Mathematisches Vorsemester: Ausgabe 1976

417 Pages·1976·33.736 MB·German

by  Günther Richter (auth.), Günther Richter (eds.)

Mathemat-sches
Vorseme
Ausgabe 1976
Bearbeitet und herausgegeoen von
Gunther Richter
Universitat Bielefeld
Fakultat fOr Mathematik
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York 1976
Oiese Ausgabe stutzt 'sich auf die yom Autorenkollektiv der ehemaligen
. Projektgruppe Fernstudium
Universitat Bielefeld, Fakultat fur Mathematik
erarbeiteten Texte der Mathematischen Vorsemester 1970 bis 1974
ISBN-13: 978-3-540-07893-7 e-ISBN-13: 978-3-642-96368-1
001: 10.1007/978-3-642-96368-1
Library of Congress Cataloging in Publication Data. Richter, GOnther, 1944-. Mathematisches
Vorsemester. •D iese Ausgabe stOtzt sich auf die yom Autorenkollektiv der ehemaligen
Projektgruppe Femstudium, Universitat Bielefeld, Fakultat fOr Mathematik erarbeiteten Texte
der Mathematischen Vorsemester 1970 bis 1974." Bibliography: p. Includes index. 1. Mathematics
-1961-. I. Bielefeld. Universitat. Fakultat fUr Mathematik. Projektgruppe Femstudium.
Mathematisches Vorsemester 1970 bis 1974. II. Title. QA39.2.R534. 1976. 512'.1. 76-26176.
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mit dem Verlag zu vereinbaren ist.
© by Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1975, 1976
Beltz Offsetdruck . Hemsbach/Bergstr.
Inhalt
0
Vorwort Einleitung
1
Mengen und Aussagen
2
Relationen und Abbildungen
=====::::::::::::==:::::::
3
Schaltwerke
4
Schaltalgebra
5
Boolesche Aigebren
~==============6~ ~~
Isomorphie
7
Mathematische Methoden
8
Nati..irliche Zahlen
9
Volistandige Induktion
10
Zahlbereichserweiterungen ::::::=::::::::========::::::
11
Ruckblick und Ausblick Literatur
Vorwort
Als das MATHEMATISCHE VORSEMESTER im Herbst 1970 erstmals yom Westdeutschen
Rundfunk, dem Kultusministerium des Landes Nordrhein-Westfalen und der Uni
versitat Bielefeld veranstaltet wurde, war es auch ein GroBexperiment fUr
das geplante Fer n stu d i um im Medienverbund. Experimentiert wurde
einerseits mit vollig neuartigen Vermittlungsformen fUr das Fach Mathematik
durch Einbeziehung der Medien Fernsehen, Texte und Tutorials, andererseits
sollte auch die Kooperation zwischen Rundfunkanstalten, Ministerien und
Hochschulen modellhaft erprobt werden.
Damals hoff ten alle Beteiligten, durch die gemeinsame Entwicklung des Fern
studiums im Medienverbund eine 0 f f nun 9 der Hochschulen fUr breitere
Bevolkerungsschichten zu erreichen und - unter Ausnutzung der durch den Me
dienverbund gegebenen didaktischen Moglichkeiten - eine grundlegende
Ref 0 r mauch der Studieninhalte einzuleiten. Heute, nach einem halben
Jahrzehnt, scheint es an der Zeit, Bilanz zu ziehen:
Von Kooperation kann kaum noch die Rede sein. Beim Ringen um EinfluB im ter
tiaren Bildungssektor haben sich die Partner von einst in schwer auflosbare
Gegenpositionen manovriert. Den Rundfunkanstalten sind durch die Rechtsauf
sicht des Staates die Hande gebunden, den Hochschulen fehlt es an den not
wendigen Mitteln und an Personal, aber auch an Einigkeit untereinander. Die
staatliche Seite schlieBlich ist von sich aus initiativ geworden. Das Land
Nordrhein-Westfalen hat eine Fernuniversitat errichtet, deren GrUndungskon
zept aber weder ei ne Offnung der Hochschulen, nochei nen Beitrag zur Stu
dienreform vorsieht.1) Daneben gibt es ein von allen Bundeslandern geschlos
senes Verwaltungsabkonmen mit dem Ziel, in einigen ausgewahlten Fachern die
Entwicklung von Fernstudienmaterialien voranzutreiben. Beide Initiativen
erfolgten ohne eine institutionelle Beteiligung der Rundfunkanstalten und
Hochschulen.
Diese politische Entwicklung, hat glUcklicherweise nicht verhindert, da/3 das
MATHEt4ATISCHE VORSEMESTER bis heute ca. 15.000 Studienanfangern, Abiturien-
ten und sonstigen Interessenten in Nordrhein-Westfalen Start- und Entschei
dungshilfen fUr bzw. Informationen Uber ein Studium der Mathematik (Haupt
oder Nebenfach) an Hochschulen gegeben hat. DaB dies im Interesse der Be
troffenen weiterhin mOglich sein wird, ist vor allem dem Kultusministerium
des Landes Nordrhein-Westfalen, der Universitat Bielefeld, die hierfUr die
materiel len Voraussetzungen geschaffen haben, und dem Springer-Verlag zu
verdanken.
Dagegen ist ein Versuch zur grundlegenden Revision und Ausweitung des Mathe
matischen Vorsemesters' auf Bundesebene in den Anfiingen stecken geblieben.
Das ist mit ein Grund darur, daB die in jahrelangem Einsatz gewonnenen Er
fahrungen, Anregungen und Untersuchungsergebnisse erst jetzt in dem nun
vorliegenden Text verarbeitet werden konnten. Die sich aus der inzwischen
veranderten Situation an den Oberstufen der ~mnasien ergebenden Konsequen
zen wurden dabei ebenfalls berUcksichtigt.
Vorl iegende Erfahrungen undUntersuchungsergebni sse Uber den Ei nsatz des
Mediums "Fernsehen" kiSnnen in ZusaJllllenarbeit mit dem WDR solange nicht in
eine Neuproduktion der Fernsehanteile des MATHEMATISCHEN VORSEMESTERS ein
gebracht werden, wie die oben geschilderte politische Situation anhalt. 1m
merhin sind diese Erfahrungen und Ergebnisse in der Zwischenzeit in weiteren
Projekten auch fUr ein Direktstudium im Medienverbund nutzbar gemacht und
erweitert worden.
Fur Hilfe und UnterstUtzung bei der Erstellung des vorliegenden Manuskriptes
bin ich Mitgliedern der ehemaligen Projektgruppe Fernstudium der Fakultat
rur Mathematik an der Universitat Bielefeld, insbesondere Frau Claudia
R 0 h de, zu Dank verpflichtet. Mein besonderer Dank gilt aul3erdem den
Damen Ingeborg B U c h n e r und Almut Wei /3 , die in oft mUhevoller
Arbeit die Reinschrift besorgten.
Der Herausgeber
l)Durch die Arbeit des GrUndungsausschusses ist in der Zwischenzeit jedoch
sichergestellt, daB zur SalllDlung von Erfahrungen 20% der Kapazitat der
F~rnuni versi tat fUr Kursstudenten ohne Hochschul zugangsberechti gung reser
vlert werden sol len. Au/3erdem sollen gemaB dem Gesamthochschulkonzept be
rufsfeldorientierte und integrierte Studiengange sowie Kontaktstudiengange
entwickelt werden. Ein Schwerpunkt wird neben der Fernstudiendidaktik im
Bereich der wissenschaftlichen Weiterbildung liegen.
Einleitung
Ziel des MATHEMATISCHEN VORSEMESTERS ist die Uberwindung der
Ubergangsschwierigkeiten von der Schule zur Hochschule im
(Haupt- oder Neben-)Fach Mathematik. Urn dies zu erreichen, muB
man zunachst die Ursachen ftir solche Sch.wierigkeiten aufdecken
und analysieren:
Die naheliegendste Vermutung ist wohl, daB man in der Schule
zu wenig lernt und die Hochschule zu viel Vorwissen verlangt.
Gegen diese These spricht zunachst, daB die Schwierigkeiten
von Studienanfangern erfahrungsgemaB ziemlich unabhangig von
Art, Inhalt und Umfang des jeweils absolvierten Schulunter
richts im Fach Mathematik sind.
Vor allem aber spricht dagegen, daB Lehrveranstaltungen ftir
Erstsemester in der Regel nicht an irgendeinen Schulstoff an
kntipfen, urn ihn weiterzuentwickeln und zu vertiefen. Vielmehr
werden aile benetigten Hilfsmittel innerhalb dieser Veranstal
tungen entwickelt bzw. bereitgestellt. Eine traditionelle An
fangervorlesung tiber Analysis oder Infinitesimalrechnung be
ginnt zurn Beispiel mit der Festlegung einiger Grundregeln tiber
den Umgang mit reellen Zahlen, ohne auf Schulwissen zurtickzu
greifen. Alles weitere wird darauf aufgebaut. Erst in jtingster
Zeit hat es sich eingebtirgert, eine gewisse Vertrautheit mit
den Grundbegriffen der Mengenlehre stillschweigend vorauszu-
setzen.
Obwohl Schulkenntnisse die Aneignung von Studieninhalten er
leichtern kennen, muB doch festgestellt werden, daB mangelndes
Faktenwiss'en nicht zu den Hauptursachen der Anfangerschwierig-
keiten gehort.
Liegt es dann vielleicht an der Art und Weise, wie Mathematik
an der Schule und an der Hochschule betrieben wird? 1st Schul
mathematik weniger modern? Die urn sich greifenden Versuche,
den Mathematikunterricht zu modernisieren, d.h. meistens, ihn
mit Mengenlehre und Aussagenlogik "anzureichern", mogen darauf
hindeuten. Man spricht nicht mehr von "Folgerungen", sondern
von "Implikationen". Und statt Gleichungen oder Gleichungssy
sterne zu "losen", bestimmt man eben ihre "Losungsmengen". Oft
hat die alte Schulmathematik nur ein neues Mantelchen bekom
men. In den Klassen redet man jetzt so ahnlich wie in den Hor
salen und Seminarraurnen. Und manchmal finden auch bisher der
Hochschulsphare vorbehaltene Theorien Eingang in die Lehrpla
ne (Boolesche Algebren, Gruppentheorie etc.).
Werden diese Modernisierungsversuche die Anfangerschwierigkei
ten beheben? Hat es wirklich nur daran gelegen, daB sich Schu
le und Hochschule unterschiedlich ausdrilckten, oder mit ande
ren Gegenstanden beschaftigten? Solche Barrieren erscheinen
doch eigentlich ilberwindbar. Jedenfalls konnen sie allein die
in den vergangenen Jahren oft erschreckend hohen Studienabbre
cherquoten nicht verursacht haben.
Aber es ist auch nicht die Aufgabe der Schule, den wenigen zu
klinrtigen Mathematikern den Studienbeginn zu erleichtern, denn
ihre Ausbildung hat ganz andere Zielsetzungen als die der
Hochschule. Daraus resultieren gravierende prinzipielle Unter
schiede in der Vorgehensweise. Die Schule konzentriert sich in
erster Linie darauf, vorhandene mathematische Theorien oder
Problemlosungen v 0 r z u s tel 1 e n und e i n z u -
il ben. So wird beispielsweise die allgemeine LOsang einer
quadratischen Gleichung vom Lehrer oder im Schulbuch hergelei
tet. Die Hauptarbeit der Schiller besteht jedoch darin, dieses
Losungsrezept in mehr oder minder eingekleideten Aufgaben an
zuwenden. Ebenso werden gewisse Differentiationsregeln (Pro-
duktregel, Quotientenregel, Kettenregel} einmal bewiesen, um
dann moglichst haufig angewendet zu werden. Ahnliches gilt fUr
Integrationstechniken, Kurvendiskussionen oder auch in mehr
elementaren Bereichen, wie der Zinseszinsrechnung und der An
wendung von Kongruenz-, Sinus- oder Kosinussatzen usw.
DemgegenUber ist ein Hauptziel des Mathematikstudiums die Fa
higkeit, immer wieder neue, moglichst allgemeine Problemlosun
gen herzuleiten. Ihre Anwendung auf konkrete, inner- oder
auBermathematische Sachverhalte wird weitgehend vernachlassigt.
Schon von Anfang an muB der Student B ewe i s e nicht nur
nachvollziehen oder reproduzieren konnen, sondern, ausgehend
von gewissen Grundannahmen, A x i 0 men , oder schon bewie
senen Sat zen, mit Hilfe streng k 0 d i f i z i e r -
t e r B ewe i s v e r f a h r e n selbstandig fUhren.
Dabei kommt es gerade im ersten Semester nicht selten vor, daB
er Sachverhalte beweisen solI, die ihm nach 1)-jahriger Schul
praxis schon in Fleisch und Blut Ubergegangen sind (z.B.
)e4 = 4e)!). Plausible GrUnde fUr derartige "Wiederholungen"
werden nur selten angegeben.
Meistens bleibt es den Studenten selbst Uberlassen, solche
Diskrepanzen in der Vorgehensweise von Schule und Hochschule
zu erkennen und zu Uberwinden. Kaum ein Hochschullehrer ist in
der Lage, dabei in geeigneter Weise zu helfen. Manche Hoch
schullehrer beschranken sich darauf, moglichst viele elegante
Beweise moglichst schnell und reibungslos vorzutragen, in der
Hoffnung, daB die "begabten" Studenten dies eines Tages nach
ahmen konnen.
Wesentlich hilfreicher mogen da schon die sogenannten Ubungs
oder Tutorengruppen (Tutorials) sein, in denen man zusammen
mit einem alteren Studenten individuelle Probleme in einem
kleineren Kreis besprechen kann. Aber kann man dies wirklich?
Ist ein Studienanfanger ohne weiteres in der Lage, seine Ver
standnisschwierigkeiten in einer Gruppe von zunachst vollig
Fremden zu artikulieren? Ist nicht die Angst, sich zu blamie
ren, groBer als das BedUrfnis nach Hilfe? Wird der Vbungsgrup
penleiter oder Tutor, der zumeist noch EinfluB auf die Vergabe
eines Vbungsscheines hat, und insofern die Rolle des Lehrers
Ubernimmt, nicht einen schlecht en Eindruck bekommen?
Jedenfalls ist es nicht erstaunlich, wenn ein Studienanfanger
aufgrund von Schulerfahrungen so reagiert. SchlieBlich ging es
in der Schule in erster Linie darum, Leistungen zu erbringen
und im Kampf um Zehntelpunkte fUr einen numerus-clausus-Uber
windenden Notendurchschnitt Erfolge einzuheimsen. Vber MiBer
folge und Schwierigkeiten hat man besser nicht geredet. Not
falls wurde apgeschrieben.
Urn es kurz zu sagen:
Die Schule hat ihre Absolventen weder arb e its m e -
tho dis c h noch g r u p pen d y n ami s c h auf
ein Studium vorbereitet.
Damit ist der Katalog der moglichen Ursachen fUr Anfanger
schwierigkeiten aber noch keineswegs vollstandig. Bisher ha
ben wir nur nach objektiven Diskrepanzen zwischen den betei
ligten Institutionen Schule und Hochschule gefahndet. Die
"subjektiven" Mot i v e und E r war tun g e n der
Student en wurden noch nicht berUcksichtigt.
Sehen wir einmal von der verstandlichen Erwartung einer "Fort
setzung der Schulmathematik mit anderen Mitteln" ab, die wir
ja schon in verschiedenen Punkten problematisiert haben, dann
verbindet doch jeder mit der Wahl seines Studienfachs ein Be
rufsziel und will fUr seine zukUnftige B e r u f s p r a -
xis ausgebildet werden. Niemand wird besonders motiviert
sein, Studieninhalte zu akzeptieren bzw. sich anzueignen, die
in keinem erkennbaren Zusammenhang mit dem "subjektiven" Aus
bildungsziel stehen.
Nun ist aber das traditionelle Mathematikstudium ganz auf den
F 0 ~ s c hun g s bet r i e b der reinen Mathematik aus
gerichtet. Dies ist eine Folge der historischen Entwicklung
der Mathematik, die obwohl durch sehr praktische, auf die Um
welt bezogene Fragestellungen beeinfluBt, sich verselbstan
digt und ihr Eigeninteresse entdeckt und verfolgt hat. Diese
Los los u n g von der Realitat ermoglicht es der Mathema
tik, die Sonderrolle zu spielen, die sich etwa in den Pradika
ten "einzig exakte, objektive Wissenschaft" niederschHi.gt. Die
ursprlinglichen aus real en Problemen erwachsenen Motive worden
auBerdem durch asthetisierende ersetzt (schopferische Tatig
keit, Schonheit des Gebaudes, tiefliegende Symmetrien u.a.).
Deshalb werden an den Universitaten auch nicht in erster Linie
Industriemathematiker und Lehrer ausgebildet. Den Vorrang hat
vielmehr der eigene wissenschaftliche Nachwochs. Industriema
thematiker lind Lehrer sind eher "Abfallprodukte" solcher Stu
diengange:
"Wem beim wissenschaftlichen Streben nach reiner Wahrheit in
der dlinnen Luft der Abstraktion der Abstraktionen der Atem
ausgeht, wird zurlick in die rauhe Welt der Praxis versetzt.
Flir diese Praxis aber ist er nun keineswegs gerlistet" [21].
Die Widersprliche zwischen den Interessen der Lehrenden und
Lernenden manifestieren sich bereits zu Beginn des Studiums.
Da die Lernenden kaum in der Lage sind, ihre Vorstellungen zu
prazisieren, geschweige denn durchzusetzen, kommt es notwendi
gerweise zu einer Anpassung an die Normen der Lehrenden. Der
Anspruch von Wissenschaft als Mittel zur Emanzipation des Men
schell. gerat in Gefahr, in das Gegenteil verkehrt zu werden.
Wer diesen A n pas sun g s pro z e s s nicht mitmachen
will, kann sich mit denjenigen solidarisieren, die das Studium
mit dem Ziel der Ausbildung flir die Berufspraxis ref 0 r -
m i ere n wollen oder aber resignieren und damit das Heer
der "unbegabten" Studienabbrecher vergroBern.
Diese Tendenz wird noch durch p s y chi s c h e Probleme