Mathematisches Denken: Vom Vergnügen am Umgang mit Zahlen

702 Pages·1998·15.33 MB·German

by  T. W. Körner (auth.)

T. W. Körner
Mathematisches
Denken
Vom Vergnügen am Umgang
mit Zahlen
Aus dem Englischen von Michael Basler
Springer Basel AG
Die englische Originalausgabe erschien 1996 unter dem Titel "The Pleasures of Counting"
bei Cambridge University Press, Cambridge.
© 1996 Cambridge University Press
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Körner, Thomas William:
Mathematisches Denken: Vom Vergnügen am Umgang mit Zahlen I
T. W. Körner. Aus dem Engl. von Michael Basler.
Einheitssacht.: The pleasures of counting <dt.>
ISBN 978-3-0348-5002-5 ISBN 978-3-0348-5001-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5001-8
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© 1998 Springer Basel AG
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag 1998
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1998
Umschlaggestaltung: WSP Design, Heidelberg
Gedruckt auf säurefreiem Papier, hergestellt aus chlorfrei gebleichtem Zellstoff. oo
ISBN 978-3-0348-5002-5
987654321
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 11
Der Nutzen von Abstraktionen 15
1 Die herzlose Statistik 17
1.1 Snow und die Cholera . 17
1.2 Ein Opferstein der Pedanterie . 32
2 Am Vorabend einer Schlacht 41
2.1 Der erste große U-Boot-Krieg 41
2.2 Die Konvois kommen . . 47
2.3 Der zweite U-Boot-Krieg 57
3 Blackett 65
3.1 Blackett bei Jütland ............. . 65
3.2 Tizard und das Radar ............ . 74
3.3 Die kürzeste Wellenlänge gewinnt den Krieg. 82
3.4 Der Blackett-Zirkus ............. . 91
4 Flugzeug kontra U-Boot 99
4.1 Fünfundzwanzig Sekunden 99
4.2 Wir wollen es einmal mit dem Rechenschieber versuchen . . 114
4.3 Der Flächensatz . . . . . . . . . . 123
4.4 Was können wir hieraus lernen? . 135
4.5 Einige Probleme. . . . . . . . . . 143
6
Was heißt messen? 149
5 Gedanken-Biologie 151
5.1 Galilei über fallende Körper . 151
5.2 Durch Dick und Dünn . . 156
6 Gedanken-Physik 171
6.1 Der Pyramidenzoll . 171
6.2 Aus einer anderen Zeit . 186
7 Raffiniert ist der Herrgott 201
7.1 Galilei und Einstein . . . 201
7.2 Die Lorentz-Transformation . 207
7.3 Wie ging es weiter? . . . . . . 217
7.4 Dreht sich die Erde oder nicht? . 224
8 Quäker und Mathematiker 231
8.1 Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Richardsons verzögerter Grenzübergang . 238
8.3 Gibt es eine Windgeschwindigkeit? . . 253
8.4 Die413-Ftegel ........... . . 266
9 Richardson über den Krieg 277
9.1 Aufrüstung und Unsicherheit . 277
9.2 Statistik tödlicher Streitfalle . 283
9.3 Richardson über die Grenzen . . 296
9.4 Warum sieht ein Baum wie ein Baum aus? . . 303
Vergnügen am Rechnen 319
10 Einige klassische Algorithmen 321
10.1 Das Doppelfünf-System . . . 321
10.2 Die gute alte Zeit ..... . 329
10.3 Der Euklidische Algorithmus . . 335
10.4 Wie zählt man Kaninchen? . 345
11 Einige moderne Algorithmen 357
11.1 Das Eisenbahnproblem . 357
11.2 Das Braess-Paradoxon . . 370
7
11.3 Wie findet man die größte Zahl? . 378
11.4 Wie rasch können wir sortieren? . 387
11.5 Ein Brief von Lord Chesterfield . 400
12 Einige tieferliegende Fragen 409
12.1 Wie sicher ist sicher? . . . . . . . . . 409
12.2 Die Probleme mit dem Unendlichen . 419
12.3 Das Turing-Theorem . . . . . . . . . 425
Variationen zum Thema ,,Enigma" 433
13 Die Enigma 435
13.1 Einfache Codes . 435
13.2 Einfache Enigmas . . 451
13.3 Die Stecktafel . 459
14 Die Polen 473
14.1 Die Stecktafel verwischt nicht alle Fingerabdrücke . 473
14.2 Schöne polnische Weibchen . 479
14.3 Staffelübergabe . . . . . . . . 491
15 Bletchley 499
15.1 Die Turing-Bomben . . 499
15.2 Die Bomben bei der Arbeit . 510
15.3 SHARK . . . . . . . . . . . 517
16 Nachklänge 529
16.1 Schwierige Probleme . 529
16.2 Das Shannon-Theorem . 539
Vergnügen am Denken 557
17 Zeit und Zufall 559
17.1 Warum heißen wir nicht alle Schmidt? . 559
17.2 Wachstum und Zerfall . . . . . . . . . . 571
17.3 Arten und Spekulationen . . . . . . . . 584
17.4 Über Mikroorganismen und Menschen . . 598
8
18 Zwei Mathematikvorlesungen 609
18.1 Eine griechische Mathematikvorlesung . . 609
18.2 Eine Mathematikvorlesung der Neuzeit I . . 618
18.3 Eine Mathematikvorlesung der Neuzeit II . 624
18.4 Eine Mathematikvorlesung der Neuzeit III . . 632
18.5 Eine Mathematikvorlesung der Neuzeit IV . . 639
18.6 Epilog ................... . . 645
19 Schlußgedanken 653
19.1 Eine Mathematikerlautbahn . . 653
19.2 Vom Vergnügen am Umgang mit Zahlen . . 658
Anhang 661
Zum Weiterlesen 663
1 Einige interessante Bücher . . . . . . . . . . 663
2 Einige schwierige, aber interessante Bücher . 674
Einige Bezeichnungen 683
Literaturverzeichnis 687
Stichwortverzeichnis 707
Aber nicht bloss unsere Arrnuth documentirt eine solche Art zu urtheilen, sondern zu
gleich ein kleinliche, engherzige und träge Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn
jeder Kraftäusserung ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht verheelen, dass man
eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr verbreitet findet, und es ist wohl völlig ge
wiss, dass gerade diese Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen Sie mich recht, ich
spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn für die Wissenschaften an sich, sondern
von der Quelle, woraus derselbe fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil
zu fragen, und alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus reinem Enthusiasmus
für eine Sache an sich.
Gauß (zit. in [30], S. 137)
Am Ende waren wir uns einig, über all das Gute, was wir gemeinsam hatten. Über den
Vorteil, sich messen zu können und beim Sichmessen von niemandem abhängig zu sein, sich
im eigenen Werk wiederzuerkennen. Über die Freude, das eigene Geschöpf wachsen zu se
hen, Platte um Platte, Bolzen um Bolzen, solide, notwendig, symmetrisch und zweckmäßig;
und wenn es fertig ist, schaust du es dir an und denkst, es wird dich vielleicht überleben,
vielleicht jemandem, den du nicht kennst und der dich nicht kennt, von Nutzen sein. Du
kannst es dir, wenn du willst, im Alter wieder besehen, und es kommt dir schön vor; es ist
dann gar nicht so wichtig, ob es nur dir allein schön vorkommt, und du kannst dir sagen: Ein
anderer hätte das womöglich nicht zustande gekriegt.
Primo Levi ([159], S. 60)
Auf der Titelseite meiner Gesammelten Werke möge stehen: Hier könnt ihr anhand
unzähliger Beispiele erkennen, worin der Zweck der Mathematik als Urteil der Naturwissen
schaften besteht und wie man, ganz nach dem weisen Grundsatz des Plato, unmöglich richtig
philosophieren kann, ohne sich der Führung der Geometrie zu bedienen.
Galileo [221]
Mathematiker sind Leute, die ihr Leben einem in meinen Augen wunderschönen Spiel
verschrieben haben.
Constance Reid [3]
Vorwort
Dieses Buch wendet sich zuallererst an intelligente Schüler ab 14 Jahren
sowie an Studienanfänger, die sich für Mathematik interessieren und etwas
mehr als die Anfangsgründe dieser Wissenschaft kennenlernen möchten. Es
gibt inzwischen mehrere Bücher, die eine ähnliche Zielstellung verfolgen.
Besonders gern erinnere ich mich an das Werk Vom Einmaleins zum Integral
von Colerus, das ich in meiner Kindheit las. Es beginnt mit der folgenden
entschiedenen Feststellung:
Die Mathematik ist eine Mausefalle. Wer einmal in dieser Falle
gefangen sitzt, findet selten den Ausgang, der zurück in seinen
vormathematischen Seelenzustand leitet. ([49], S.7)
Einige dieser Bücher sind im Anhang zusammengestellt und kommen
tiert. Tatsächlich ist das Unternehmen aber so lohnenswert und die Anzahl
der schon vorhandenen Bücher doch so begrenzt, daß ich mich nicht scheue,
ihnen ein weiteres hinzuzufügen.
An zahlreichen amerikanischen Universitäten gibt es Vorlesungen, die
gemeinhin oder auch offiziell als ,,Mathematik für Schöngeister'' firmieren.
Dieser Kategorie ist das vorliegende Buch nicht zuzuordnen. Statt dessen
soll es sich um eine ,,Mathematik für Mathematiker'' handeln, für Mathema
tiker freilich, die noch sehr wenig von der Mathematik verstehen. Weshalb
aber sollte nicht der eine oder andere von ihnen eines Tages den Autor dieses
Buches durch seine Vorlesungen in Staunen versetzen?1
Ich hoffe, daß auch meine Mathematikerkollegen Freude an dem Werk
haben werden, und ich würde mir wünschen, daß auch andere Leser, bei
denen die Wertschätzung für die Mathematik stärker als die Furcht vor ihr
ist, Gefallen an ihm finden mögen. Beide Leserkreise werden bestimmte
Dinge klugerweise auslassen. Mathematiker werden einer Erläuterung des
Cantarsehen Diagonalverfahrens ebensowenig bedürfen wie des Hinweises,
daß Kolmogorov ein bedeutender Mathematiker war. Andere Leser werden
um manche abschreckende Algebra einen Bogen machen. Meine Kollegen
sind selbst in der Lage zu entscheiden, ob sie das Buch zur Hand nehmen
möchten oder nicht. Einem weiteren Leserkreis möchte ich jedoch zwei Ana
logien ans Herz legen.
1A ls Wiles noch ein bescheidener Doktorand in Cambridge war, hatte ich bereits die
schwindelerregenden Höhen einer Professur erklommen. Zwanzig Jahre später saß ich in
den hinteren Hörsaalreihen, als er seine Lösung des dreihundert Jahre alten Permatschen
Problems bekanntgab.