Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben PDF
Preview Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben
Joachim Hilgert Mathematische Strukturen Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben Mathematische Strukturen Joachim Hilgert Mathematische Strukturen Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben JoachimHilgert InstitutfürMathematik UniversitätPaderborn Paderborn,Deutschland ISBN978-3-662-48869-0 ISBN978-3-662-48870-6(eBook) DOI10.1007/978-3-662-48870-6 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie; detailliertebibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerSpektrum ©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2016 Das Werk einschließlichallerseinerTeileist urheberrechtlichgeschützt.Jede Verwertung, die nicht ausdrücklichvomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags. DasgiltinsbesonderefürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,Mikroverfilmungenund dieEinspeicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw.indiesemWerkbe- rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann benutztwerdendürften. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenin diesemWerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnoch dieAutorenoderdieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdes Werkes,etwaigeFehleroderÄußerungen. Planung:AndreasRüdinger GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier. Springer-VerlagGmbH BerlinHeidelbergistTeilder Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com) Vorwort DieMathematik als Wissenschafterfülltsowohlgewisse Kriterien füreineNatur- wissenschaftalsauchsolchefüreineGeisteswissenschaft.EinwesentlicherGrund für diese Zwitterstellung ist, dass sich nicht entscheiden lässt, ob der Gegenstand mathematischer Forschung naturgegeben oder menschengemacht ist. Ein oft ge- nommener begrifflicher Ausweg ist es, die Mathematik als eine Strukturwissen- schaftzubezeichnen.DabeigibtesinderMathematikgarkeineformaleDefinition dafür,waseineStrukturist.LegtmandieArbeitsdefinition„EineStrukturisteine Ansammlung von Objekten, zwischen denen Beziehungen bestehen, die gewis- sen Regeln unterliegen“ zugrunde, ist die Bezeichnung Strukturwissenschaft für die Mathematik aber auf jeden Fall sehr treffend gewählt. Beginnend mit einfa- chenZahlensystemenarbeitetdiemoderneMathematikmiteinerunüberschaubaren MengeunterschiedlichstersolcherStrukturen.Selbstfürsehreinfachzuformulie- rende Fragen, wie zum Beispiel die nach der Lösbarkeit gewisser Gleichungen, liefernerstdieseStrukturendenRahmen,innerhalbdessenmandieFragenbeant- wortenkann. DiemathematischenStrukturensindnichtallegleichberechtigt,esgibteinege- wisseHierarchieinderBedeutungsolcherStrukturen.ManchekannmanmitFug undRechtfundamentalnennen,währendanderealssehrspeziellbetrachtetwerden müssen.Wiederandereführen,zumindestgegenwärtig,einNischendasein. Im Mittelpunkt dieses Buches stehen diejenigen mathematischen Strukturen, die ich für fundamental halte und von denen ich glaube, dass jeder professionel- le Mathematiker sie kennen sollte. Die Strukturen werden im Kontext konkreter undbedeutsamermathematischerResultatevorgestellt,damitdieLesersichleich- terselbsteinBildvonderRelevanzdieserStrukturenmachenkönnen.DieAuswahl sowohlder Strukturenals auchder Resultateist natürlich beeinflusstvon meinem eigenen mathematischen Hintergrund. Ich bin aber überzeugt, dass sie eine gute Plattform ist, von der aus man tiefer in jedes Gebiet der Mathematik einsteigen kann, das gegenwärtig an deutschen Universitäten in Forschung und Lehre abge- decktist. V VI Vorwort Ich wende mich an Leser, die mit dem Schulstoff und dem Standardstoff des Mathematikstudiums der ersten drei Studiensemester vertraut sind. Konkret setze ichelementareKenntnisfolgenderKonzeptealsbekanntvoraus: (1) PrimzahlfaktorisierungnatürlicherZahlen (2) ReelleZahlen (3) VektorräumeundlineareAbbildungen (4) GruppenundihreHomomorphismen (5) TopologischeRäumeundstetigeAbbildungen (6) Differenzial-undIntegralrechnungineinerundmehrerenreellenVariablen (7) (cid:2)-AlgebrenundelementareMaß-oderWahrscheinlichkeitstheorie (8) Zorn’schesLemmaundAuswahlaxiom. Leserfreundliche Einführungen, die mit vielen zusätzlichen Erläuterungen bis zu diesem Punkt führen, sind die Bücher [HH12] für (1) und (2) sowie [Hi13] für (3)–(8). BesonderesAugenmerkgiltderMotivationderStrukturenundderErläuterung derBezügezwischenverschiedenenStrukturen.Eswirdbewusstaufeinegetrenn- te Behandlung der Gebiete Algebra, Geometrie und Analysis verzichtet, obwohl die Curricula der meisten Kurse im Kontext der Bachelorausbildung eine solche Trennung vorgeben. Die Gliederung des Stoffes orientiert sich nicht an den ma- thematischen Disziplinen, sondern an der Natur der beschriebenen Strukturen. So könnendieVerbindungenundParallelenzwischendengenanntenGebietendeutlich gemachtwerden. Demselben Zweck dienen die expliziteDiskussion von Beispie- len,diemehrereGebietebetreffen,unddieAusblickeaufspätereAnwendungen. DasZieldiesesBuchesistes,StudierendenderMathematikdieEinordnungder InhaltedesBachelorstudiumszuermöglichen.DieausführlicheDiskussionderBe- griffsbildungenunddieverschiedenartigenBeispielesollenAnspornsein,sichaktiv auchmitdenstrukturellenDefinitionenundArgumentenauseinanderzusetzen,die Studierenden oft Schwierigkeiten bereiten. Um die Querverbindungen zwischen unterschiedlichenInhaltentypischerBachelorprogrammebesserherausarbeitenzu können, stellen wir auch einige Konzepte vor, die oft erst im Masterstudium aus- führlichdargestelltwerden. AusdenAnfängervorlesungensindallenStudierendendreiTypenvonStruktu- renbekannt.DerersteTypusistdiealgebraischeStrukturwieKörper,Gruppenund Vektorräume,indereineMengemiteinerodermehrerenVerknüpfungenversehen ist,diebestimmtenRegelngehorchenmüssen.DerzweiteTypusistdieVergleichs- strukturwieOrdnungs-oderÄquivalenzrelationenaufeinervorgegebenenMenge, mithilfe derer man Elemente dieser Menge in Bezug auf relevante Eigenschaften miteinandervergleichenkann.DerdritteTypusistdieTeilmengenstruktur,wieTo- pologien oder (cid:2)-Algebren, in der für eine Menge eine Familie von Teilmengen ausgezeichnet wird, die auch wieder bestimmten Regeln gehorchen müssen. Die meistendergrundlegendenmathematischenStrukturenwerdendurchKombination solcherTypenvonStrukturengewonnen. Vorwort VII In diesem Buch befassen wir uns in Teil I mit exemplarischen algebraischen Strukturen.StartpunktderDarstellungsindgrundlegendeKonzeptenundKonstruk- tionenausder(multi)linearenAlgebraüberRingen.EswerdendabeidiverseAna- logien zwischen Definitionen und Konstruktionen offenbar, die ich zum Anlass nehme,BegriffsbildungenausderKategorientheoriezumsystematischenVergleich vonStruktureneinzuführen.InTeilIIwerdendieEinsichtenausTeilImitTeilmen- genstrukturen,insbesondere Topologien, kombiniert. Im Mittelpunkt stehen dabei lokaleStrukturen,dasheißtsolche,diemanvollständigdurchihreEigenschaftenin (kleinen)UmgebungenvonPunktenfestlegt.DermathematischeBegriff,derdiese schwammige Beschreibung präzisiert, ist der einer Garbe. Dieser Begriff wird zu AnfangvonTeilIIbesprochenundanetlichenBeispielenillustriert.Exemplarisch für lokale Strukturen folgen anschließend Einführungen in differenzierbare Man- nigfaltigkeitenundalgebraischeVarietäten.IndemkurzenTeilIIIgebenwireinen Ausblick auf Strukturen,die neben lokalen zusätzlich auch globaleKomponenten haben. DieGarbenliefernnichtnureinepraktischeBegriffsweltzurBeschreibungloka- lermathematischerStrukturen.SiesindaucheinmächtigesWerkzeugzursystema- tischenUntersuchungglobalerEigenschaftenvonlokalenundgemischtenStruktu- ren.IhrEinsatzerfordertallerdingszusätzlichetechnischeHilfsmittelausAlgebra undTopologie,derenBereitstellungdenRahmendiesesBuchesgesprengthätte. Ich möchteeiner Reihevon Personen für ihren Beiträgezur Entstehung dieses Buchesdanken.OhnedieGeduldunddieErmutigungvonAndreasRüdingergäbe es das Buch überhaupt nicht. Von Torsten Wedhorn habe ich über die Jahre viel überAlgebraundalgebraischeGeometriegelernt.ErhatmichauchindiesemText voreinigenpeinlichenFehlernbewahrt.PhilippSchüttehatgroßeTeiledesManu- skriptsKorrekturgelesen.BodoKalthoffhatmichindieLageversetzt,aufmeinem LaptopVektorgrafikenzuproduzieren.RegineZimmerschiedhatdasganzeManu- skriptingewohnterAkribielektoriertundSabineBartelshatdafürgesorgt,dassdie technischeProduktionreibungslosvonstattenging. November2015 JoachimHilgert Inhaltsverzeichnis TeilI AlgebraischeStrukturen 1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 ElementareDefinitionenundBeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 EtwasStrukturtheoriefürRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 SpezielleKlassenvonRingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Moduln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 StrukturtheorievonModuln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 AnwendungenauflineareAbbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 MultilineareAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Tensorprodukte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Tensoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 SymmetrischeundäußereAlgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Mustererkennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.1 UniverselleAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 NaiveKategorienlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3 KategorielleKonstruktionen:Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4 AdjungierteFunktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 TeilII LokaleStrukturen 5 Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1 PrägarbenundGarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 Étale-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.3 GeringteRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 Modulgarben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 IX X Inhaltsverzeichnis 6 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.1 KartenundParametrisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 6.2 TangentialräumeundAbleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.3 Tangential-undTensorbündel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.4 Differenzialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.5 IntegrationaufreellenMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.6 AnwendungenaufkomplexeDifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . 227 7 AlgebraischeVarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.1 AlgebraischeMengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.2 AlgebraischeVarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.3 Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 TeilIII Ausblick 8 Zusatzstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.1 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.2 Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8.3 Bündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.4 Gruppenobjekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Teil I Algebraische Strukturen WirbeginnendenTeilüberalgebraischeStrukturenmiteinemeinleitendenKapitel über Ringe. In Kap. 2 stellen wir dann modellhaft eine reichhaltige algebraische Struktur vor, den Modul über einem Ring. Wir beschreiben etliche Beispiele, be- weisen eine Reihe grundlegender Tatsachen über diese Struktur und auch einen prototypischenSatzübereinenSpezialfall,dieendlicherzeugtenModulnübereu- klidischenRingen.WirzeigenaberaucheinigenichttrivialeAnwendungen,insbe- sondereaufdieausderelementarenlinearenAlgebrabekanntenlinearenAbbildun- gen.Später werdenwirauchAnwendungenaufdieIntegrationvonFunktionenin mehrerenVariablensehen. InKap.3werdenexemplarischetlicheKonstruktionenimKontextvonModuln erklärt.AuchindiesemKapitelfolgtdieStoffauswahldenbeidenfolgendengrund- legenden Kriterien: der Relevanz in der mathematischen Praxis und der Modell- haftigkeit für allgemeine mathematische Vorgehensweisen. Meine Wahl ist dabei auf die multilineare Algebra gefallen, die in den gängigen Lehrplänen trotz ihrer OmnipräsenzinallenTeilenderMathematikrechtstiefmütterlichbehandeltwird. UmdenLeserndieModellhaftigkeitdervorgestelltenStrukturenundKonstruk- tionen zu verdeutlichen, führen wir in Kap. 4 Grundbegriffe der universellen Al- gebraundderKategorientheorieein.AnhandvonvielenBeispielenskizzierenwir, wie der Gebrauch insbesondere der kategoriellen Sprache algebraische Struktur- überlegungenvereinheitlicht. IndenletztenbeidenAbschnittenzeigenwirdannnoch,dassdieinKap.2und3 vorgestelltenKonstruktionenineinempräzisenSinnenatürlich,jasogaringewisser Weisezwangsläufigsind.
Description:The list of books you might like
