Mathematische Unterhaltungen und Spiele mit dem programmierbaren Taschenrechner (AOS)

214 Pages·1981·4.94 MB·German

by  Hans Heinrich Gloistehn (auth.)

H. H. Gloistehn
Mathematische Unterhaltungen
und Spiele mit
dem programmierbaren
Taschenrechner (AOS)
Hans Heinrich Gloistehn
Mathematische
Unterhaltungen und Spiele
mit dem programmierbaren
Taschenrechner (AOS)
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Gloistehn, Hans Heinrich:
Mathematische Unterhaltungen und Spiele mit
dem programmierbaren Taschenrechner (AOS)/
Hans Heinrich Gloistehn. - Braunschweig,
Wiesbaden: Vieweg, 1981.
1. Auflage 1981
Nachdruck 1982
Aile R echte vorbehal ten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1981
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auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
Umschlaggestaltung: Schiemann
ISBN-13: 978-3-528-04125-0 e-ISBN-13: 978-3-322-85935-8
001: 10.1007/978-3-322-85935-8
Hermann Athen
zum 70. Geburtstag
am 7. Mai 1981
gewidmet
VII
Vorwort
Vor etwa fUnf Jahren erschienen die ersten programmierbaren Taschenrechner
auf dem deutschen Markt. Sie waren hauptsachlich zur DurchfUhrung lang
wieriger numerischer Berechnungen gedacht. Aber schon bald zeigte sich der
Spieltrieb im Menschen. Mit den kleinen "Computern" konnte man allerlei
unnutze Mathematik und Spielereien treiben, die - jedenfalls auf den ersten
Blick - keinerlei Bedeutung im Sinne einer praktischen Anwendung besa~en.
Nur weil es Spa~ machte, spielten die Benutzer mitihren Rechnern.
Das vorliegende Buch gibt eine Auswahl mathematischer Spielereien, die sich
gut fUr einen programmierbaren Taschenrechner eignen. Es wendet sich nicht
an den Fachmann, sondern an den interessierten Laien, fUr den Mathematik
vor allen Dingen ein Hobby ist. Die Grundbegriffe des Programmierens werden
beim Leser vorausgesetzt. Wer auf diesem Gebiet noch Schwierigkeiten be
sitzen sollte, moge im TI-Handbuch oder in einem der im Literaturverzeichnis
aufgefUhrten LehrbUcher nachlesen. Wer sich aber bereits ausfUhrlich mit dem
Programmieren von Spielen beschaftigt hat, der wird in diesem Buch wenig
Neues und Interessantes finden. FUr ihn wurde dieses Buch nicht geschrieben.
FUr die LektUre des Buches sind keine gro~en mathematischen Vorkenntnisse
erforderlich. Lediglich im Abschnitt 4 wird einiges Schulwissen aus der soge
nannten "Hoheren Mathematik" vorausgesetzt. Die einzelnen Abschnitte sind
so abgefa~t, da~ sie jeweils fUr sich lesbar sind. Dadurch treten an einigen
Stellen unvermeidliche Wiederholungen auf. Ich habe mich aber bemUht, bei
gleichen Problemstellungen verschiedene Betrachtungsweisen und Programmier
techniken anzuweden. Mit den mathematischen Anmerkungen, die im Anschlu~
einiger Probleme gegeben werden, mochte ich die Neugier des Lesers auf
gewisse mathematische Gebiete wecken, die auch ohne programmierbaren
Taschenrechner ihren Reiz haben und mit denen es sich zu beschattigen lohnt.
1m Buch werden die drei in den letzten Jahren weitverbreiteten Taschen
rechner SR-5S, TI-57, TI-58 und TI-59 benutzt. Die Programme sind durch
weg fUr aile Gerate vollstandig angegeben. NatUrlich soli das Buch keine
Programmsammlung sein, aus der der Leser ohne vie I Verstandnis nur Pro
gramme in seinen Rechner eintastet, um dann hiermit spielen zu konnen.
Mir kam es hauptsachlich auf den Aufbau und die Entwicklung des Programms
an. Hier beginnen bereits die ersten mathematischen Unterhaltungen.
Und nun wUnsche ich allen Hobbymathematikern viel Spa~ beim Lesen der
nachsten Seiten und beim Spielen!
Hamburg, Dezember 1980 H. H. Gloistehn
VIII
Inhalt
Mathematische Zeichen und Abkiirzungen .................... VIII
1 Wiirfelspiele ..................................... .
1.1 Der Taschenrechner als Wiirfel ....................... 2
1.2 Ziel Zwanzig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
1.3 Die bose Null .................................. 12
1.4 Craps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
1.5 1st unser Wiirfeln mit dem Taschenrechner reell? ........... 28
2. Diophantische Probleme .............................. 33
2.1 Einige einfache Beispiele fiir diophantische Probleme ........ 35
2.2 Pythagoreische Zahlentripel ......................... 47
2.3 Probleme mit teilerfremden pythagoreischen Dreiecken ...... 53
3. Ratespiele ....................................... 63
3.1 Zahlenmemory ................................. 64
3.2 Die nachste Zahl bitte! ............................ 69
3.3 Hangman ..................................... 73
3.4 Mastermind oder Superhirn ......................... 86
4 Einige Probleme aus der numerischen Mathematik ............. 95
4.1 Der Terrier und die Rechteckkompanie ................. 96
4.2 Die fliigellahme Fliege und der Tropfen im Weinglas ......... 100
4.3 Der Terrier und die Kreiskompanie .................... 106
5 Einige Probleme mit Zufallszahlen ....................... 115
5.1 Zahlenlotto ................................... 116
5.2 Verschliisselung eines Textes oder Kryptologie ............ 122
5.3 Der Taschencomputer als Rechenlehrer ........... .' ..... 131
6 Zahlen-und Anordnungsspiele .......................... 139
6.1 Streichholzer wegnehmen .......................... 140
6.2 Das Nim-Spiel .................................. 146
6.3 Das Acht-Damen-Problem .......................... 155
IX
7 Der Taschenrechner als ,Simulant' ........................ 163
7.1 Noch einmal: Craps .............................. 164
7.2 Die Zahlrr .................................... 171
7.3 Die Zahl e .................................... 176
7.4 I rrweg eines Betrunkenen .......................... 183
7.5 Sockenproblem ................................. 191
7.6 Rosinenproblem ................................ 194
7.7 Weitere Probleme fur den Leser ...................... 201
Literaturverzeichnis ................................... 204
x
Mathematische Zeichen und Abkurzungen
IN Menge der natiirlichen Zahlen
INa Menge der natiirlichen Zahlen einschlieBlich 0
INk Menge der ersten k natiirlichen Zahlen
INo,k Menge der ersten k natiirlichen Zahlen einschlieBlich 0
2: Menge der ganzen Zahlen
en
Menge der rationalen Zahlen
IR Menge der reellen Zahlen
{ ... } Menge mit den E lementen ...
E ist Element von
$ ist nicht Element von
[a; b] abgeschlossenes Intervall: a;::; x;::; b und x E IR
< <
]a; b[ offenes Intervall: a x b und x E IR
a I b a teilt b oder a ist Teiler von b
alb a teilt b nicht oder a ist kein Teiler von b
1\ und
v oder
--, nicht Exc
,*
I, I 1 I
* steht fiir Priifixtaste '2nd z. B. Exc statt '2nd 'RCL
Datenspeicher (Datenregister) mit einer zuliissigen Adresse n,
z. B. n E INo,29 beim TI-58
(Rn) Inhalt des Datenspeichers Rn
T Austauschspeicher, Vergleichsspeicher, Testspeicher
(T) Inhalt des T-Speichers
AR Anzeigeregister, im Text auch: Sichtfenster des Rechners
(Rn)-AR Inhalt des Rn wird ins AR gebracht
(AR) ... Rn Inhalt des AR wird in Rn gebracht
(AR) - (Rn) Austausch der Inhalte des AR und Rn
Ergibt-Zeichen; gelesen: ,wird ersetzt durch' oder ,ergibt sich aus'
PSS Programmspeicherstelle
Drucke a Der Zahlenwert der Variablen a wird ausgedruckt
Drucke ... .' Der von den beiden ' eingeschlossene Text wird geschrieben
1 Wurfelspiele
1.1 Der Taschenrechner als Wurfel ..................... 2
1.2 Ziel Zwanzig .................................. 6
1.3 Die bose Null .................................. 12
1.4 Craps ........................................ 19
1.5 1st unser Wurfeln mit dem Taschenrechner reell? ....... 28
2 1 Wiirfelspiele
Viele Spiele werden mit einer durch Zufall bestimmten Zahl gespielt. So wird
z. B. bei einem Wurfelspiel eine Zahl aus der Menge IN6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ermittelt. Beim Lottospiel werden 6 (oder 7 mit der Zusatzzahl) verschiedene
Zahlen aus IN49 = {1, 2, 3 ... 48, 49} gezogen. Um solche Spiele mit dem
Taschenrechner spielen zu konnen, schreiben wir zunachst ein Programm, mit
dem wir Zufallszahlen erzeugen konnen. Danach geben wir eine Reihe von
Spiel en an, in denen dieses Wurfelprogramm benutzt wird.
1.1 Der Taschenrechner als Wurfel
Beim Wurfeln soli uns der Taschenrechner eine zufallige naturliche Zahl wE IN6
anzeigen, so wie uns der Wurfel eine nicht vorhersagbare Zahl 1 bis 6 angibt.
Um dieses zu erreichen, gehen wir folgendermaBen vor. Wir geben zunachst
< <
eine willkiirliche Dezimalzahl x aus dem Intervall von 0 bis 1, d.h. 0 x 1
oder x E ]0; 1[ , in den Rechner. Zum Beispiel indem wir nach dem Dezimal·
punkt beliebige Ziffern von 0 bis 9 eintasten, so wie sie uns gerade einfallen.
Wir geben moglichst so viele Nachkommastellen ein, wie der Rechner auf
nehmen kann (beim TI-57 sind es 7, beim SR-56 und TI-58/59 sind es 10 Zif
fern). Oder wir wahlen x=sin64,7°, x=e-1•81, x= INV Intv'859,
x = 1/(2 + 51n2) USW. Mit dieser Gluckszahl x (auch seed (Saat) genannt) be
rechnen wir nach einer passend gewahlten Vorschrift eine neue Zahl x E ]0; 1[ .
Wir wahlen hier
x:= INV Int (x' 997),
d. h. den Dezimalteil der reellen Zahl x . 997. Diese so berechnete Zahl x be
nutzen wir einmal als neue Gllickszahl beim nachsten Wurfeln, und zum ande
ren erzeugen wir daraus eine Wurfelzahl wE IN6 nach der Vorschrift
w : = Int (6 . x + 1) .
< < < <
Wegen 0 x 1 gilt 1 6' x + 1 7, und der ganzzahlige Anteil von
6 . x + 1 ist daher stets eine der naturlichen Zahlen von 1 bis 6.
Nach den obigen Erklarungen und mit x .... Ro schreiben wir das Programm 1.1 a
fur die in diesem Buch benutzten Rechner.