Table Of Content

Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова В.А. Бороденко ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB Павлодар 2011 УДК 681.5(075) ББК 32.965.4я73 Б83 Рекомендовано к изданию Ученым советом Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова Рецензенты: В. Ф. Хацевский – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой АиУ ПГУ им. С. Торайгырова Е. В. Иванова – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой электроэнергетики ИнЕУ П. И. Сагитов – доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой ЭАПУ АУЭС Б83 Бороденко В. А. Исследование систем управления в среде MATLAB : Монография. – Павлодар : Кереку, 2011. – 318 с., ил. ISBN 978-601-238-158-0 В монографии рассматриваются вопросы компьютерного моде- лирования линейных систем автоматического управления в среде MATLAB, в том числе недостаточно описанные или отсутствующие в справочной и учебной литературе. Она предназначена для студентов, магистрантов и докторантов специальности «Автоматизация и управ- ление», а также может быть полезна инженерам, студентам и магист- рантам других технических специальностей при изучении основ тео- рии автоматического управления. УДК 681.5(075) ББК 32.965.4я73 ISBN 978-601-238-158-0 © Бороденко В. А., 2011 © ПГУ им. С. Торайгырова, 2011 За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки ответственность несут авторы и составители Введение Для компьютерного моделирования систем регулирования и управления широко используется программный продукт MATLAB® фирмы Math Works, Inc., который де-факто стал стандартом в проект- ных, исследовательских, научных и учебных организациях. Книга со- держит минимальный объем сведений, достаточный для начала рабо- ты в среде MATLAB. Описание базируется на версиях MATLAB 7.01, как базовой, и 7.11 (R2010b) – последней на момент создания книги. При изложении материала предполагается, что читатель знаком с курсом теории линейных систем автоматического регулирования (управления) настолько, что может ставить задачи из этой области и правильно интерпретировать получаемые результаты. Для тех, у кого отсутствуют такие знания или в них имеются пробелы, предназначен первый раздел, который опытным читателям можно пропустить. Данная книга не является справочником по среде MATLAB, ее пакеты расширений рассматриваются лишь в той мере и постольку, поскольку это необходимо для исследования той или иной стороны функционирования систем автоматического управления (САУ). По- этому, как правило, описание функций привязано к определенному моменту анализа или синтеза системы управления. Рассматриваются элементы классической теории автоматического управления (ТАУ) и практически не затрагиваются новые направления развития ТАУ. В книге исследуются вопросы компьютерного моделирования линейных САУ, недостаточно описанные или отсутствующие в спра- вочной и учебной литературе. Работниками высшей школы постсо- ветского пространства обычно решается задача приспособления своих учебников к реалиям MATLAB. Целью данной монографии является, скорее, противоположная задача – рассмотреть, насколько программа MATLAB подходит для сопровождения стандартного курса ТАУ, чи- таемого на основе учебной литературы СНГ, какие проблемы нужно решить для ее полнокровного применения. Книга создавалась, в первую очередь, как подспорье процессу обучения, в силу чего большее внимание уделяется не числовым зна- чениям показателей, а процессу их вычисления, особенно, если изуче- ние таких характеристик предусмотрено в учебных программах, но их получение не заложено в MATLAB. В качестве примера можно ука- зать критерии Гурвица, Рауса, Михайлова, метод D-разбиения и т. п. В работе специально обращается внимание на особенности работы MATLAB, не отвечающие традиционному подходу специалистов СНГ к исследованию систем управления. 3 1 Основы теории автоматического управления 1.1 Классификация систем управления Кибернетика – наука об управлении. Управление – это органи- зация некоторого процесса для достижения поставленной цели с по- мощью специально выбранных воздействий. Управление называется: оптимальным, если в условиях имеющихся ограничений осуществля- ется в известном смысле наилучшим образом, и терминальным (ко- нечным), если его цель – достичь заданной точки в пространстве. На общей схеме управления (рисунок 1.1) показаны [1]: ОУ – объект управления, УУ – управ- ляющее устройство (регулятор), f(t) – возмущающее воздействие (возмуще- ние, помеха), y(t) – выходная или управляемая величина (отклик, реак- ция), u(t) – управляющее воздействие (управление), r(t) – задающее воздей- ствие (цель, задание, программа). Все, что не относится к объекту управления и управляющему устрой- Рисунок 1.1 ству, считается окружающей средой. Объект управления характеризуется функцией преобразования (передачи) – законом, по которому входные величины f(t) и u(t) пре- образуются им в выходную y(t). В соответствии с желаемым результатом процесса, формируе- мым с помощью задания r(t), УУ вырабатывает управляющее воздей- ствие u(t) на ОУ. Возмущения – это факторы, которые нарушают нор- мальную работу системы и влияние которых необходимо устранить. Неизмеряемое возмущение называется помехой, возмущение, обу- словленное технологическим процессом – нагрузкой. Система без связей a и b называется разомкнутой, только с пря- мой связью a – системой с управлением по возмущению, с обратной связью b – системой с управлением по отклонению управляемой ве- личины от задания, при наличии обеих связей – комбинированной системой управления. Системы, сравнивающие результат управления с заданием по цепи b, относятся к системам с обратной связью (по- английски Feedback Control System) или замкнутым. Управление называют: автоматическим, если основной техноло- гический процесс осуществляется полностью без участия человека, и автоматизированным, если функции управления поделены определен- ным образом между человеком и ЭВМ. 4 Совокупность объекта управления и управляющего устройства образует систему управления (СУ). К автоматическим СУ относятся САУ – система автоматического управления, САР – система автома- тического регулирования, САК – система автоматического контроля; к автоматизированным АСУ – автоматизированная система управле- ния, АСУП – АСУ производством, АСУТП – АСУ технологическим процессом, САПР или, по-английски, CAD – система автоматизиро- ванного проектирования. Обычно, если не требуется специально разграничить эти систе- мы, под САУ и САР подразумевают одно и то же. Регулированием на- зывается частная задача управления, состоящая в отработке задающе- го воздействия без выбора его характера. Теория автоматического управления является частью киберне- тики и теоретической базой автоматизации в любых отраслях науки и техники. Она изучает принципы построения САУ независимо от их назначения, конструкции, физической природы. Основным методом исследования в ТАУ является математическое моделирование – физи- ческую систему заменяют ее математической моделью, результаты эксперимента с которой переносят на реальный объект. Задачи ТАУ: оценка устойчивости и качества регулирования, исследование чувствительности к изменению внешних и внутренних параметров систем, синтез оптимальных по структуре или характери- стикам регуляторов (управляющих устройств), коррекция свойств систем управления, выбор законов регулирования и методов построе- ния моделей [1, 6-16]. Не рассматривая возможное деление систем регулирования по области применения (авиация, энергетика…), стоимости, массе, габа- ритам и прочим характеристикам, уделим внимание лишь классифи- кации по особенностям процесса регулирования. Циклические (детерминированные, безрефлексные, с жестким управлением) системы выполняют свои функции по заранее заданной программе независимо от фактического протекания процесса. Они ли- бо вообще не используют текущую (рабочую) информацию, либо она имеет чисто вспомогательное значение. Для таких систем требуется большой объем заранее собранной (априорной) информации об объ- екте регулирования, так как отсутствует возможность последующей корректировки поведения. Ациклические (рефлексные) системы действуют в зависимости от фактического протекания процесса, на основе непрерывно полу- чаемой рабочей информации. Они требуют меньшего объема априор- ной информации и обладают некоторой свободой поведения. 5 Обычно первые – разомкнутые, не охваченные главной обрат- ной связью (ОС), вторые – замкнутые отрицательной ОС. У стабилизирующих систем задающее воздействие постоянно во времени, регулируемый параметр в пределах допустимой погрешно- сти поддерживается постоянным при любых возмущениях. В систе- мах программного управления задающее воздействие изменяется во времени по заранее выбранному закону (программе). Система называ- ется следящей, если характер изменения задающего воздействия зара- нее неизвестен и оно является произвольной функцией времени, не зависящей от САР. В обоих этих случаях регулируемый параметр в пределах допустимой погрешности воспроизводит изменения задаю- щего воздействия. Системы с управлением по отклонению регулируемой величины от заданного значения формируют управляющее воздействие в зави- симости от величины и знака рассогласования r(t) – y(t) (принцип Ползунова). Системы такого рода реагируют на любые возмущения, не измеряя их, поэтому их точность выше, а структура обычно проще. Однако их быстродействие ниже, поскольку они срабатывают уже по- сле появления реакции объекта на возмущение. Принципиальный не- достаток – обязательно должно наступить ухудшение в работе объек- та, чтобы его можно было исправить. Это замкнутые системы с глав- ной ОС, наличие обратной связи может в некоторых случаях приво- дить к нарушению устойчивости. Система с управлением по возмущению (рисунок 1.2, а) реаги- рует только на появление выбранного возмущающего воздействия, не универсальна и действует по принципу компенсации возмущения (принцип Понселе). а б Рисунок 1.2 Для таких САР необходимо, чтобы выбранное возмущение x было основным по влиянию на объект ОУ, поддавалось измерению, а характеристики возмущений М и объекта были точно известны. Эти системы имеют высокое быстродействие и позволяют получить нуле- вую ошибку в процессе управления за счет того, что управление фор- мируется устройством управления УУ сразу же с появлением возму- 6 щения (если оно превышает уставку x ) и производится с упреждени- 0 ем ухудшения состояния объекта. Однако их точность хуже, так как контролируется лишь часть возможных возмущений, они требуют тщательного изучения объекта и не обеспечивают контроль правиль- ности действий. Комбинированные системы сочетают достоинства обоих рас- смотренных принципов управления (рисунок 1.2, б). В установивших- ся режимах или режимах с малыми отклонениями у них превалирует подсистема регулирования УР, осуществляющая управление по от- клонению, а в переходных режимах с резкими большими возмуще- ниями подключается часть УУ с управлением по возмущению. У статических систем всегда имеется ошибка регулирования в установившемся режиме, существует точное соответствие между зна- чениями регулируемой и управляющей величин, между величиной возмущения и значением рассогласования (ошибки). Статическая ха- рактеристика отражает зависимость установившейся ошибки от вели- чины входного воздействия и коэффициента передачи ошибки. В астатических системах ошибка регулирования остается нуле- вой при разной величине возмущений благодаря тому, что управляю- щее воздействие непрерывно возрастает по модулю до тех пор, пока контролируемое рассогласование не исчезнет. Эти системы точнее, но требуют времени на устранение ошибки. В момент полной компенса- ции рассогласования величина управляющего воздействия может быть произвольной в рамках возможного диапазона. Непрерывные (аналоговые) системы воздействуют на объект в течение всего времени работы, используют монотонно изменяющиеся или непрерывные периодические сигналы. Работа дискретных систем основана на кусочном изменении (квантовании, дискретизации) сиг- нала. В импульсных системах осуществляется квантование по време- ни (управляющее воздействие формируется в течение коротких ин- тервалов времени, разделенных паузами), в релейных – квантование по уровню (позиции), в цифровых используются оба способа. Обычно в составе дискретных линейных систем имеется эле- мент преобразования непрерывных величин в дискретные при суще- ственном преобладании линейной части системы. 1.2 Основные математические модели 1.2.1 Дифференциальное уравнение системы Предметом изучения являются линейные, непрерывные, ста- ционарные, одномерные системы с сосредоточенными параметрами. 7 У непрерывных элементов выходная величина изменяется плав- но при плавном изменении входной величины. Система линейна, если к ней применим принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любое сочетание воздействий равна сумме реак- ций на каждое из этих воздействий в отдельности, а изменению вход- ного сигнала соответствует пропорциональное изменение выходного. Математический аппарат, используемый для описания линейных систем, проще, чем для нелинейных. Реально существующие нели- нейные системы для изучения предварительно линеаризируют. Ли- неаризацией называется такое упрощение математического описания объекта, при котором его параметры становятся постоянными величи- нами или отображаются линейными зависимостями. У стационарных систем коэффициенты и параметры – это по- стоянные величины, не являющиеся функциями времени. Характери- стики любых систем со временем меняются, однако, поскольку мы проводим анализ в течение короткого отрезка времени, возможные изменения параметров за этот период считаются несущественными. Одномерные системы и объекты описываются по методу «один вход – один выход» посредством передаточной функции (ПФ). Для многомерных объектов и систем управления с несколькими входами или выходами обычно используется векторно-матричное описание в пространстве состояний. Системы, у которых выходные величины за- висят друг от друга, называются многосвязными. Наконец, элементы систем (емкость, сопротивление) будем ус- ловно считать сосредоточенными в одной точке, хотя реально это и не всегда так. Например, для протяженных линий электропередачи или водопроводов необходимо учитывать распределение параметров по длине объекта – это системы с распределенными параметрами. Поведение линейных, непрерывных, стационарных систем с со- средоточенными параметрами описывается во времени обыкновен- ным дифференциальным уравнением (ОДУ) с постоянными коэффи- циентами a, b i j dny(t) dn1y(t) dmx(t) dm1x(t) a  a ... a y(t) b b ...b x(t), 0 dtn 1 dtn1 n 0 dtm 1 dtm1 m где слева – выходная функция y(t) и ее производные (результат), спра- ва – входная функция x(t) и ее производные. В этом смысле запись со- ответствует расположению результата и действий при программиро- вании, или записи подстрочных индексов передаточной функции. Данное уравнение можно записать в алгебраизированном виде, используя оператор (символ) дифференцирования p ≡ d/dt, что позво- 8 ляет производить с дифференциальным уравнением алгебраические операции – выносить члены за скобки, складывать, умножать и т. п. (a pn + a pn-1 + ... + a ) y(t) = (b pm + b pm-1 + ... + b ) x(t). 0 1 n 0 1 m Здесь слева в скобках – собственный оператор объекта, справа – оператор входа (воздействия). При этом в алгебраизированном урав- нении используются, как правило, не сами величины x и y, а их абсо- лютные ∆y/∆x или относительные ∆y/y , ∆x/x отклонения от рабочей 0 0 точки c координатами (x , y ). 0 0 Оператор D(p) = a pn + a pn-1 + ... + a называется также ха- 0 1 n рактеристическим, так как характеризует собственные свойства сис- темы (объекта), а уравнение D(p) = a pn + a pn-1 + ... + a = 0 – харак- 0 1 n теристическим уравнением системы. Удобным способом записи дифференциального уравнения явля- ется операторная передаточная функция b pm b pm1 ...b W(p)  0 1 m . a pn  a pn1 ... a 0 1 n Она отображает действия, которые необходимо произвести с входной величиной данного объекта, чтобы получить выходную вели- чину. При этом следует иметь в виду, что оператор p ≡ d/dt лишь об- легчает запись дифференциальных уравнений, но не дает способа их решения – y(t) и x(t) остаются функциями времени. Он не обладает свойством коммуникативности: можно записать p∙y(t), но нельзя y(t)∙p. 1.2.2 Преобразование Лапласа В ТАУ основным инженерным методом решения дифференци- альных уравнений, т. е. исследования поведения систем во времени, является преобразование Лапласа. Его преимущество заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оно заменя- ет более простыми алгебраическими операциями умножения и деле- ния. Из-за необходимости вычислять корни характеристического уравнения преобразование Лапласа целесообразно использовать лишь для систем до четвертого порядка, ОДУ более высокого порядка ре- шают численными методами на ЭВМ. Рассмотрим принцип решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа. На первом этапе производят пря- мое преобразование X(s) = L{x(t)} – от функции времени переходят к функции комплексной переменной Лапласа s = σ + jω = α + jβ. Здесь ω = 2πf – это известная из электротехники круговая частота, рад/с. 9 Далее решают алгебраическое уравнение реакции, для чего находят собственные значения системы, т. е. корни характеристического урав- нения D(s) = 0, и по теореме разложения определяют коэффициенты числителей простых дробей, на которые в соответствии с собствен- ными значениями разлагается реакция. В конце вычислений выпол- няют обратное преобразование Лапласа x(t) = L-1{X(s)} – от функции переменной s возвращаются к функции переменной времени t. Общее обозначение описанных операций x(t)÷X(s), где слева строчными буквами изображена функция времени (оригинал), справа, прописной буквой – функция комплексного переменного (изображе- ние), а между ними стоит символ соответствия (ни в коем случае не равенства, что будет являться грубой ошибкой!). Практически все функции электротехники и ТАУ соответствуют требованиям к ориги- налу (функция кусочно-непрерывна на участке исследования, равна нулю при t < 0 и ограничена функцией Me0 t, где σ – абсцисса абсо- 0 лютной сходимости). Иногда для обозначения оператора дифференцирования p ≡ d/dt и комплексной переменной s = σ + jω = α + jβ используют один и тот же символ p, что может приводить к недоразумениям или неверным результатам. Мы будем далее использовать отдельные обозначения. Свойства преобразования Лапласа. - Линейность x(t) + y(t) ÷ X(s) + Y(s). } Принцип суперпозиции - Однородность kx(t) ÷ kX(s). 1  s  - Подобие x(t) X .   - Дифференцирование оригинала x(t)s X(s)  x(0 )  Полином, отражающий x(t)s2  X(s)sx(0 ) x(0 ) начальные условия   При нулевых начальных условиях (значениях переменных в мо- мент t = 0 , уже существующих в системе) запись упрощается – x(n)(t)sn  X(s). Дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на s в степени, равной порядку дифференцирования (производной). - Интегрирование оригинала 10