Matrici e Operatori Lineari

88 Pages·2011·1.61 MB·Italian

Matrici e operatori
4
lineari
M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, V. Barutello
ANALISI MATEMATICA
VOL. 2
con elementi di geometria e calcolo vettoriale
SPICCHI
Licenza edgt-64-767cf8cda5b32bb189f71d4adc4056a5-gc-006390439
rilasciata il 02 maggio 2012 a [email protected]

Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale
II.4 Matrici e operatori lineari

Autori:
Vivina Barutello, Monica Conti, Davide L. Ferrario, Susanna Terracini, Gianmaria Verzini

Copyright © 2008 Apogeo s.r.l.
Socio Unico Giangiacomo Feltrinelli Editore s.r.l.
E-mail [email protected]
U.R.L. www.apogeonline.com

ISBN 978-88-503-1470-6

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SPICCHI
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disciplina ci interessano solo alcune parti, alcuni argomenti.
In università non è raro che i docenti suggeriscano lo studio di un sottoinsieme di capitoli,
ricomponendo in questo modo un percorso didattico adatto alle esigenze di tempi e opportu-
nità inerenti il loro corso.
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dei nostri testi, a un prezzo decisamente “piccolo”.
Prefazione
I
n questo secondo volume si prosegue (com’è ovvio) il percorso di
avvicinamentoall’analisi,epiúingenerale,allaMatematicainiziato
nelprimovolume,perqueicorsidistudio incuiquestaviene usata
per risolvere problemi scientifici e applicativi. Mentre però lo scopo del
primo volume era quello di introdurre i concetti e gli strumenti fonda-
mentalidell’analisiinfinitesimale(differenzialeeintegrale),cercandodi
contestualizzare i vari aspetti della materia, in questo secondo volume
l’orizzonte si amplia in modo significativo, dal momento che lo scopo
non è solo quello di approfondire e generalizzare a piú variabili quei
metodi,maanchedistudiareneldettaglioalcuneimportantiapplicazio-
ni classiche dei metodi analitici. Si tratta sí di un libro di analisi in piú
variabili, con i contenuti tipici di un secondo corso universitario, ma si
è voluto fornire anche alcuni strumenti per approfondire e motivare la
prospettiva unitaria ch’era alla base del primo volume (riquadri di ap-
profondimento,intermezzistorici,esercizieproblemiteoriciguidati,ma
ancheintericapitolidedicatiadargomentiimportanti,comeleequazioni
differenzialiol’algebralineare).Questohafattosícheledimensionidel-
l’opera potrebbero risultare eccessive per un normale corso semestrale,
e al lettoreè richiesto uncerto impegno per poterlaconsiderareintoto.
La distribuzione degli argomenti nei vari capitoli è stata perciò pensata
alfine di massimizzare la libertàdiscelta dipossibili sotto-percorsi,pur
conservando una certaconsistenza logica (nei prerequisitie nelle appli-
cazioni). All’inizio di ogni capitolo si è descritto brevemente quali sono
gliargomentichesononecessariperaffrontarlo,equalicapitolisonora-
gionevolmente affrontabili in seguito. Come nel primo volume, ci sono
piúlivellidipercorso:unlivello base,eunlivello piúavanzato,contras-
segnatoconilsimboloj.Questorivelaunadiscontinuitàdilivellolocale,
cioè relativa al capitolo in cui ci si trova, e non assoluta. Questo perché
alcunicapitolisonoinsépiúdensieimpegnativideglialtri(peresempio
icapitoliIV,VIIeVIII).
Perpermetterequestoaccessoavarilivelli,abbiamosceltoalcuneso-
luzioni non convenzionali. Le equazioni differenziali sono affrontate in
due capitoli, a due livelli diversi: nel Capitolo I la trattazione avviene
principalmente attraversoesempied esercizi,mentrela sistematizzazio-
Prefazione
ne teorica e gli approfondimenti sono rimandati al Capitolo VIII, che
richiede una certa consapevolezza degli strumenti dell’analisi in piú va-
riabili.Inuncorsodianalisi nonridottoaiminimiterminiidue capitoli
possono essere anche svolti contemporaneamente (l’uno fornendo ma-
teriale per le esercitazioni dell’altro). Similmente, l’approccio al calcolo
differenziale per funzioni in piú variabili è sviluppato ad un livello ele-
mentare(limitatoafunzionididuevariabilirealiefocalizzatoalleappli-
cazioni)nelCapitoloVI,mentrelestruttureastrattechepermettonouna
trattazione piú rigorosa sono oggetto del Capitolo VII. Di nuovo, tempo
permettendo,i due capitoli possono essere svolti in contemporanea.Vi-
ceversa,laddovelaminimalitàdelcorsoimpediscataliapprofondimenti,
abbiamovolutolasciareallettoreinteressatolapossibilitàdicompletare
inmodoautonomolapropriaformazione.
Per quanto riguarda gli elementi di geometria e di algebra lineare,
che solitamente non vengono affrontatinei testi di analisi, abbiamo vo-
luto inserirli proprio per cercare di ricomporre la prospettiva unitaria
menzionatasopra(ancheperchégliesempisignificatividispaziolineare
sono proprioquelli dispazi difunzioni e di soluzioni diequazioni diffe-
renziali).EssisitrovanonelCapitoloIIIadunlivellomoltoelementare,e
nelCapitoloIVadunlivellosignificativamentepiúimpegnativo.Comple-
tano il volume quattro capitoli con una esposizione piú tradizionale dei
classici argomenti del secondo corso, con una particolare attenzione al-
l’interdisciplinarietà:ilCapitoloII(successionieseriedifunzioni),ilCa-
pitoloV(curveesuperficinellospazio),ilCapitoloIX(integralimultipli)
eilCapitoloX(integralidilineaesuperficieecalcolovettoriale).
Alla fine di ogni capitolo sono stati selezionati un certo numero di
esercizi, rappresentativio di particolare interesse, da guardare prima di
dedicarsiainumerosiesercizidasvolgere(tutticonsoluzionedettagliata
in appendice). Rispetto al primo volume, la variabilità della natura e
delladifficoltàdegliesercizièaumentata,percuiisimbolichesegnalano
alcune tipologie di esercizi non standard non sono solo la ✩ (per gli
esercizi di maggiore difficoltà e interesse teorico), ma anche K (per gli
esercizidinaturaprevalntementeteorica,cherichiedonouncertotempo
di riflessione), o (esercizi di tipo “enigmistico–ludico”), b (esercizi di
calcolo),Ï(esercizialcalcolatore–pochiinrealtà).Inquestomodosiè
cercatodifornirequalcheindicazioneutileperpoterfruiredeltesto,sia
dapartedeldocente,chedapartedellettore.
titranciountetrasticotetro,
duedisticièuntorpidometro:
così,unversoavanti,unoindietro,
liincidoconscheggedivetro:
EDOARDOSANGUINETI(1930–)
IV
CAPITOLO
Matrici e operatori lineari
NelCapitoloIIIabbiamostudiatoivettori,eleco- affermazioni che avevamo anticipato nel Capito-
struzioni geometriche e algebriche che con essi si loIII.Concluderemoilcapitolocondueargomenti
possonofare. Quellochefaremoinquestocapito- (legati tra loro) di notevole rilievo per il seguito
loèdiconsideraretuttiivettorinelloroinsieme, dellibro,chepossonoperòpresentarequalchedif-
cioè di considerare l’intero spazio vettoriale, for- ficoltà tecnica. Si tratta dello studio delle forme
matodall’insiemedituttiivettori. Questavisione quadraticheedegliautovalori. Stiamoaffrontan-
“olistica”consentediintrodurreletrasformazioni douncapitoloinizialmentesemplice,machesifa-
lineariel’algebradellematrici,edalcuniattribu- ràviaviasemprepiùimpegnativo,efiniràconun
ti degli spazi vettoriali di notevole importanza: il arrivo in salita decisamente faticoso. Cerchiamo
prodotto scalare, le proiezioni e il determinante. quindidiiniziareindiscesa,conunapocosensata
Vedremoalcuneapplicazioniimportanti,checon- parafrasi/parodiadiunfamosoincipit.
sentirannodidimostrareinmodogeneralealcune
A
lla primalezionesullematricicuiandaimiaspettavodiesserean-
noiatoamorteoforsenauseatodaquellochemiavevanodetto
sarebbecapitatoaipresenti. Ognicosacheavevolettoapropo-
sito delle lezioni universitarie insisteva su quel punto: la maggior parte
dellepersonechenescrivevanocondannavanoapertamenteledimostra-
zioni come un affare inutile, stupido e perfino brutale, ma anche coloro
che parlavano bene delle matrici come esibizione di abilità e come stru-
mento utile deploravano l’uso delle dimostrazioni e si mostravano aper-
tamente spiacenti della loro presenza. Il continuo esibire dimostrazioni
nelle aule universitarie era considerato deplorevole. Suppongo, da un
punto di vista moderno, cioè, il punto di vista delle applicazioni imme-
diate, che l’intera storia delle matrici, o anche tutta la matematica, non
siadifendibile;c’ècertamentemoltacrudeltàneldimostrarel’esistenzae
le proprietà del determinante, c’è sempre il pericolo, cercato o capitato,
diperderetempoinspeculazioniinutili,earrivaquasisempreilmomen-
§1. Spazivettoriali 167
toincuicisitrovaaragionareinastrattooperinduzione. Oracercherei
non di difendere quest’impostazione, ma solo di spiegare onestamente
quelle poche cose che ho imparato su questo argomento. Per far questo
dovròesserecomplessivamentechiaro,oalmenocercarediesserlo,ese
coloro che leggono decidono con disgusto che questo testo è scritto da
qualcuno che manca della loro, cioè dei Lettori, finezza di sentimenti e
opinioni,possosolamenteammetterecheineffettipotrebbeesserevero.
Machiunqueleggaquestocapitolopuòesprimereungiudiziosoloquan-
do ha visto e capito le cose di cui si parla e sa davvero quale potrebbe
esserelapropriareazioneadesse. RicordocheungiornoGertrudeStein,
a proposito di operatori lineari, parlò della sua ammirazione per Frobe-
niusemostròalcunesuefotoduranteunalezione,conleieAliceToklas
nella prima fila dei banchi di legno dell’aula di Valencia, con Frobenius
esuofratelloPerrondisotto,eioeroappenatornatodalMedioOriente,
ericordodiaverledettochenonamavolematricipercolpadelledimo-
strazioni. In realtà la cosa più difficile, a parte sapere davvero cosa si
prova e come ci si confronta con l’astratto, piuttosto che quello che ci si
aspetta di provare o che ci è stato insegnato a giudicare vero, è mettere
giu i fatti per come sono: che cosa è realmente uno spazio vettoriale,
cosa è una matrice, a cosa serve, quali sono le proprietà alla radice dei
risultatichesisperimentanoveri.(10)
§ 1. Spazi vettoriali
NelCapitoloIIIabbiamodatoladefinizionedivettorepiùsemplicepos- (cid:2)Vedi§1apagina99.
sibile: una n-upla di numeri su cui è possibile applicare due operazioni
(prodottoperunoscalareesomma). Cerchiamodiformalizzare,cioèdi
rendere un poco più astratta, quella nozione. Prendiamo in considera-
zionesololeproprietàelencatenellaProposizione(III.4): seu,v,wsono
trevettoridellastessadimensioneec,dsonoduescalari,allora
① (commutativa)u+v=v+u, cu=uc.
② (associativa)(u+v)+w=u+(v+w), (cd)u=c(du).
③ (distributiva)c(u+w)=cu+cw, (c+d)u=cu+du.
④ (vettorezero)Esisteunelemento0talecheu+0=u, u−u=0.
⑤ (uno)1u=u, 0u=0.
Definiremo ogni insieme di oggetti su cui si possano definire una
somma e un prodotto per uno scalare con queste proprietà uno spazio
vettoriale. Piùprecisamente:
168 Matricieoperatorilineari
(IV.1) Definizione. Sia V un insieme, su cui sono definite due ope- (cid:2)OltrecheinumerirealiR,anchei
razioni: una di somma e una di moltiplicazione per un numero reale. numeri complessi C possono servire
Sequestedueoperazionisoddisfanotutteleproprietàsopraelencate, da coefficienti di uno spazio vetto-
riale. Inquestocasosiparladi spa-
alloraV sidicespaziovettoriale(o,equivalentemente,spaziolineare).
zio vettoriale complesso. Si veda il
riquadroapagina215.
(IV.2) Esempio. Per ogni n ≥ 1 l’insieme di tutte le n-uple di numeri
reali(l’insiemeRn definitoapagina100)conlasommaeilprodottoper
uno scalare definiti in (III.2) e (III.1) costituisce l’esempio canonico di
spaziovettorialedidimensionen. Loindicheremoancoraconilsimbolo
Rn. (cid:2)
(IV.3)Esempio. RicordiamochesuRnsipuòdefinireilprodottoscalare, (cid:2)Danonconfondereconilprodot-
comein(III.16). Consideriamoquindil’insiemeVdituttiivettoriv∈Rn toperunoscalare.
ortogonaliadunvettorendato,cioèquellipercuiv·n=0. Lasommae
ilprodottoperunoscalaresarannoquellidiRn,erimanedacontrollare
che in effetti se v ∈ V e w ∈ V sono due vettori di V e c è uno scalare,
allora sia v+w che cv sono ancora elementi di V: ma v·n = w·n = 0
=⇒ (v+w)·n=v·n+w·n=0,e(cv)·n=c(v·n)=0,dunqueVèuno
spaziovettoriale. (cid:2)
(IV.4) Esempio. Sia V l’insieme di tutte le funzioni continue definite
su un intervallo e a valori in R. La somma di due funzioni f,(cid:2) ∈ V si
definisceponendo
(f +(cid:2))(x)= f(x)+(cid:2)(x)
perognix,eanalogamenteilprodottoperunoscalareè (cid:2)Lospaziovettorialedellefunzioni
continue su [a,b] viene solitamente
(cf)(x)=cf(x). indicatocon
C([a,b]).
Si può vedere che V è uno spazio vettoriale, in cui la funzione ovunque
zerofada0. (cid:2) (cid:2)Il Lettore dovrebbe provare a di-
mostrare questo fatto per esercizio.
(IV.5) Esempio. L’elencodispazivettorialièpraticamentesenzafine. I
seguentisonoalcunitraglispazivettorialipiùdiffusi.
① LospazioRn.
② Lospaziodituttelematricin×macoefficientireali. (cid:2)Chedefiniremotrapoco,nel§2.
③ Lospaziodeipolinomidigradoalpiùn.
④ L’insiemedituttelefunzionidefinitesuunintervallo(a,b).
⑤ L’insieme di tutte le funzioni derivabili in (a,b), oppure integrabili
in(a,b).
⑥ L’insiemedituttelesoluzionidiunaequazionedifferenzialelineare
omogeneadelsecondoordine: (cid:2)Sivedail§4apagina13.
y(cid:5)(cid:5)(x)+a(x)y(cid:5)(x)+b(x)y(x)=0.
§1. Spazivettoriali 169
⑦ Ipolinomitrigonometrici(digradoalpiùn). (cid:2)Si veda il § 4 a pagina 53, e la
Definizione(II.23).
⑧ Lefunzioniperiodiche, lefunzionipari, lefunzionidispari, lefun-
zioniamedianulla.
⑨ Lesuccessionidinumerirealiconvergenti.
⑩ I numeri complessi C, con il campo degli scalari R, il prodotto
consuetodiunnumerorealeperunnumerocomplessoelasomma
dinumericomplessi. (cid:2)
Ricordiamolanozionedicombinazionelinearedikvettoriv ,v ,...,
1 2
v concoefficientic ,c ,...,c ,cheavevamodatoin(III.3):
k 1 2 k
c v +c v +...+c v .
1 1 2 2 k k
Non c’è traccia esplicita delle componenti dei vettori v , v , ...,v , e
1 2 k
quindi si può parlare di combinazione lineare di vettori in spazi vet-
toriali astratti. Intenderemo sempre che le combinazioni lineari sono
combinazionidiunnumerofinitodivettori.
Un’altradefinizionechepuòtranquillamenteessereutilizzataèquella
di dipendenza o indipendenza lineare, che avevamo dato in (III.8): k
vettoria ,a ,...,a sonolinearmente(in)dipendentisel’equazione
1 2 k
(1) a x +a x +...+a x =0
1 1 2 2 k k
(non)ammettesoluzioninonnulle(x ,x ,...,x )(cid:2)0. Possiamodireche
1 2 k
i vettori di un insieme (anche infinito) S sono dipendenti se per almeno
un k esistono k vettori s , s , ..., s di S linearmente dipendenti. Natu-
1 2 k
ralmente i vettori di un insieme (anche infinito) S sono indipendenti se
nonsonodipendenti.
(IV.6) Definizione. SiaSuninsiemedielementidiunospaziovetto-
rialeV. AllorasiindicaconSpan(S)l’insiemedituttelecombinazioni
lineari (finite) di elementi di S, e si chiama lo spazio lineare generato
daS. PoniamoSpan(∅) = {0}. GlielementidiSsidiconogeneratoridi
Span(S). Se S ha un numero finito di elementi s , s , ...,s , allora si
1 2 k
indicaancheconSpan(S)=Span(s ,s ,...,s ).
1 2 k
Lo span di un insieme di vettori di V è anch’esso uno spazio vettoriale
(conleoperazioniereditatedaV),evieneanchechiamatounsottospazio
vettoriale di V. Lo si provi a dimostrare per esercizio (Esercizio 46).
Possiamo riscrivere la proprietà di avere o non avere soluzioni per un
sistemadiequazionilinearinelseguentemodo.
Figura IV.1: Hermann Günter
(IV.7) Sianoa ,a ,...,a ebvettoridiRn. Ilsistemadiequazioni Grassmann (1809–1877), che in-
1 2 k
trodusse la nozione di spazio
a1x1+a2x2+...+akxk =b vettoriale astratto.
hasoluzioniseesoltantose
b∈Span(a ,a ,...,a ).
1 2 k