Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales

78 Pages·2002·0.591 MB·Spanish

by  Antonio Montes Lozano

Matrices, vectores
y sistemas
de ecuaciones
lineales
Antonio Montes Lozano
1,5 créditos
P00/75004/00191
(cid:230) a a … a (cid:246)
(cid:231) 11 21 1n(cid:247)
A =(cid:231) a a … a (cid:247)
(cid:231) 21 22 2n(cid:247)
Ł a a … a ł
m1 m2 mn

ª FUOC • P00/75004/00191 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Índice
Introducción............................................................................................... 5
Objetivos...................................................................................................... 6
1. Preliminares.......................................................................................... 7
2. Matrices.................................................................................................. 8
2.1. Producto de matrices......................................................................... 9
2.2. Suma de matrices............................................................................... 10
2.3. Matrices cuadradas ............................................................................ 12
2.4. La transpuesta de una matriz............................................................ 14
3. Espacios vectoriales.............................................................................16
3.1. Dependencia e independencia lineal................................................ 17
3.2. Bases...................................................................................................19
3.3. Subespacios vectoriales y rango......................................................... 24
4. El método de Gauss.............................................................................. 26
5. Rango y teorema de Rouché-Fröbenius..........................................34
6. Sistemas homogéneos.......................................................................... 38
7. Determinantes y regla de Cramer.................................................... 41
7.1. Determinantes de segundo orden .....................................................41
7.2. Determinantes de tercer orden..........................................................43
7.3. Determinantes de orden n................................................................. 44
7.3.1. Propiedades de los determinantes..........................................45
7.3.2. Regla de Cramer para los sistemas n · n................................ 49
8. Matriz inversa....................................................................................... 55
Resumen....................................................................................................... 59
Ejercicios de autoevaluación..................................................................61
Solucionario................................................................................................64
Glosario........................................................................................................76
Bibliografía................................................................................................. 77

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Introducción
Muchos problemas técnicos y científicos requieren la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales. Es un tema fundamental para todas las disciplinas que
utilizan las matemáticas de una manera u otra. En muchos problemas existe
una dependencia entre las diferentes magnitudes o variables que intervienen
y a menudo la planteamos en forma de ecuación lineal. Otras veces representa
una buena aproximación al problema objeto de estudio.
En este módulo estudiaremos de forma sistemática los sistemas de ecuaciones
lineales. Pero para profundizar en su conocimiento, abordaremos previamente
el estudio de las matrices y los vectores como tablas de números. Este estudio
nos conducirá a introducir la estructura de espacio vectorial, que tiene valor
por sí misma y se aplica a muchos campos como, por ejemplo, los gráficos 3D.
Estudiaremos a continuación el método de Gauss para resolver efectivamente
Evariste Galois
los sistemas. (1811-1832)…
… empezó a interesarse por las
matemáticas a los 15 años, y
Provistos con las consecuencias de la noción de independencia lineal de vec-
tres años después ya publicó
tores, podremos abordar la definición y el cálculo del rango, que nos permite un trabajo importante. Com-
prometido en contra de las in-
discutir los sistemas con ayuda del teorema de Rouché-Fröbenius. Finalmen- justicias políticas, los sucesos
de las revoluciones de 1830 lo
te, introduciremos el concepto de determinante, que permitirá dar fórmulas
condujeron, indirectamente, a
cerradas para las soluciones de los sistemas y ayudar en la discusión de siste- una muerte prematura a los 21
años. A pesar de todo, dejó
mas con parámetros. una producción matemática
trascendental en el campo de
la teoría de las ecuaciones.
ª FUOC • P00/75004/00191 6 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Objetivos
Se pretende que, estudiando los conceptos de este módulo y con los ejemplos
y actividades que se incluyen, se alcancen los objetivos siguientes:
1. Dominar el álgebra de matrices.
2. Entender los conceptos de espacio vectorial, independencia lineal y base,
así como aprender a expresar un vector en una base.
3. Saber resolver sistemas por el método de Gauss.
4. Aprender a determinar el rango de una matriz.
5. Conocer las propiedades de los determinantes y la regla de Cramer.
6. Dominar el teorema de Rouché-Fröbenius y saber discutir un sistema con
parámetros.
7. Saber plantear problemas lineales.
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1. Preliminares
Empecemos por recordar algunas nociones básicas.
Consideremos los sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas siguientes:
2x+3y = 7(cid:252) 2x +3y = 4 (cid:252) 2x+3y = 6(cid:252)
(cid:253) (cid:253) (cid:253)
2x–3y = 1(cid:254) 2x+ 3y = 6(cid:254) 4x+ 6y = 12(cid:254)
Realizando las gráficas de cada uno de los sistemas de ecuaciones se obtiene:
a) Rectas secantes b) Rectas paralelas c) Rectas coincidentes
El primer sistema representa dos rectas que se cortan en el punto (2, 1) y tiene una
solución única. El segundo caso representa dos rectas paralelas y no tiene solu-
ción. El tercero corresponde a dos rectas coincidentes y tiene infinitas soluciones.
Tratándose de sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas no hay más casos.
En realidad, éstos son los casos emblemáticos para sistemas con más ecuacio-
nes e incógnitas.
Denominamos sistema compatible al sistema que admite soluciones,
es decir, si existen valores de x, y que satisfacen el sistema. En caso con-
trario recibe el nombre de incompatible. Decimos que un sistema es
compatible determinado si admite una única solución. En caso con-
trario recibe el nombre de compatible indeterminado.
En estos términos, los tres casos del ejemplo quedan clasificados de la forma
siguiente: el primero es compatible y determinado; el segundo es incompati-
ble y el tercero, compatible e indeterminado.
Ahora estudiaremos los sistemas de ecuaciones lineales en general y determi-
naremos cuántas soluciones tienen y cómo calcularlas. Pero antes conviene
introducir la notación matricial, que será muy útil.
ª FUOC • P00/75004/00191 8 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
2. Matrices
Introducimos ahora las definiciones y notaciones que utilizaremos.
La noción de matriz…
Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas x1, x2, ..., xn o variables con- … fue introducida en 1857
por los matemáticos británicos
siste en un conjunto de m ecuaciones de la forma siguiente:
W. Hamilton y A. Cayley. El pri-
mero que utilizó la palabra
matriz fue J. J Sylvester para
a x ++a x+ … a x = b (cid:252) indicar una ordenación deter-
11 1 12 2 1n n 1 (cid:239)
minada de números.
a x ++a x+ … a x = b (cid:239)
21 1 22 2 2n n 2 (cid:253) , (1)
(cid:239)
(cid:239)
a x ++a x+ … a x = b (cid:254)
m1 1 m2 2 mn n m
donde las a y las b son escalares conocidos, y el rango de variación de los índices
ij i
es 1 £ i £ m, 1 £ j £ n. El coeficiente a es el factor que multiplica x en la i-ésima
ij j
ecuación, y el coeficiente b es el término independiente de la i-ésima ecuación.
i
Arthur Cayley
Una matriz m · n es una tabla de números aij donde se tiene 1 £ i £ m, (1821 - 1895)
1 £ j £ n, que dispondremos en m filas y n columnas: Matemático inglés que desta-
có por sus contribuciones a la
teoría de matrices, determi-
(cid:231)(cid:230) a11 a21 … a1n(cid:247)(cid:246) nnaaln yte, se,n g ceoolmabeotrríaac nió-dni mcoenn ssuio -
A = (cid:231) a a … a (cid:247) (2) gran amigo Sylvester, por sus
(cid:231) 21 22 2n(cid:247)
contribuciones a la llamada
Ł a a … a ł
m1 m2 mn teoría de los invariantes y las
álgebras de dimensión finita.
De este modo, los coeficientesa del sistema de ecuaciones (1) forman una ma-
ij
Advertencia
triz m · n , que denotamos como A y que llamamos matriz del sistema.
Para no confundirnos denota-
mos las matrices con negrita,
Pongamos A = (aij)1 £ i £ m, 1 £ j £ n para indicar que A es la matriz m · n que tiene con el objetivo de distinguirlas
de los números o elementos.
por elementos los a . Cuando sean claros los rangos de variación de i y de j
ij
escribimos simplemente A = (a ).
ij
Designemos por L(m, n) el conjunto de las matrices m · n , (m filas y n colum-
nas).
Podemos agrupar también las x en forma de matriz de una sola columna y n
j
filas, que llamamos vector columna y que denotamos como x. Los términos
independientes b también pueden ser agrupados en forma de vector columna
j
de m filas y los llamamos b. De este modo, tenemos:
(cid:230) x(cid:246) (cid:230) b(cid:246)
1 1
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
x = (cid:231)(cid:231) x(cid:247)(cid:247)2 b = (cid:231)(cid:231) b2(cid:247)(cid:247) .
(cid:231)...(cid:247) (cid:231)...(cid:247)
Ł xł Ł bł
n m
ª FUOC • P00/75004/00191 9 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
2.1. Producto de matrices
Definimos el producto de C, de m filas y k columnas, por una matriz D, de k
filas y n columnas, como la matriz E de m filas y n columnas siguiente:
(cid:230) e … e (cid:246) (cid:230) c … c (cid:246) (cid:230) d … d (cid:246)
11 1n 11 1k 11 1n
(cid:231)(cid:231) ... ...(cid:247)(cid:247) = (cid:231)(cid:231) ... ...(cid:247)(cid:247) (cid:215) (cid:231)(cid:231)... ...(cid:247)(cid:247) ,
Ł e … e ł Ł c … c ł Ł d … d ł
m1 mn m1 mk k1 kn
donde el elemento e de la i-ésima fila y j-ésima columna del producto E se ob-
ij
tiene multiplicando los elementos de la i-ésima fila de C por los elementos de
la j-ésima columna de D y sumando:
En el producto
de matrices...
k
eij = ci1d1j++ci2d2+j … cikdkj= (cid:229) cil dlj . ... observamos que el número de
l=1 columnas de la matriz de la iz-
quierda y el de las filas de la ma-
triz de la derecha es el mismo (k).
De forma abreviada escribimos:
E = C · D
o bien omitiendo el punto, simplemente E = CD.
La operación de multiplicar matrices es una aplicación:
·:L(m,k)· L(k,n) fi L(m,n).
y, por lo tanto, para poder multiplicar dos matrices es necesario que la matriz
de la izquierda tenga el mismo número de columnas que el número de filas de
la matriz de la derecha.
Con estas notaciones, el sistema (1) se escribe de la forma:
A · x = b. (3)
Ejemplo 1
¿Cuándo es factible la multiplicación de dos matrices? Por ejemplo, hagamos la multiplica-
ción matricial indicada:
(cid:230) 2 –1(cid:246)
(cid:230) 3 –1 0 4(cid:246) (cid:231) (cid:247)
–(cid:231)(cid:231) 1 0 3 1(cid:247)(cid:247) (cid:215) (cid:231)(cid:231) 3 2(cid:247)(cid:247) .
Ł ł –(cid:231) 4 0(cid:247)
25 1 – 0
Ł 1 3ł
Para poder multiplicar A y B es necesario que el número de columnas de A sea igual al de las
filas de B. En el ejemplo dado el número de columnas de A y de filas de B es el mismo, 4, y
el producto es posible. Cada elemento del producto tendrá 4 sumandos. El resultado es una
matriz de 3 filas (número de filas de A) y 2 columnas (número de columnas de B) que pre-
sentamos a continuación:
(cid:230) 7 7(cid:246)
(cid:231) (cid:247)
(cid:231)–13 4(cid:247) .
Ł ł
23 8
ª FUOC • P00/75004/00191 10 Matrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales
Además de la matriz del sistema (2), también utilizamos la matriz ampliada,
obtenida a partir de la matriz del sistema añadiendo la columna de los térmi-
nos independientes:
(cid:230) (cid:246)
(cid:231) a11 a12 … a1n b1(cid:247)
(cid:231) (cid:247)
(cid:231)(cid:231) a21 a22 … a2n b2(cid:247)(cid:247) . (4)
(cid:231) ... ... ... (cid:247)
Ł(cid:231) am1 am2 … amn bmł(cid:247)
Ejemplo 2
Dado el sistema de ecuaciones siguiente:
(cid:252)
2x+3y–6z = 7
(cid:239)
–3y+z = 1(cid:253) ,
(cid:239)
–x+4y–z = 4(cid:254)
escribimos la matriz del sistema y la matriz ampliada. Escribimos el sistema de la forma que
expresa la ecuación (3).
Matriz del sistema:
(cid:230) 23 6 – (cid:246)
(cid:231) (cid:247)
(cid:231) 0 –3 1(cid:247) .
Ł –1 4 –1ł
Matriz ampliada:
(cid:230) 23 6 – 7(cid:246)
(cid:231) (cid:247)
(cid:231) 0 –3 1 1(cid:247) .
Ł–1 4 –1 4ł
Sistema:
(cid:230) 23 6 – (cid:246) (cid:230) x(cid:246) (cid:230) 7(cid:246)
(cid:231)(cid:231) 0 –3 1(cid:247)(cid:247) (cid:215) (cid:231)(cid:231) y(cid:247)(cid:247) = (cid:231)(cid:231) 1(cid:247)(cid:247) .
Ł ł Ł ł Ł ł
–1 4 –1 z 4
2.2. Suma de matrices
La suma de dos matrices m · n es igual a la matriz m · n que se obtiene suman-
do los elementos correspondientes:
(cid:230) c c … c (cid:246) (cid:230) d d … d (cid:246)
11 12 1n 11 12 1n
(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247)
(cid:231) c c … c (cid:247) (cid:231) d d … d (cid:247)
(cid:231) 21 22 2n(cid:247) + (cid:231) 21 22 2n(cid:247) =
(cid:231) ... ... ... (cid:247) (cid:231) ... ... ... (cid:247)
Ł c c … c ł Ł d d … d ł
m1 m2 mn m1 m2 mn
(cid:230) c +d c +d … c +d (cid:246)
11 11 12 12 1n 1n
(cid:231) (cid:247)
= (cid:231)(cid:231) c21+d21 c22+d22 … c2n+d2n(cid:247)(cid:247) = E,
(cid:231) ... ... ... (cid:247)
Ł c +d c + d … c +d ł
m1 m1 m2 m2 mn mn