaleza
Interacci(cid:243)n gravitatoria: Largo alcance, efectos macrosc(cid:243)picos. No se ha
(cid:15)
detectado a nivel elemental. (muy dØbil)
9
Interacci(cid:243)n dØbil: Corto alcance, s(cid:243)lo efectos microsc(cid:243)picos.
(cid:15)
Interacci(cid:243)nelectromagnØtica: Largoalcance. Efectosmacrosc(cid:243)picosymi-
(cid:15)
crosc(cid:243)picos. Se mezcla con la interacci(cid:243)n dØbil a nivel microsc(cid:243)pico.
Interacci(cid:243)n fuerte: Corto alcance. S(cid:243)lo se detecta a nivel elemental (for-
(cid:15)
maci(cid:243)n nuclear y hadr(cid:243)nica).
2.3 Fuerzas Macroscopicas
Fuerza de Coulomb: Fuerza de la carga q sobre q
2 1
(cid:15)
q q
F~ =k 1 2r^
1(2) r2 12
12
donde ~r =~r ~r y r^ =~r =r . Ademas:
12 1 2 12 12 12
(cid:0)
k =2:307 10 28 N m2=e2
(cid:0)
(cid:2) (cid:1)
La carga del electron es e=1:602 10 19C:
(cid:0)
(cid:2)
C es la unidad de carga macroscopica (Coulomb)
Fuerza Gravitatoria: Fuerza de la carga gravitatoria n sobre n
2 1
(cid:15)
n n
F~ = G 1 2r^
1(2) (cid:0) r2 12
12
(Fuerza atractiva: n n >0 siempre).
1 2
G=6:67 10 11N m2=kg2
(cid:0)
(cid:2) (cid:1)
Compararlasfuerzaselectricaygravitatoriaparaunproton(m =1:67
p
(cid:2)
10 27Kg)
(cid:0)
Equivalencia de la carga gravitatoria y la masa inercial: En caida libre
(cid:15)
desde una altura h =
)
v = 2ghn=m
¡Independiente del cuerpo!= n=mp constante universal.
) (cid:17)
2.4 Fuerzas de friccion
Movimiento sobre una super(cid:133)cie:
(cid:15)
F~ (cid:22) N~
j j (cid:20) ej j
N~ normal a la super(cid:133)cie, (cid:22) coe(cid:133)ciente estÆtico
(cid:17) e (cid:17)
10