Maths : cycle 4 : 5e : livre du professeur

193 Pages·2016·69.582 MB·French

by  Barnet, Christophe, Berger, Helena, Billa, Nadine, Demoulin, Patricia, Flous, Amaïa, Lafargue, Benoît, Larrieu, Marion, Laulhere, Aurélie, Layan, Marie-Christine, Pollet, Sandrine, Robertou, Marion, Rudelle, Florian, Villattes, Agnès

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Mission
C Y CLE
4
55
ee
LIVRE DU PROFESSEUR
Sous la direction de Christophe BARNET
Helena BERGER
Nadine BILLA
Patricia DEMOULIN
Amaïa FLOUS
Benoît LAFARGUE
Marion LARRIEU
Aurélie LAULHERE
Marie-Christine LAYAN
Sandrine POLLET
Marion ROBERTOU
Florian RUDELLE
Agnès VILLATTES
9782013953696_LP_001_5e.indd 1 13/10/2016 10:01
© Scratch : p. 11, 21, 37, 48, 65, 74, 82, 91, 100, 110, 123, 136, 160 à 174 : « Scratch est développé par le groupe Lifelong Kindergarten
auprès du MIT Media Lab. Voir http://scratch.mit.edu »
Édition : Nathalie Legros, Cécile Chavent
Fabrication : Miren Zapirain
Mise en page : IDT
Schémas : Lionel Buchet
Couverture : Anne-Danielle Naname
Maquette intérieure : Anne-Danielle Naname/Laurine Caucat - Grafatom/Lasergraphie (Catherine Bonnevialle)
© Hachette Livre 2016, 58 rue Jean Bleuzen 92178 Vanves.
www.hachette-education.com
ISBN 978-2-0139-5369-6
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limite de 5 % du livre).
Indiquer alors les références bibliographiques des ouvrages utilisés.
Sommaire
N
OMBRES ET CALCULS
11 Nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
22 Enchainement d’opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
33 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
44 Nombres relatifs : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
55 Nombres relatifs : opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
66 Calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
O ,
RGANISATION ET GESTION DE DONNÉES FONCTIONS
77 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
88 Calcul et représentation de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
99 Représentation et traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1100 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
E
SPACE ET GÉOMÉTRIE
1111 Construction et transformation de figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1122 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1133 Triangles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
1144 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1155 Solides de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A
LGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION
1166 Algorithmique et programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
EPI 175
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes transversaux 181
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Démarche des auteurs 184
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Livre du professeur – Sommaire 3
AAAAA vvvvv aaaaa nnnnn ttttt ----- ppppp rrrrr ooooo ppppp ooooo sssss
Dans un contexte de profonds changements, cette nouvelle collection se veut à la hauteur des enjeux.
L’équipe d’auteurs propose :
(cid:127) un parcours structuré et cohérent avec la logique de cycle ;
(cid:127) des ressources nombreuses et variées pour répondre aux besoins de tous les élèves et de toutes les démarches pédagogiques ;
(cid:127) des contenus attractifs pour motiver les élèves et une place centrale accordée au numérique.
Des manuels qui s’inscrivent (cid:127) la réalisation de projets motivants, accessibles à tous les
dans la logique de cycle élèves et permettant une diff érenciation des attendus pour
mieux gérer l’hétérogénéité des élèves.
Les diff érents attendus de fi n de cycle sont travaillés tout au
Des exercices faisant appel à un tableur ou un logiciel de
long du cycle, en cohérence avec les repères de progressivité
géométrie dynamique sont également proposés dans tous
des programmes. Ils sont introduits puis approfondis
les chapitres.
progressivement à chaque niveau. Le parcours proposé sur
les trois niveaux s’inscrit donc complètement dans la logique
d’un programme de cycle, avec notamment : Des ressources pour l’accompagnement
(cid:127) des activités qui permettent de remobiliser des notions personnalisé et les enseignements
déjà étudiées et d’en découvrir de nouvelles ; pratiques interdisciplinaires
(cid:127) un cours qui reprend de façon synthétique les notions déjà
étudiées et les notions nouvelles ; Dans chaque chapitre, une page « Travailler autrement »
(cid:127) des exercices d’entrainement et des problèmes conçus propose des exercices diff érenciés, ainsi que des activités
permettant de travailler en groupe. De nombreux problèmes
pour :
ouverts permettent également de diff érencier les attendus
 acquérir et entretenir les fondamentaux tout au long du
selon les niveaux des élèves. Des cartes mentales permettent
cycle ; de visualiser l’ensemble du cours d’une autre façon.
 approfondir de façon progressive les attendus de fi n de
En fi n de manuel sont proposés quelques projets réalisables
cycle ;
dans le cadre des enseignements pratiques interdisciplinaires.
 découvrir des notions qui vont au-delà des attendus de De nombreux problèmes interdisciplinaires présents dans
fi n de cycle. chaque chapitre peuvent compléter ces ressources.
Une grande variété de problèmes Des chapitres structurés pour s’adapter
pour tous les élèves à toutes les démarches pédagogiques
Chaque manuel propose :
Chaque chapitre est structuré autour de deux, trois ou
(cid:127) des problèmes simples, concrets et accessibles à tous les
quatre capacités. À chacune d’elles correspondent une ou
élèves et des problèmes à prise d’initiative favorisant la
plusieurs activités d’introduction, un paragraphe de cours,
réfl exion et l’autonomie ;
des exercices d’entrainement et un QCM d’auto-évaluation.
(cid:127) des problèmes qui mobilisent les six compétences
Il est ainsi plus aisé de construire une progression spiralée, de
mathématiques du programme, avec un repérage de ces
mettre en œuvre une évaluation ciblée des acquis des élèves et
compétences pour s’assurer qu’elles sont toutes travaillées
de proposer des remédiations aux diffi cultés des élèves.
et/ou pour les évaluer plus facilement ;
(cid:127) des problèmes qui contribuent à tous les domaines du
Des compléments numériques riches
socle commun avec une indication des problèmes en lien
et innovants
avec d’autres disciplines ;
(cid:127) des problèmes qui permettent un entrainement
Le manuel numérique, accessible facilement pour tous les
régulier aux diff érentes formes de raisonnement et un
élèves, propose :
apprentissage progressif de la démonstration.
(cid:127) des diaporamas pour toutes les « Questions fl ash », ainsi
que des exercices et un QCM interactifs pour travailler l’oral
De nombreuses ressources pour introduire
en classe de façon simple et vivante ;
l’algorithmique et utiliser les outils numériques (cid:127) deux pages d’exercices d’entrainement supplémentaires
Le thème « Algorithmique et programmation » est abordé à pour chaque chapitre, à utiliser en classe, en accompagnement
travers : personnalisé ou par l’élève en autonomie ;
(cid:127) des exercices courts dans chaque chapitre, en lien avec les (cid:127) une vidéo d’environ deux minutes qui présente de façon
notions étudiées ; synthétique chaque capacité du cours, utilisable en
(cid:127) des activités qui permettent de construire progressivement remédiation ou dans le cadre d’une « classe inversée » ;
et rapidement tous les attendus de fi n de cycle ; (cid:127) les fi chiers de tous les exercices faisant appel à un logiciel.
L’équipe des auteurs
4 Livre du professeur – Avant-propos
111 Nombres entiers
RE
TIPAH
C
Introduction
Ce chapitre s’inscrit dans le thème « Nombres et calculs ». Les • D’autres notions sur le même thème seront travaillées dans un
connaissances associées sont : chapitre de 3e : algorithme plus rapide de recherche des nombres
– la division euclidienne (quotient, reste) ; premiers, décomposition d’un nombre en facteurs premiers qui
– les multiples et diviseurs ; sera abordée en 3e.
– la notion de nombres premiers.
Objectifs du chapitre
Les capacités associées sont de déterminer si un entier est ou n’est Ce chapitre s’inscrit dans le développement du calcul en mettant
pas un multiple d’un autre entier, de comprendre et d’utiliser les l’accent sur la maitrise du sens des opérations vues au cycle 3. La nou-
notions de divisibilité et de nombres premiers. veauté de ce chapitre est la compréhension des nombres premiers.
Une place importante est accordée au raisonnement et à la réso-
Repères de progressivité lution de problèmes, liés le plus souvent à des situations de la vie
• Ce chapitre réinvestit la division euclidienne et les critères de quotidienne (conjonction de phénomènes périodiques, problèmes
divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 et 10 vus au cycle 3. En calcul mental, d’engrenages …). Des problèmes de nature purement arithmétique
on pourra en amont travailler plus particulièrement sur les tables y trouvent également leur part. De nombreux exercices et problèmes
de multiplication. forment également à la démonstration en diversifi ant les pratiques :
conjecture-validation, essai-erreur…
• Le chapitre 3 de 5e sur les fractions permet également
d’appliquer les notions travaillées dans ce chapitre avec la Ce chapitre a été conçu de façon à laisser à l’élève la possibilité de
simplifi cation de fractions. En eff et, si ce chapitre est travaillé travailler le calcul mental, tout en lui donnant l’occasion d’exploiter
avant le chapitre des fractions, la simplifi cation sera présentée le calcul instrumenté (calculatrice, tableur, logiciels) pour rechercher
comme une application des critères de divisibilité ; si ce chapitre les diviseurs d’un nombre ou déterminer si un nombre est premier.
est travaillé après le chapitre des fractions, la simplifi cation de Certains exercices font référence à des notions permettant d’aller plus
fractions permettra de créer un lien avec ce chapitre, sous forme loin dans l’univers des nombres entiers, des diviseurs et multiples,
de rappel. avec notamment le PGCD et PPCM.
Le chemin est le suivant :
36 est un multiple de 18 : 36 = 18 × 2.
108 est un multiple de 36 : 108 = 36 × 3.
216 est un multiple de 108 : 216 = 108 × 2.
élit.
d
n
u
st
e
e
é
s
ori
ut
a
n
o
n
e
pi
o
c
oto AAccttiivviittééss
h
p
– La QQQQQuuuuueeeeessssstttttiiiiiooooonnnnnsssss ffffflllllaaaaassssshhhhh
ur
se 1. 40 et 515 sont dans la table de multiplication de 5 car ils se e. 90 80 70 60 50
s
profe 2. tae. r3m 6in e1n2 t 2p4a r 408 ou 5. On écrit les multiples de 10 décroissants (on retranche 10
u à chaque étape).
d
e On multiplie par 2 à chaque étape.
vr
Li 3. a. 6 × 3 = 18. b. 5 × 8 = 40.
e5 – 2. b. 5 10 15 20 25 c. 63 ÷ 3 = 21. d. 48 ÷ 6 = 8.
go On écrit les multiples croissants de 5 (on additionne 5 à 4. a. Dans la division euclidienne de 37 par 4, 9 est le quotient
ndi chaque étape). et 1 est le reste.
n I b. 37 = 4 × 9 + 1. c. 4 × 9 < 37 < 4 × 10.
o c. 30 27 24 21 18
ssi 5. On eff ectue la division euclidienne de 34 par 16.
Mi
– On écrit les multiples décroissants de 3 (on retranche 3 à 34 = 16 × 2 + 2. Il lui faut 3 clés.
6 chaque étape).
1 6. 2 × 3 × 100 = 600. Il possède 600 feuilles.
0
2
vre d. 4 6 8 10 12 7. 4 × 10 = 40. Il y a 40 gâteaux.
Li On eff ectue la division euclidienne de 40 par 3 :
e On écrit les multiples croissants de 2 (on additionne 2 à
ett chaque étape). 40 = 3 × 13 + 1.
h Chaque ami aura 13 gâteaux et Lucille mangera le gâteau
c
Ha restant.
©
Livre du professeur – Chapitre 1 Nombres entiers 5
Douche à l’italienne Activité 1
Intentions des auteurs
On pourra faire remarquer qu’il est possible d’utiliser la division
L’objectif de cette activité est de réinvestir la notion de division euclidienne (et regarder si le reste est nul) ou la division décimale
euclidienne, de multiples et de diviseurs. (et regarder si le quotient est entier) pour trouver les diviseurs.
Les prérequis nécessaires sont la connaissance des tables de C’est également l’occasion de revoir la notion de multiple.
multiplication, la notion de multiples, de diviseurs, de division
Diviseurs de 144 :
euclidienne.
1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 18 – 24 – 36 – 48 – 72 – 144.
La capacité introduite est de remobiliser ses connaissances
Diviseurs de 120 :
pour trouver les diviseurs d’un nombre entier et de savoir
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 8 – 10 – 12 – 15 – 20 – 24 – 30 – 40 – 60 – 120.
utiliser la division euclidienne.
Les diviseurs communs sont :
On pourra conseiller aux élèves de faire un schéma pour
1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24.
visualiser la situation.
Les dimensions des côtés des carrés peuvent être de : 1 cm, 2 cm,
Cette activité peut être cherchée en groupes ou en classe
3 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm, 12 cm ou 24 cm.
entière ; elle permet de réinvestir les connaissances du cycle 3
en donnant du sens grâce à un problème concret. 3. a. 144 ÷ 3 = 48 et 120 ÷ 3 = 40.
Il lui faudra 48 carrés dans la longueur et 40 dans la largeur, soit
1. 144 n’est pas un multiple de 5, car il ne se termine pas par 5. 48 × 40 = 1 920 carreaux.
Il ne peut donc pas mettre des carrés de 5 cm de côté. On eff ectue la division euclidienne de 1 920 par 500 :
1 920 = 500 × 3 + 420.
2.
C’est ici l’occasion de rappeler le vocabulaire suivant : dividende,
Il faut chercher les nombres entiers qui divisent à la fois 144 et
diviseur, quotient et reste, ainsi que la touche « division
120, c’est-à-dire les diviseurs communs à 144 et 120.
euclidienne » de la calculatrice :
Il est possible d’utiliser la calculatrice et de faire remarquer que
Pour la Casio fx-92 Pour la TI collège
les diviseurs se trouvent par paires, sauf si le nombre est un carré
parfait, auquel cas il aura un nombre impair de diviseurs. Il devra donc acheter 4 lots.
b. Il achète donc 500 × 4 × 2 000 carreaux.
2 000 − 1 920 = 80. Il lui restera 80 carreaux non utilisés.
Le jeu de juniper Green Activité 2
Intentions des auteurs peut cocher ce qu’il veut. Il a donc intérêt à cocher un nombre qui
n’est divisible que par 1 (déjà coché) et lui-même (déjà coché lors
L’objectif de cette activité est de réinvestir la notion de de ce choix) : il est alors sûr de gagner.
multiples et de diviseurs. Par exemple, s’il choisit 11, le premier joueur ne peut plus rien
Les prérequis nécessaires sont la connaissance des tables de cocher et le deuxième joueur a forcément gagné.
multiplication, la notion de multiples, de diviseurs.
2. Exemple de partie :
La capacité introduite est de remobiliser ses connaissances
Joueur 1 : 10 Joueur 2 : 2
pour trouver les diviseurs et les multiples d’un nombre entier.
élit. Cette activité peut également servir de première approche JJoouueeuurr 11 :: 41 JJoouueeuurr 22 :: 81 2
d vers les nombres premiers.
un Cette activité est intéressante à chercher en binôme, Joueur 1 : 3 Joueur 2 : 15
st notamment pour tester le jeu proposé à la question 2. Joueur 1 : 5 Joueur 2 : ne peut plus jouer.
e
e C’est le joueur 1 qui a gagné.
é
s
ori 1. Le premier joueur coche le 14. Le deuxième joueur peut eff ectivement 3. Pour être sûr de gagner, le joueur 1 doit choisir un nombre
ut cocher le 7 puisque 7 est un diviseur de 14. uniquement divisible par 1 et lui-même, supérieur à 10.
a
n
no On pourra faire remarquer que le deuxième joueur aurait aussi On pourra alors faire remarquer que ces nombres particuliers
pie pu cocher 1, qui est diviseur de tous les nombres. s’appellent des nombres premiers.
o
c
oto Le premier joueur doit alors cocher soit un multiple de 7, mais il Le joueur suivant ne peut alors que cocher 1 et en choisissant de
ph n’y en a plus, soit un diviseur de 7 et il n’y a que 1, il n’a donc pas le nouveau un autre nombre uniquement divisible par 1 et lui-même,
La choix. supérieur à 10 (par exemple 11 ; 13 ; 17 ou 19), le joueur 2 ne peut
ur – Tous les nombres étant des multiples de 1, le deuxième joueur ptrloups rgierann cdo),c lhee jro (u1e éutra 1n te dsté ajàlo crosc shûér edte n g’aaygannetr p. as de multiples car
e
s
s
e
prof Le compte est bon Activité 3
u
d
vre Intentions des auteurs • Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Li • Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiff res est
– L’objectif de cette activité est de retravailler les critères de
eo 5 divisibilité. • d Uinv insiobmleb praer e 9s.t divisible par 10 s’il se termine par 0.
g Les prérequis nécessaires sont les tables de multiplication.
di
n La capacité introduite est de remobiliser ses connaissances sur 2. • 120 se termine par 0 donc il est divisible par 5. Le nombre formé
on I les critères de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 et 10. par les deux derniers chiff res de 120 est 20 qui est divisible par 4.
Missi Cgreottuep ea,c staivnitsé l ap ceaultc uêlatrteri cceh derec hfaéçeo ne nà ucltailsisseer elenst icèrriet èoreus dene La somme des chiff res de 120 est 1 + 2 + 0 = 3 qui est divisible par
– 3, donc 120 est divisible par 3.
6 divisibilité.
1 Donc 120 = 5 × 4 × 3 × ♥.
0
e 2 1. • U n nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiff re pair 5 × 4 × 3 = 60 et 120 = 60 × 2.
Livr (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8). Donc 120 = 5 × 4 × 3 × 2.
hette • U dinv isniobmle bpraer 3e.st divisible par 3 si la somme de ses chiff res est • L1a0 5so emstm deiv diseibs lceh piffa rre 5s cdaer 1il0 s5e etsetr m1 +in 0e +p a5r = 5 .6 qui est divisible par
c
Ha • Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux 3, donc 105 est divisible par 3.
© derniers chiff res est divisible par 4. Donc 105 = 5 × 3 × ♥.
6 NOMBRES ET CALCULS
105 n’est divisible ni par 2, ni par 4 (il n’est pas pair), ni par 6, ni Donc 270 = 2 × 5 × 9 × ♥.
par 8 (puisqu’il n’est pas divisible par 2) et il n’est pas divisible par 2 × 5 × 9 = 90 et 90 × 3 = 270.
9 (car la somme de ses chiff res, 6, n’est pas divisible par 9). Donc 270 = 2 × 5 × 9 × 3.
5 × 3 = 15 et 15 × 7 = 105. • 280 est divisible par 2 (car il est pair) et 5 (car il se termine par 0).
Donc 105 = 5 × 3 × 7. 280 = 2 × 5 × ♥.
• 270 est divisible par 2 (car il est pair) et par 0 (car il se termine 2 × 5 = 10 et 10 × 28 = 280.
par 0). La somme des chiff res de 270 est 2 + 7 + 0 = 9 qui est Or 28 = 7 × 4.
divisible par 9, donc 270 est divisible par 9. Donc 280 = 2 × 5 × 7 × 4.
Le crible d’Erastothène Activité 4
Intentions des auteurs 4.
L’objectif de cette activité est de découvrir le crible 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d’Eratosthène et d’obtenir les nombres premiers inférieurs à
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
100.
Les prérequis nécessaires sont la connaissance des tables de 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
multiplication, la notion de multiples.
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
La capacité introduite est de reconnaitre les nombres premiers.
Cette activité peut être cherchée en classe entière ou en 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
groupes, la phase de restitution finale se faisant en classe
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
entière, pour définir ce qu’est un nombre premier.
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
1.
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
délit. 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
n 2.
u
est 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
e 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
é
s 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ori
ut 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n
o 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
e n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
pi 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
o 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
c
oto 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
h
La p 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ur – 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
se 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
es 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
of 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
pr 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
u
e d 3. 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
vr
Li 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
–
eo 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5. Les vingt-cinq nombres entourés : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ;
g
di 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 et 97
n
n I n’admettent que 2 diviseurs : 1 et eux-mêmes.
o 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
si
s
Mi 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 • On les appelle des nombres premiers.
6 – 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 • On pourra faire remarquer que 1 n’est pas un nombre premier
1
0 car il n’a qu’un seul diviseur 1 et que 2 est le seul nombre premier
2
e 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 pair, les autres nombres pairs admettant forcément au moins 3
e Livr 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 diviseurs : 1 ; 2 et eux-mêmes.
hett 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 • Oonn ppeouutr rsa’a frariêrtee rre emt ainrqduiqeur e qr ua’uà xp éarlètivre dse q 5u0’e (nla 3me,o oitnié t droeu 1v0e0ra),
c
Ha 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 un test d’arrêt plus rapide.
©
Livre du professeur – Chapitre 1 Nombres entiers 7
SSSSSaaaaavvvvvoooooiiiiirrrrr-----fffffaaaaaiiiiirrrrreeeee EEEExxxxeeeerrrrcccciiiicccceeeessss
2 597 13 Déterminer les diviseurs d’un nombre entier
– 52 45 16 1. Vrai. 56 = 8 × 7.
77 2. Faux. On ne peut pas diviser par 0.
– 65 3. Vrai. 20 = 5 × 4.
4. Faux. Un multiple de 9 doit être supérieur ou égal à 9.
12
5. Vrai. 48 = 24 × 2.
6. Faux. 26 n’est pas dans la table de 4.
597 = 13 × 45 + 12.
17 1. 25 est à la fois un multiple et un diviseur de 25.
Le quotient est 45 et le reste est 12.
2. 0 est un multiple de tous les nombres.
3. 1 est un diviseur de tous les nombres.
3 5 897 22 4. 1 et 7 sont les diviseurs de 7.
– 44 268 5. 0 est le plus petit multiple commun de 2 et 9.
149 18 si on cherche est le plus petit multiple commun non
– 132 nul de 2 et 9.
177
18 On note q le quotient et r le reste.
– 176
a. Dans la division euclidienne de 23 par 7, on a q = 7et r = 2.
1 b. Dans la division euclidienne de 41 par 6, on a q = 6 et r = 5.
c. Dans la division euclidienne de 30 par 5, on a q = 6 et r = 0.
5 897 = 22 × 268 + 1. d. Dans la division euclidienne de 52 par 9, on a q = 5 et r = 7.
Le quotient est 268 et le reste est 1. 19 1. 0 est un multiple de 1. 0 = 0 × 1.
2. 80 est un multiple et un diviseur de 80. 80 = 1 × 80.
3. 9 est un diviseur de 72. 72 = 9 × 8.
5
4. 42 est un multiple de 14. 42 =3 × 14.
5. 1 est un diviseur de 17. 17 = 1 × 17.
6. 13 est un diviseur de 39. 39 = 13 × 3.
1 578 = 564 × 2 + 450. 7. 24 est un multiple de 3. 24 = 8 × 3.
8. 45 est un multiple de 5. 45 = 5 × 9.
Le quotient est 2 et le reste est 450.
20 1. Multiples de 6 entre 19 et 32 : 24 et 30.
2. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
8 1. Diviseurs de 14 :1 – 2 – 7 – 14.
Diviseurs de 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. Multiples de 6 : 0 – 6 – 12 – 18 – 24. Diviseurs de 54 : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Diviseurs de 196 : 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196.
délit. 9 345 15 21 On cherche des multiples de 46.
un – 30 23
e est 45 Oenn npee upta rptraoncté pdaesr fpoarrc étâmtoennnt edme 4en6.ts (ou essais successifs)
é
s – 45
ori 46 × 10 = 460 non, c’est trop grand.
ut 0
a 46 × 9 = 414 non, trop grand aussi.
n
o 46 × 8 = 368 non, toujours trop grand.
n On peut en conclure que 15 et 23 sont des multiples de 345 (ou
e 46 × 6 = 276.
pi que 345 est divisible par 15 et 23), car le reste est nul.
o 276 est le plus grand multiple de 46 inférieur à 300.
c
o
hot 12 est divisible 22 Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
p 2 3 5 9 Il y en a donc 12. Maximilien a tort.
a par
L
eur – 165 non oui oui non 23 1 . LLee nnoommbbrree 49 aa t3r odiisv disievuisresu : r1s –: 1 3 – – 2 9 –. 4.
ess 639 non oui non oui Le nombre 25 a trois diviseurs : 1 – 5 – 25.
prof 250 oui non oui non 2. Le nombre 8 a 4 diviseurs : 1 – 2 – 4 – 8.
u Le nombre 27 a 4 diviseurs : 1 – 3 – 9 – 27.
d 6 732 oui oui non oui
e Le nombre 6 a 4 diviseurs : 1 – 2 – 3 – 6.
vr
– Li 24 1. Le plus petit nombre divisible par 2,3 et 5 est le plus petit
e5 15 1. 209 est premier car il n’est divisible par aucun des nombres multiple commun de 2, de 3 et de 5 :
go premiers inférieurs à la moitié de 209, c’est-à-dire par : 2 ; 3 ; 2 × 3 × 5 = 30.
ndi 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; C’est 30.
n I 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 ; 101 et 103.
sio On peut aussi dresser la liste des multiples de 2, de 3 et de
Mis 2. 97 est premier car il n’est divisible par aucun des nombres 5 et chercher le plus petit multiple commun aux trois listes.
– premiers inférieurs à la moitié de 97, c’est-à-dire par : 2 ; 3 ;
16 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 et 47. 2. Le plus petit nombre divisible par 4 et 10 est le plus petit
0
2 multiple commun à 10 et 4 :
e 3. 6 921 est divisible par 3 car la somme de ses chiff res, 18, est
vr 10 = 2 × 5 et 4 = 2 × 2 donc 2 × 2 × 4 =20 ; 20 est le plus petit
e Li divisible par 3 ; donc 6 921 n’est pas premier. nombre divisible par 4 et 10.
ett
ch On pourra alors faire remarquer que ces nombres On peut là aussi dresser la liste des multiples de 10 et
Ha particuliers s’appellent des nombres premiers. s’arrêter au premier multiple de 4.
©
8 NOMBRES ET CALCULS
25 • Les diviseurs de 24 sont : b. 321 = 17 × 18 + 15.
1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24. • C’est bien une division euclidienne, on peut la traduire par :
• Les diviseurs de 42 sont : 321 est le dividende, 17 le diviseur, 18 le quotient et
1 – 2 – 3 – 6 – 7 – 14 – 21 – 42. 15 le reste. On a bien 15 < 17.
• Les diviseurs communs à 25 et 42 sont donc : • On peut aussi la traduire par :
1 – 2 – 3 et 6. 321 est le dividende, 18 le diviseur, 17 le quotient et
15 le reste. On a bien 15 < 18.
26 1. Les dix plus petits multiples de 10 (excepté 0) sont :
c. 203 = 6 × 31 + 17 est une division euclidienne : 203 est le
10 – 20 – 30 – 40 – 50 – 60 – 70 – 80 – 90 – 100.
dividende, 31 le diviseur, 6 le quotient et 17 le reste. On a
2. Les dix plus petits multiples de 12 (excepté 0) sont :
bien 17 < 31.
12 – 24 – 36 – 48 – 60 – 72 – 84 – 96 – 108 – 120.
3. Le plus petit multiple commun non nul (PPCM) à 10 et 12 est Attention, il n’y a pas d’autre possibilité car 17 > 6 (6 ne peut
60. pas être le diviseur et 31 le quotient).
On le note PPCM(10 ; 12) = 60.
Utiliser des critères de divisibilité
27 1. Les diviseurs de 24 sont : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24.
Les diviseurs de 60 sont :
33 1. Vrai. C’est un nombre pair.
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 10 – 12 – 15 – 20 – 30 – 60.
2. Faux. 14 n’est pas dans la table de 4.
2. Le plus grand diviseur commun (PGCD) de 24 de et 60 est 12.
3. Vrai. Le chiff re des unités de 25 est 5.
On le note PGCD(24 ; 60) = 12. 4. Vrai. Le chiff re des unités de 50 est 0.
5. Faux. La somme des chiff res de 29 est 2 + 9 = 11 qui n’est pas
un multiple de 9.
28 La division euclidienne de 60 par 8 donne un quotient 7 et un
6. Vrai. La somme des chiff res de 180, 1 + 8 + 0 = 9 est un
reste 4.
multiple de 9.
On peut donc écrire : 60 = 8 × 7 + 4.
C’est Bastien qui a raison. 34 1. Vrai. La somme des chiff res de 75 est 7 + 5 = 12 qui est un
multiple de 3.
Simbad a faux car il a écrit un reste supérieur au diviseur.
2. Vrai. Le chiff re des unités de 800 est 0.
Sandra a eff ectué une division décimale et non euclidienne.
3. Vrai. La somme des chiff res de 96 est 9 + 6 = 15 ; 15 est un
Céline a donné une valeur approchée du quotient dans la
multiple de 3.
division décimale.
4. Vrai. 84 = 4 × 21.
5. Faux. Le nombre formé par ses deux derniers chiff res est
29 On a 150 = 144 + 6. dans la table de 4.
Or 144 = 24 × 6. 6. Vrai. C’est un nombre pair.
donc 150 = 24 × 6 + 6. 7. Vrai. Il ne se termine pas par 0.
La division euclidienne de 150 par 24 donne q = 6 et r = 6. 8. Faux. La somme des chiff res de 579 est :
5 + 7 + 9 = 21 ; 21 n’est pas un multiple de 9.
Si on décompose 150 = 120 + 30, le reste est trop grand et
9. Vrai. La somme des chiff res de 9 855 est :
24 × 7 = 168 est supérieur à 150.
9 + 8 + 5 + 5 = 27 ; 27 est un multiple de 9.
n délit. 30 1. L2a 7d8ivisio8n euclidienne de 278 par 8 : 35 epsatr divisible 2 3 4 5 9 10
u
est 38 34 360 Oui Oui Oui Oui Oui Oui
ée 6 456 Oui Oui Oui Non Non Non
s
autori qO n= p3e4u ett dr o=n 6c. écrire : 278 = 8 × 34 + 6. 282 Oui Oui Non Non Non Non
n 46 221 Non Oui Non Non Non Non
o 2. La division euclidienne de 1 245 par 9 :
n
e 33 525 Non Oui Non Oui Oui Non
pi 1245 9
co 6 288 Oui Oui Oui Non Non Non
oto 34 138
ph 75 36 1. 5 900, 1 548, 452 et 584 sont des multiples de 2. Ils sont tous
a 3
L pairs.
–
ur q = 138 et r = 3. 2. 1 548 et 123 sont des multiples de 3.
e On peut écrire : 1 245 = 9 × 138 + 3. 1 + 5 + 4 + 8 = 18 est un multiple de 3.
s
s
e 1 + 2 + 3 = 6 est un multiple de 3.
of 31 1. On sait que dans la division euclidienne, on a :
u pr Dividende = diviseur × quotient + reste. 3. p5a 9r 050. et 485 sont des multiples. Ils se terminent par 0 ou
e d On remplace les valeurs que l’on connait.
vr On a donc : 37 1. 756 et 10 200 sont divisibles par 4 car 56 et 200 sont des
Li
– dividende = 9 × 4 + 7 = 43. multiples de 4.
e5 Le dividende est 43. 2. 756 et 207 sont divisibles par 9.
o
g 2. La division euclidienne de 337 par d donne q = 12 et r = 13. 7 + 5 + 6 = 18 est un multiple de 9 et 2 + 0 + 7 = 9 est divisible
di
n On peut donc écrire : par 9.
on I 337 = 12 × d + 13. 3. 10 200 est divisible par 10. Il se termine par 0.
ssi On sait que 337 − 13 = 324 et 324 ÷ 12 = 27, on peut donc en
Mi 38 • On cherche d’abord les nombres divisibles par 4 : 48, 27 900,
déduire que le diviseur est 27.
6 – On a bien 337 = 12 × 27 + 13. 63 672, 42 324 sont divisibles par 4 car 48, 00, 72 et 24 sont
01 des multiples de 4.
e 2 32 a. 4 433 = 45 × 98 + 23 • On cherche maintenant s’ils sont divisibles par 3 en calculant
Livr C’est bien une division euclidienne, on peut la traduire par : la somme de leurs chiff res.
hette • 4 re 4st3e3. Oesnt lae b diievnid 2e3n <d e4, 54.5 le diviseur, 98 le quotient et 23 le 34. + 8 = 12 ; 12 est dans la table de 3, donc 48 est divisible par
c
a • 4 433 est le dividende, 98 est le diviseur, 45 le quotient et 2 + 7 + 9 = 18 ; 18 est dans la table de 3, donc 279 est divisible
H
© 23 le reste. On a bien 23 < 98. par 3.
Livre du professeur – Chapitre 1 Nombres entiers 9