Matrizes Vetores e Geometria Analítica

669 Pages·2013·3.74 MB·Portuguese

by  Reginaldo J. Santos

MATRIZES, VETORES E
´
GEOMETRIA ANALITICA
ReginaldoJ.Santos
DepartamentodeMatema´tica-ICEx
UniversidadeFederaldeMinasGerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Marc¸o2012
Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica
Copyright(cid:13)c 2012byReginaldodeJesusSantos(120228)
E´ proibidaareproduc¸a˜odestapublicac¸a˜o,oupartedela,porqualquermeio,semapre´viaautorizac¸a˜o,por
escrito,doautor.
Editor,CoordenadordeRevisa˜o,SupervisordeProduc¸a˜o,CapaeIlustrac¸o˜es:
ReginaldoJ.Santos
ISBN85-7470-014-2
FichaCatalogra´fica
Santos,ReginaldoJ.
S237m Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica/ReginaldoJ.Santos-Belo
Horizonte: ImprensaUniversita´riadaUFMG,2012.
1. GeometriaAnal´ıtica I.T´ıtulo
CDD: 516.3
Suma´rio
Prefa´cio vii
1 MatrizeseSistemasLineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜escomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 PropriedadesdaA´lgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Aplicac¸a˜o:CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ApeˆndiceI:Notac¸a˜odeSomato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 SistemasdeEquac¸o˜esLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.1 Me´tododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.3 SistemasLinearesHomogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.4 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ApeˆndiceII:UnicidadedaFormaEscalonadaReduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
iii
iv Suma´rio
2 Inversa˜odeMatrizeseDeterminantes 68
2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.2 MatrizesElementareseInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.3 Me´todoparaInversa˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.4 Aplicac¸a˜o:Interpolac¸a˜oPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.5 Aplicac¸a˜o:Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.3 MatrizAdjuntaeInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ApeˆndiceIII:Demonstrac¸a˜odoTeorema2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3 VetoresnoPlanoenoEspac¸o 132
3.1 SomadeVetoreseMultiplicac¸a˜oporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2 ProdutosdeVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.2.2 Projec¸a˜oOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.2.4 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
ApeˆndiceIV:Demonstrac¸a˜odoitem(e)doTeorema3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4 RetasePlanos 204
4.1 Equac¸o˜esdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.1.1 Equac¸o˜esdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.1.2 Equac¸o˜esdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2 AˆnguloseDistaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.3 Posic¸o˜esRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012
Suma´rio v
5 Sec¸o˜esCoˆnicas 286
5.1 CoˆnicasNa˜oDegeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.1.4 Caracterizac¸a˜odasCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.2 CoordenadasPolareseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.2.1 CoˆnicasemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.2.2 CircunfereˆnciaemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
5.2.3 Equac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6 Superf´ıcieseCurvasnoEspac¸o 359
6.1 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.1.1 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.1.2 Hiperboloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.1.3 Paraboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.1.4 ConeEl´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.1.5 CilindroQua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.2 Superf´ıciesCil´ındricas,CoˆnicasedeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.2.1 Superf´ıciesCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.2.2 Superf´ıciesCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
6.2.3 Superf´ıciesdeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.3 CoordenadasCil´ındricas,Esfe´ricaseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.3.1 CoordenadasCil´ındricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.3.2 CoordenadasEsfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
6.3.3 Equac¸o˜esParame´tricasdeSuperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
6.3.4 Equac¸o˜esParame´tricasdeCurvasnoEspac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
7 Mudanc¸adeCoordenadas 452
7.1 Rotac¸a˜oeTranslac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
7.1.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
Marc¸o2012 ReginaldoJ.Santos
vi Suma´rio
7.1.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
7.2 Identificac¸a˜odeCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
7.3 Identificac¸a˜odeQua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
RespostasdosExerc´ıcios 509
Bibliografia 649
´IndiceAlfabe´tico 652
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012
Prefa´cio
EssetextocobreomaterialparaumcursodeGeometriaAnal´ıticausandoMatrizeseVetoresministradopara
estudantes da a´rea de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado um programa
comooMATLAB(cid:114) ∗,SciLabouoMaxima.
Oconteu´doe´ divididoemsetecap´ıtulos. OCap´ıtulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aquitodasas
propriedadesdaa´lgebramatricialsa˜odemonstradas. Aresoluc¸a˜odesistemaslinearese´ feitausandosomente
o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este
me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a matriz, apenas, ate´ que ela esteja
na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´ usado no estudo da inversa˜o de matrizes no
Cap´ıtulo2.NesteCap´ıtuloe´tambe´mestudadoodeterminante,quee´definidousandocofatores.Assubsec¸o˜es
2.2.2e2.2.3sa˜oindependentesentresi. Asdemonstrac¸o˜esdosresultadosdestecap´ıtulopodemser,acrite´rio
doleitor,feitassomenteparamatrizes3×3.
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoressa˜odefinidosdeformageome´trica, assim
comoasomaeamultiplicac¸a˜oporescalar. Sa˜oprovadasalgumaspropriedadesgeometricamente. Depoissa˜o
introduzidossistemasdecoordenadasdeformanaturalsemanecessidadedadefinic¸a˜odebase. Osprodutos
escalarevetorialsa˜odefinidosgeometricamente.OCap´ıtulo4trataderetaseplanosnoespac¸o.Sa˜oestudados
∗MATLAB(cid:114)e´marcaregistradadeTheMathworks,Inc.
vii
viii Suma´rio
aˆngulos,distaˆnciaseposic¸o˜esrelativasderetaseplanos.
O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. Sa˜o tambe´m estudadas as coordenadas polares e
parametrizac¸o˜esdascoˆnicas. Assuperf´ıciessa˜oestudadasnoCap´ıtulo6incluindoa´ıasqua´dricas,superf´ıcies
cil´ındricas,coˆnicasederevoluc¸a˜o. NesteCap´ıtulosa˜otambe´mestudadasascoordenadascil´ındricas,esfe´ricas
e parametrizac¸a˜o de superf´ıcies e curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7 traz mudanc¸a de coordenadas, rotac¸a˜o e
translac¸a˜o.Dadaumaequac¸a˜ogeralde2ograuemduasoutreˆsvaria´veis,nesteCap´ıtulo,atrave´sdemudanc¸as
decoordenadase´ feitaaidentificac¸a˜odacoˆnicaoudaqua´dricacorrespondenteaequac¸a˜o.
Osexerc´ıciosesta˜oagrupadosemtreˆsclasses. Os“Exerc´ıciosNume´ricos”,queconte´mexerc´ıciosquesa˜o
resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma ma´quina
de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que conte´m exerc´ıcios que requerem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o sim-
ples, outros sa˜o mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados
(cid:114)
de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLAB ”, que conte´m exerc´ıcios para serem resolvidos usando o
(cid:114)
MATLAB ou outro software. Os comandos necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios sa˜o tambe´m forneci-
dosjuntamentecomumaexplicac¸a˜ora´pidadouso. Osexerc´ıciosnume´ricossa˜oimprescind´ıveis,enquantoa
resoluc¸a˜odosoutros,dependedon´ıveledosobjetivospretendidosparaocurso.
(cid:114) (cid:114)
O MATLAB e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory).
(cid:114)
Oscomandosdo MATLAB sa˜omuitopro´ximosdaformacomoescrevemosexpresso˜esalge´bricas,tornando
mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s rotinas pre´-definidas, pacotes para ca´lculos espec´ıficos.
Umpacotechamadogaalcomfunc¸o˜esquesa˜odirecionadasparaoestudodeGeometriaAnal´ıticaeA´lgebra
Linear pode ser obtido atrave´s da internet no enderec¸o http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um
(cid:114) (cid:114)
texto com uma introduc¸a˜o ao MATLAB e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. O MATLAB na˜o e´
um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se comprar o guia do usua´rio. Atu-
almente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo simbo´lico. O Maxima e´ um programa
de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de
GeometriaAnal´ıticaeA´lgebraLinear. Napa´ginadoautornawebpodemserencontradospacotesdefunc¸o˜es
paraestesprogramasale´mdelinksparaaspa´ginasdoSciLabedoMaximaeva´riaspa´ginasinterativasque
podemauxiliarnaaprendizagem.
Nofimdecadacap´ıtulotemosum“TestedoCap´ıtulo”,ondeoalunopodeavaliarosseusconhecimentos.
(cid:114)
Os Exerc´ıcios Nume´ricos e os Exerc´ıcios usando o MATLAB esta˜o resolvidos apo´s o u´ltimo cap´ıtulo utili-
(cid:114)
zando o MATLAB . Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software pode obter apenas
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012
Prefa´cio ix
asrespostasdosexerc´ıcios,enquantoaquelequetiveralguminteresse,podeficarsabendocomoosexerc´ıcios
(cid:114)
poderiamserresolvidosfazendousodoMATLAB edopacotegaal.
Gostariadeagradeceraosprofessoresquecolaboraramapresentandocorrec¸o˜es,cr´ıticasesugesto˜es,entre
elesJoanaDarcA.S.daCruz,RinaldoVieiradaSilvaJunioreSe´rgioGuilhermedeAssisVasconcelos.
Marc¸o2012 ReginaldoJ.Santos
x Prefa´cio
Histo´rico
Marc¸o2012 Mudanc¸anaformatac¸a˜odotexto. Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas. Foramacres-
centadosoexerc´ıcio5.2.12sobreapropriedaderefletoradaelipseeoexerc´ıcio5.2.13sobreapropriedade
refletoradahipe´rbole.
Marc¸o2010 Foramacrescentadosdoisexerc´ıciosedoisitensemumexerc´ıcionaSec¸a˜o5.2edoisitensemum
exerc´ıcionaSec¸a˜o6.3. Foramescritasasrespostasdosexerc´ıciosdasSec¸o˜es5.2. e6.3.
Julho2009 Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas.
Marc¸o2008 Algumas correc¸o˜es. Foram acrescentados dois exerc´ıcios a` Sec¸a˜o 4.3. As respostas de alguns
exerc´ıciosforamreescritas.
Marc¸o2007 Va´rias figuras foram refeitas e outras acrescentadas. Foi acrescentado um item ao Teorema 2.13
napa´gina104. ForamreescritosoExemplo3.12eoCorola´rio3.10.
Marc¸o2006 OsCap´ıtulos1e2foramreescritos.Foiacrescentadaumaaplicac¸a˜oa`sCadeiasdeMarkov.Foram
acrescentadosva´riosexerc´ıciosaosCap´ıtulos3e4.OCap´ıtulo5foireescrito.Foramescritasasrespostas
dos exerc´ıcios das Sec¸o˜es 4.3. e 6.1. Foram acrescentados exerc´ıcios nume´ricos a`s Sec¸o˜es 4.3 e 5.1 e
exerc´ıciosteo´ricosa`sSec¸o˜es3.1,4.2,5.1e7.3.
Julho2004 Foi acrescentada uma aplicac¸a˜o a` criptografia (Exemplo na pa´gina 88). Foi acrescentado um
exerc´ıcionaSec¸a˜o1.1. Foiinclu´ıdaademonstrac¸a˜odequetodamatrize´ equivalenteporlinhasauma
u´nica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na pa´gina 26 que passou para o
ApeˆndiceIIdaSec¸a˜o1.2. OTeorema1.4agoraconte´maspropriedadesdarelac¸a˜o“serequivalentepor
linhas”comademonstrac¸a˜o. NoCap´ıtulo3foramacrescentados2exerc´ıciosnasec¸a˜o3.1,1exerc´ıciona
Sec¸a˜o3.2. NoCap´ıtulo4aSec¸a˜o4.1foireescritaeforamacrescentados2exerc´ıcios.
Marc¸o2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear’ para ser usado numa disciplina
deGeometriaAnal´ıtica.
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2012