MATRIZES, VETORES E GEOMETRIA ANAL´ITICA

721 Pages·2009·4.06 MB·Portuguese

MATRIZES, VETORES E
´
GEOMETRIA ANALITICA
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Marc¸o 2010
Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica
Copyright c 2010byReginaldodeJesusSantos(100225)
⃝
E´ proibidaareproduc¸a˜odestapublicac¸a˜o,oupartedela,porqualquermeio,semapre´via
autorizac¸a˜o,porescrito,doautor.
Editor, CoordenadordeRevisa˜o,SupervisordeProduc¸a˜o,CapaeIlustrac¸o˜es:
ReginaldoJ.Santos
ISBN 85-7470-014-2
FichaCatalogra´fica
Santos,ReginaldoJ.
S237m Matrizes,VetoreseGeometriaAnal´ıtica/ReginaldoJ.Santos-Belo
Horizonte: ImprensaUniversita´riadaUFMG, 2010.
1. GeometriaAnal´ıtica I.T´ıtulo
CDD: 516.3
Conteu´ do
Prefa´cio vii
1 MatrizeseSistemasLineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜escomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 PropriedadesdaA´lgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Aplicac¸a˜o: CadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ApeˆndiceI: Notac¸a˜odeSomato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 SistemasdeEquac¸o˜esLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´tododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 SistemasLinearesHomogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv Conteu´do
ApeˆndiceII: UnicidadedaFormaEscalonadaReduzida . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 Inversa˜odeMatrizeseDeterminantes 79
2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1.2 MatrizesElementareseInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.3 Me´todoparaInversa˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜oPolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2.3 MatrizAdjuntaeInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
ApeˆndiceIII: Demonstrac¸a˜odoTeorema2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3 VetoresnoPlano enoEspac¸o 150
3.1 SomadeVetoreseMultiplicac¸a˜oporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 ProdutosdeVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.2.2 Projec¸a˜oOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2.4 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
ApeˆndiceIV: Demonstrac¸a˜odoitem(e)doTeorema3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4 RetasePlanos 224
4.1 Equac¸o˜esdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2010
Conteu´do v
4.1.1 Equac¸o˜esdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.1.2 Equac¸o˜esdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.2 AˆnguloseDistaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.3 Posic¸o˜esRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5 Sec¸o˜esCoˆnicas 314
5.1 CoˆnicasNa˜oDegeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5.1.4 Caracterizac¸a˜odasCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.2 CoordenadasPolareseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.2.1 CoˆnicasemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
5.2.2 CircunfereˆnciaemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.2.3 Equac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6 Superf´ıcies eCurvasnoEspac¸o 380
6.1 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.1.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
6.1.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.1.3 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.1.4 ConeEl´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.1.5 CilindroQua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
6.2 Superf´ıciesCil´ındricas,CoˆnicasedeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Marc¸o2010 ReginaldoJ.Santos
vi Conteu´do
6.2.1 Superf´ıciesCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
6.2.2 Superf´ıciesCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.2.3 Superf´ıciesdeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
6.3 CoordenadasCil´ındricas,Esfe´ricaseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . 451
6.3.1 CoordenadasCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
6.3.2 CoordenadasEsfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
6.3.3 Equac¸o˜esParame´tricasdeSuperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
6.3.4 Equac¸o˜esParame´tricasdeCurvasnoEspac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
7 Mudanc¸adeCoordenadas 479
7.1 Rotac¸a˜oeTranslac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
7.1.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7.1.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
7.2 Identificac¸a˜odeCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.3 Identificac¸a˜odeQua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
RespostasdosExerc´ıcios 539
Bibliografia 700
´Indice Alfabe´tico 703
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2010
Prefa´cio
EstetextocobreomaterialparaumcursodeGeometriaAnal´ıticaministradoparaestudantesdaa´rea
de Cieˆncias Exatas. O texto pode, mas na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado um programa como o
MATLABⓇ ∗,SciLabouoMaxima.
Oconteu´doe´ divididoemsetecap´ıtulos. OCap´ıtulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feitausandosomenteome´tododeGauss-Jordan(transformandoamatrizate´ queelaestejanaforma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando
a matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m
e´ usado no estudo da inversa˜o de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo e´ tambe´m estudado o
determinante, que e´ definido usando cofatores. As subsec¸o˜es 2.2.2 e 2.2.3 sa˜o independentes entre
si. Asdemonstrac¸o˜esdosresultadosdestecap´ıtulopodemser,acrite´riodoleitor,feitassomentepara
matrizes3 3.
×
∗MATLABⓇe´ marcaregistradadeTheMathworks,Inc.
vii
viii Conteu´do
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoressa˜odefinidosdeformageome´trica,
assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometrica-
mente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da
definic¸a˜o de base. Os produtos escalar e vetorial sa˜o definidos geometricamente. O Cap´ıtulo 4 trata
de retas e planos no espac¸o. Sa˜o estudados aˆngulos, distaˆncias e posic¸o˜es relativas de retas e
planos.
O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. Sa˜o tambe´m estudadas as coordenadas po-
lares e parametrizac¸o˜es das coˆnicas. As superf´ıcies sa˜o estudadas no Cap´ıtulo 6 incluindo a´ı as
qua´dricas, superf´ıcies cil´ındricas, coˆnicas e de revoluc¸a˜o. Neste Cap´ıtulo sa˜o tambe´m estudadas as
coordenadas cil´ındricas, esfe´ricas e parametrizac¸a˜o de superf´ıcies e curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7
trazmudanc¸adecoordenadas,rotac¸a˜oetranslac¸a˜o. Dadaumaequac¸a˜ogeralde2o grauemduasou
treˆs varia´veis, neste Cap´ıtulo, atrave´s de mudanc¸as de coordenadas e´ feita a identificac¸a˜o da coˆnica
oudaqua´dricacorrespondenteaequac¸a˜o.
Os exerc´ıcios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exerc´ıcios Nume´ricos”, que conte´m
exerc´ıcios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que conte´m exerc´ıcios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais dif´ıceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABⓇ”,
que conte´m exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABⓇ ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exerc´ıcios nume´ricos sa˜o imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pendedon´ıveledosobjetivospretendidosparaocurso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s rotinas pre´-definidas,
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2010
Prefa´cio ix
pacotes para ca´lculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direciona-
das para o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrave´s da internet no
enderec¸o http://www.mat.ufmg.br/˜regi, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MA-
TLABⓇ einstruc¸o˜esdecomoinstalaropacotegaal. O MATLABⓇ na˜oe´ umsoftwaregratuito,embora
antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se comprar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma
alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o
alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados como ferramenta auxiliar na aprendizagem de Geo-
metria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Na pa´gina do autor na web podem ser encontrados pacotes de
func¸o˜esparaestesprogramasale´mdelinksparaaspa´ginasdoSciLabedoMaximaeva´riaspa´ginas
interativasquepodemauxiliarnaaprendizagem.
Nofimdecadacap´ıtulotemosum“TestedoCap´ıtulo”,ondeoalunopodeavaliarosseusconheci-
mentos. OsExerc´ıciosNume´ricoseosExerc´ıciosusandoo MATLABⓇ esta˜oresolvidosapo´sou´ltimo
cap´ıtulo utilizando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software
podeobterapenasasrespostasdosexerc´ıcios,enquantoaquelequetiveralguminteresse,podeficar
sabendocomoosexerc´ıciospoderiamserresolvidosfazendousodo MATLABⓇ edopacotegaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e su-
gesto˜es,entreelesJoanaDarcA.S.daCruzeSe´rgioGuilhermedeAssisVasconcelos.
Marc¸o2010 ReginaldoJ.Santos
x Prefa´cio
Histo´rico
Marc¸o2010 Foram acrescentados dois exerc´ıcios e dois´ıtens em um exerc´ıcio na Sec¸a˜o 5.2 e dois
´ıtens em um exerc´ıcio na Sec¸a˜o 6.3. Foram escritas as respostas dos exerc´ıcios das Sec¸o˜es
5.2. e6.3.
Julho 2009 Algumascorrec¸o˜es. Va´riasfigurasforamrefeitas.
Marc¸o2008 Algumascorrec¸o˜es. Foramacrescentadosdoisexerc´ıciosa` Sec¸a˜o4.3. Asrespostasde
algunsexerc´ıciosforamreescritas.
Marc¸o2007 Va´rias figurasforamrefeitaseoutrasacrescentadas. Foi acrescentadoumitemaoTeo-
rema2.13napa´gina118. ForamreescritosoExemplo3.12eoCorola´rio3.10.
Marc¸o2006 Os Cap´ıtulos 1 e 2 foram reescritos. Foi acrescentada uma aplicac¸a˜o a`s Cadeias de
Markov. Foram acrescentados va´rios exerc´ıcios aos Cap´ıtulos 3 e 4. O Cap´ıtulo 5 foi reescrito.
Foram escritas as respostas dos exerc´ıcios das Sec¸o˜es 4.3. e 6.1. Foram acrescentados
exerc´ıciosnume´ricosa`sSec¸o˜es4.3e5.1eexerc´ıciosteo´ricosa`sSec¸o˜es3.1,4.2,5.1e7.3.
Julho 2004 Foi acrescentada uma aplicac¸a˜o a` criptografia (Exemplo na pa´gina 100). Foi acrescen-
tado um exerc´ıcio na Sec¸a˜o 1.1. Foi inclu´ıda a demonstrac¸a˜o de que toda matriz e´ equivalente
porlinhasaumau´nicamatrizescalonadareduzida. EsteresultadoeraoTeorema1.4napa´gina
26quepassouparaoApeˆndiceIIdaSec¸a˜o1.2. OTeorema1.4agoraconte´maspropriedades
da relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. No Cap´ıtulo 3 foram acrescenta-
dos2exerc´ıciosnasec¸a˜o3.1,1exerc´ıcionaSec¸a˜o3.2. NoCap´ıtulo4aSec¸a˜o4.1foireescrita
eforamacrescentados2exerc´ıcios.
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2010