Mathematisches Vorsemester: Texte. Ausgabe 1974 / Autorenkollektiv der ehemaligen Projektgruppe Fernstudium Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik

434 Pages·1974·18.294 MB·German

by  G. Richter (auth.)

Mathematisches
Vorsemester
Texte
Ausgabe 1974
Autorenkollektiv der ehemaligen
Projektgruppe Fernstudium
Universität Bielefeld
Fakultät für Mathematik
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ISBN 978-3-662-30476-1 ISBN 978-3-662-30475-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-30475-4
Softcover reprint ofthe hardcover 1st edition 1974
I halt
Das Konzept
Mengen
. Relationen
Abbildungen
Das Umkehrproblem
Schaltwerke
Schaltalgebra - Boolesche Algebra
Mathematische Methoden
Aussagenlogik - Boolesche Algebra
Äquivalenzrelationen
Zertegungen
Der Anzahlbegriff
Die natürtichen Zahlen
Die ganzen Zahlen
Die rationalen Zahlen
Rückblick und Ausblick
Mathematisches
Vorsemester
Texte
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DAS K 0 N Z E P T
Aufgaben und Ziele
In den letzten Jahren wurde immer deutlicher. daß im Fach Mathematik der über
gang zwischen Schule und Universität mit besonderen Schwierigkeiten verbun
den ist. Verantwortlich für diese Schwierigkeiten ist in erster Linie der un
terschiedliche met h 0 dis c h e Ans atz in Schule und Universi
tät.
In der Schule betreibt man Mathematik unterstützt durch eine vorhandene und
im Mathematikunterricht geschulte Ans c hau u n g (Geometrie. Kurven
diskussionen. Vektoren, Trigonometrie usw.).
Bei höher entwickelten mathematischen Theorien, wie sie schon während der er
sten Semester auf der Universität gelehrt werden. sind Begründungen und Be
weise ausgehend von Grundannahmen (Axiome) oder schon bewiesenen Sätzen mit
Hilfe streng k 0 d i f i z i e r t erB ewe i s ver f a h ren zu
führen.
Eine wichtige Voraussetzung für die Arbeit des Mathematikers ist es daher.
die T h e 0 r i e zu fixieren. in der er gerade arbeitet, das heißt. Grund
annahmen • von denen er ausgeht. anzugeben. Di e Aussage, di eser oder jener
mathematische Satz sei wahr oder falsch. ist nicht sinnvoll. ohne die mathe
matische Theorie zu nennen. in der dieser Satz seinen Platz einnimmt.
Demgegenüber ist in der Schulmathematik nur selten von Theorien die Rede. in
die sich ein bestimmter mathematischer Sachverhalt einordnet. Gründe las
sen sich leicht angeben; es sind im wesentlichen zwei Theorien, auf denen die
Schulmathematik basiert: "Zahlen" und "Raum". Man verfugt in diesen Berei
chen über die Anschauung, die gewisse Sachverhalte als zutreffend erkennen
läßt und bestimmte Schlüsse als richtig einzusehen hilft. Die Notwendigkeit.
Axiome und zulässige Schlußweisen zu fixieren. scheint daher nicht gegeben.
Soweit die Universitäten in ihren Anfängervorlesungen aus der Schule bekannte
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Gebiete wiederholen, beschränken sie sich darauf, sie unter den oben ange
führten Gesichtspunkten zu behandeln, ohne jedesmal die Gründe für den Wech
sel des methodischen Ansatzes transparent zu machen.
Häufig gewinnt der Student so den Eindruck, daß von ihm "unsinnige" Dinge
verlangt werden.
Er soll Sachverhalte beweisen, die er (auf Grund seiner Anschauung) für
völlig klar hält (und deren Richtigkeit während seiner 13jährigen Schul
zeit nie angezweifelt wurde).
Er soll Beweise, die er in der Schule (mit Hilfe der Anschauung) geführt
hat (Evidenzbetrachtungen). als Pseudobeweise erkennen.
Neben so 1c hen "Wi ederho 1u ngen" in versch i edenen Gebieten werden inden An
fangssemestern neue Inhalte angeboten. die oft weit von dem entfernt zu sein
scheinen. was man in der Schule unter Mathematik verstanden hat.
Aus systematischen Gründen wird in den ersten Semestern Stoff behandelt. der
sich später als unerläßliches "Handwerkszeug" bei der Behandlung komplizier
ter mathematischer Sachverhalte erweist. Da die Motive für dieses Vorgehen
dem Studenten nur selten mitgeliefert werden. kann er die Bedeutung dieser
Theorien nicht erfassen und ist leicht bereit. sie als "unnütze Spielerei"
abzutun. oder aber er findet Spaß an diesen "Spielereien" und verzichtet dar
auf, nach tieferliegenden Motiven zu fragen.
Zusammenfassend könnte man sagen, daß der Student auf der einen Seite von der
.Schule nicht auf die Art. wie man in der Universität Mathematik betreibt,
vorbereitet ist. die Universität sich auf der anderen Seite nicht die Mühe
macht. ihn von der Schule "abzuholen". das heißt, ihn in das neue Methoden
bewußtsein einzuführen und das Stoffangebot der ersten Semester ausreichend
zu motivieren. Ergebnisse dieses Bruches zwischen Schule und Universität
sind - außer einem ganz erheblichen Abschreckungseffekt vor dem Mathematik
studium - hohe Studienabbrecherzahlen. sowie eine beträchtliche Studienzeit
verlängerung. da sich die Auswirkungen der Anfangsschwierigkeiten bis in hohe
Semester bemerkbar machen.
Diese Tatsachen gewinnen angesichts des großen Bedarfs an Mathematikern in
allen Bereichen der heutigen Industriegesellschaft und vor allem angesichts
des großen Mangels an Mathematiklehrern immer mehr an Gew1cht. Wichtiger noch
erscheinen uns die für den Studenten persönlichen Folgen dieser Situation.
die oft Enttäuschungen und Entmutigungen mit sich bringen.
Seit einigen Jahren werden auf vielen Ebenen Anstrengungen unternommen. diese
Schwierigkeiten an der Nahtstelle zwischen Schule und Hochschule abzubauen
(kleine Obungsgruppen. einführende Vorlesungen. Arbeitsgemeinschaften in den
Schulen). In diesem Zusammenhang sind Aktivitäten zu nennen. die dazu ge
führt haben. in Nordrhein-Westfalen sechs- bis achtwöchige "Vorkurse" ein
zurichten fur Abiturienten. die vorhaben. Mathematik zu studieren.
Leider erlaubt es das Ausmaß. das diese Vorkurse in NRW bereits angenommen
haben. auf die Dauer nicht. daß sich die Universitäten mit ihrer beschränkten
personellen Ausstattung auch weiterhin stark bei der inhaltlichen Vorberei
tung und Durchführung solcher Veranstaltungen engagieren.
Es ist daher notwendig. auf diesem Gebiet und selbstverständlich auch auf al
len anderen. wo sich ähnliche Schwierigkeiten herausgestellt haben. den Ein
satz neuer Medien (z.B. Textbücher. Lehrbriefe. Fernsehen. Rundfunk. Film)
zu erproben.
Das Kultusministerium von Nordrhein-Westfalen hat aus diesem Grund zu Beginn
des Jahres 1970 eine Gruppe von wissenschaftlichen Mitarbeitern der Fakultät
für Mathematik an der Universität Bielefeld mit der "Erforschung didaktischer
Möglichkeiten von Fernstudiengängen im Medienverbund auf dem Gebiete der Ma
thematik" betraut. Diese Arbeitsgruppe hat in Zusammenarbeit mit dem West
deutschen Fernsehen einen Studiengang im Verbund der Medien F ern s e -
hen. schriftliches Begleitmaterial. Tu
tor i als mit dem Titel MATHEMATISCHES VORSEMESTER projektiert und
im Herbst 1970 ers.t~alig erfolgreich durchgefUhrt.
Ziel des MATHEMATISCHEN VORSEMESTERS ist in erster Linie, die Schwierigkei
ten, die sich beim übergang von der Schule zur Universität ergeben, soweit
wie möglich zu überwinden. Seine Absicht ist daher nicht so sehr, Stoff zu
vermitteln. sondern die Teilnehmer in die Lage zu versetzen, Methoden. Fra
gestellungen und Ergebnisse der Hochschulmathematik kennenzulernen und ihre
Bedeutung einzusehen.
An Hand einiger ausgewählter Problembereiche wird versucht:
Das typisch methodische Vorgehen der Mathematik zu verdeutlichen. insbe
sondere den Teilnehmern eine Einsicht zu vermitteln in die Prinzipien
der Exaktheit. die Struktur des Abstraktionsvorganges (Erkennen von Ge
meinsamkeiten. Denkökonomie. Verdeutlichung von Zusammenhängen) und die
Entwicklung von Mathematik.
Die Motive für einzelne Methoden sichtbar zu machen. z.B. die Notwendig
keit und ökonomie axiomatischen Vorgehens aufzudecken.
Die inner- sowie außermathematische Bedeutung des behandelten Stoffes zu
klären. z.B.:
Zusammenhänge zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik zu er
läutern.
Zusammenhänge zwischen Mathematik und ihren Anwendungen aufzuzeigen.
Insbesondere zu verdeutlichen, daß die Wahl einer bestimmten Theorie
sich nicht nur mit mathematischen Methoden begründen läßt.
Jeder. der sich entschließt. Mathematik zu studieren, sollte sich schon vor
Beginn seines Studiums darüber klar werden. daß Mathematik zielgerichtet zur
Bewältigung gesellschaftlicher und individueller Aufgaben eingesetzt werden
kann. Nur dadurch kann er während seines Studiums seine eigene Motivation.
Probleme. die ihm gestellt werden. und Ergebnisse seiner und anderer Arbei
ten in ihrer ganzen Tragweite erfassen und beurteilen.
Teil nehmer am MATHEMATISCHEN VORSEMESTER sollen so besser abschätzen kön
nen. was es heißt. Mathematik zu studieren. um eine begründete Entscheidung
für oder gegen die Wahl des Faches Mathematik schon vor Beginn des Studiums
zu treffen.
Das MATHEMATISCHE VORSEMESTER bietet eine sinnvolle Vorbereitung des Stu
diums und erleichtert dessen Beginn.
Der Kurs beschränkt sich aber nicht darauf. vorhandene Schwierigkeiten zu ak
zeptieren und zu überwinden. Es ist weiterhin seine Aufgabe, Schule und Uni
versität zu didaktischen und inhaltlichen Veränderungen anzuregen, um die
Kluft zwischen beiden Institutionen zu schließen.
Medienverbund
Nach diesen allgemeinen Erörterungen über Aufgaben und Ziele des MATHEMATI
SCHEN VORSEMESTERS gehen wir nun auf die Funktionen und das Zusammenwirken
der Medien (Fernsehen, schriftliches Begleitmaterial, Tutorials)
~inzelnen
ein.
Fernsehen: Infolge der zeitlichen Begrenzung der Sendungen (16 1/2 Std.)
x
und der dem Fernsehen eigenen flüchtigen Darbietungsart kann dieses Medium
nicht die Hauptlast tragen.
Seine Aufgabe ist es:
Problembewußtsein zu wecken, das heißt, Motive für die Behandlung der ein
zelnen Stoffgebiete aufzudecken.
Problemstellungen zu verdeutlichen und Lösungswege zu skizzieren. Hier bie
tet das Fernsehen die Möglichkeit, schwierige Sachverhalte durch Graphiken
und besonders Trickfilme wirksamer als ein Textbuch zu veranschaulichen.
In didaktischer und fachlicher Hinsicht schwierige Punkte herauszugreifen
und im Gespräch zu klären.
Abschließend über die behandelten Themen zu reflektieren, um Probleme,
Stellenwert und Nützlichkeit des behandelten Stoffes aufzuzeigen.
In den Sendungen am Samstag werden einzelne Probleme und Fragestellungen
vertieft und Ausblicke gegeben.
Schriftliches Begleitmaterial: Das Rückgrat des MATHEMATISCHEN VORSEMESTERS
bildet das schriftliche Begleitmaterial. Es umfaßt den gesamten Inhalt, bie
tet ihn schon vor der Sendung an und hält ihn während des ganzen Kurses prä
sent. Das macht es überflüssig, während der Sendung mitzuschreiben.
Um den Verbund zwischen den einzelnen Medien möglichst eng zu gestalten, ist