Matrizes Vetores e Geometria Analitica

697 Pages·2000·3.58 MB·Portuguese

by  Santos Reginaldo J

MATRIZES VETORES E
´
GEOMETRIA ANALITICA
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matem´atica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Julho 2004
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica
Copyright c 2004 by Reginaldo de Jesus Santos
(cid:176)
E´ proibida a reproduc¸˜ao desta publicac¸˜ao, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pr´evia
autorizac¸˜ao, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revis˜ao, Supervisor de Produc¸˜ao, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-014-2
Ficha Catalogr´afica
Santos, Reginaldo J.
S237m Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica / Reginaldo J. Santos - Belo
Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2004.
1. Geometria Anal´ıtica I. T´ıtulo
CDD: 516.3
Conteu´do
Pref´acio vii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da A´lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Apˆendice I: Notac¸˜ao de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Apˆendice II: Unicidade da Forma Escalonada Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . 69
iii
iv Conteu´do
2 Invers˜ao de Matrizes e Determinantes 74
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.3 M´etodo para Invers˜ao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.3 Matriz Adjunta e Invers˜ao (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Apˆendice III: Demonstrac¸˜ao do Teorema 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Vetores no Plano e no Espac¸o 144
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸˜ao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.2 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.2.2 Projec¸˜ao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2.4 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4 Retas e Planos 219
4.1 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.1.1 Equac¸o˜es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.1.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2 Aˆngulos e Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.2.2 Distˆancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Julho 2004
Conteu´do v
4.3 Posic¸o˜es Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5 Sec¸o˜es Coˆnicas 309
5.1 Coˆnicas N˜ao Degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.1.2 Hip´erbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.1.3 Par´abola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.1.4 Caracterizac¸˜ao das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5.2 Coordenadas Polares e Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
5.2.1 Coˆnicas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
5.2.2 Circunferˆencia em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.2.3 Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6 Superf´ıcies e Curvas no Espac¸o 377
6.1 Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
6.1.3 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.1.4 Cone El´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.1.5 Cilindro Qu´adrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.2 Superf´ıcies Cil´ındricas, Coˆnicas e de Revoluc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.2.1 Superf´ıcies Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
6.2.2 Superf´ıcies Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.2.3 Superf´ıcies de Revoluc¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
6.3 Coordenadas Cil´ındricas Esf´ericas e Equac¸o˜es Param´etricas . . . . . . . . . . . . . . 448
6.3.1 Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Julho 2004 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.3.2 Coordenadas Esf´ericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.3.3 Equac¸o˜es Param´etricas de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
6.3.4 Equac¸o˜es Param´etricas de Curvas no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
7 Mudanc¸a de Coordenadas 476
7.1 Rotac¸˜ao e Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
7.1.1 Rotac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
7.1.2 Translac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.2 Identificac¸˜ao de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
7.3 Identificac¸˜ao de Qu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
Respostas dos Exerc´ıcios 534
Bibliografia 678
´Indice Alfab´etico 681
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Julho 2004
Pref´acio
Este texto cobre o material para um curso de Geometria Anal´ıtica ministrado para estudantes da
´area de Ciˆencias Exatas. O texto pode, mas n˜ao ´e necess´ario, ser acompanhado do programa
Matlab(cid:114) .
∗
O conteu´do ´e dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares.
Aquitodasaspropriedadesda´algebramatricials˜aodemonstradas. Aresoluc¸˜aodesistemaslineares´e
feitausandosomenteom´etododeGauss-Jordan(transformandoamatrizat´equeelaestejanaforma
escalonada reduzida). Este m´etodo requer mais trabalho do que o m´etodo de Gauss (transformando
a matriz, apenas, at´e que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tamb´em
´e usado no estudo da invers˜ao de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo ´e tamb´em estudado o
determinante, que ´e definido usando cofatores. As subsec¸o˜es 2.2.2 e 2.2.3 s˜ao independentes entre
si. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a crit´erio do leitor, feitas somente
para matrizes 3 3.
×
∗Matlab(cid:114) ´e marca registrada de The Mathworks, Inc.
vii
viii Conteu´do
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoress˜aodefinidosdeformageom´etrica,
assim como a soma e a multiplicac¸˜ao por escalar. S˜ao provadas algumas propriedades geometri-
camente. Depois s˜ao introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade
da definic¸˜ao de base. Os produtos escalar e vetorial s˜ao definidos geometricamente. O Cap´ıtulo 4
trata de retas e planos no espac¸o. S˜ao estudados ˆangulos, distˆancias e posic¸o˜es relativas de retas e
planos.
O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. S˜ao tamb´em estudadas as coordenadas polares
e parametrizac¸o˜es das coˆnicas. As superf´ıcies s˜ao estudadas no Cap´ıtulo 6 incluindo a´ı as qu´adricas,
superf´ıcies cil´ındricas, coˆnicas e de revoluc¸˜ao. Neste Cap´ıtulo s˜ao tamb´em estudadas as coordenadas
cil´ındricas, esf´ericas e parametrizac¸˜ao de superf´ıcies e curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7 traz mudanc¸a
o
de coordenadas, rotac¸˜ao e translac¸˜ao. Dada uma equac¸˜ao geral de 2 grau em duas ou trˆes vari´aveis,
neste Cap´ıtulo, atrav´es de mudanc¸as de coordenadas´e feita a identificac¸˜ao da coˆnica ou da qu´adrica
correspondente a equac¸˜ao.
Osexerc´ıciosest˜aoagrupadosemtrˆesclasses. Os“Exerc´ıciosNum´ericos”, quecont´emexerc´ıcios
que s˜ao resolvidos fazendo c´alculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de
uma m´aquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que cont´em exerc´ıcios que requerem demons-
trac¸o˜es. Alguns s˜ao simples, outros s˜ao mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria
e geralmente s˜ao acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o Matlab(cid:114)”, que cont´em
exerc´ıcios para serem resolvidos usando o Matlab(cid:114) ou outro software. Os comandos necess´arios
a resoluc¸˜ao destes exerc´ıcios s˜ao tamb´em fornecidos juntamente com uma explicac¸˜ao r´apida do uso.
Os exerc´ıcios num´ericos s˜ao imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸˜ao dos outros, depende do n´ıvel e
dos objetivos pretendidos para o curso.
O Matlab(cid:114) ´e um software destinado a fazer c´alculos com matrizes (Matlab(cid:114) = MATrix
LABoratory). OscomandosdoMatlab(cid:114) s˜aomuitopro´ximosdaformacomoescrevemosexpresso˜es
alg´ebricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados `as rotinas pr´e-definidas,
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Pref´acio ix
pacotes para c´alculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que s˜ao direcionadas para
o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrav´es da internet no enderec¸o
http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduc¸˜ao ao Matlab(cid:114) e
instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Mais informac¸o˜es sobre o que o Matlab(cid:114) ´e capaz,
podem ser obtidas em [4, 17].
No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus
conhecimentos. Os Exerc´ıcios Num´ericos e os Exerc´ıcios usando o Matlab(cid:114) est˜ao resolvidos apo´s
o u´ltimo cap´ıtulo utilizando o Matlab(cid:114). Desta forma o leitor que n˜ao estiver interessado em
usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum
interesse, pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do Matlab(cid:114)
e do pacote gaal.
O programa Matlab(cid:114) pode ser adquirido gratuitamente na compra do livro “Student Edition
ofMATLABVersion5forWindows”-BookandCD-ROMedition[17], porexemplonaAmazon.com
(http://www.amazon.com).
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e su-
gesto˜es, entre eles Dan Avritzer, Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci,
Seme Gebara, Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado,
Helder C. Rodrigues, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Rog´erio S. Mol, Maria Laura M. Gomes,
Maria Cristina C. Ferreira, Paulo C. de Lima, Jos´e Barbosa Gomes, Moacir G. dos Anjos e Daniel
C. de Morais Filho.
Julho 2004 Reginaldo J. Santos
x Pref´acio
Hist´orico
Julho 2004 Foi acrescentado um exerc´ıcio na sec¸˜ao 1.1. Foi inclu´ıda a demonstrac¸˜ao de que toda
matriz ´e equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada reduzida. Este resultado era
o Teorema 1.4 na p´agina 26 que passou para o Apˆendice II da sec¸˜ao 1.2. O Teorema 1.4
agora cont´em as propriedades da relac¸˜ao “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸˜ao.
No Cap´ıtulo 3 foram acrescentados 2 exerc´ıcios na sec¸˜ao 3.1, 1 exerc´ıcio na sec¸˜ao 3.2. No
Cap´ıtulo 4 a sec¸˜ao 4.1 foi reescrita e foram acrescentados 2 exerc´ıcios.
Marc¸o 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear’ para ser usado numa
disciplina de Geometria Anal´ıtica.
Sugest˜ao de Cronograma
Cap´ıtulo 1 Sec¸o˜es 1.1 e 1.2 8 aulas
Cap´ıtulo 2 Sec¸o˜es 2.1 e 2.2 8 aulas
Cap´ıtulo 3 Sec¸o˜es 3.1 e 3.2 8 aulas
Cap´ıtulo 4 Sec¸o˜es 4.1 e 4.2 8 aulas
Cap´ıtulo 5 Sec¸o˜es 5.1 e 5.2 8 aulas
Cap´ıtulo 6 Sec¸o˜es 6.1 a 6.3 12 aulas
Cap´ıtulo 7 Sec¸o˜es 7.1 a 7.3 12 aulas
Total 64 aulas
Matrizes Vetores e Geometria Anal´ıtica Julho 2004