Mathematische Modelle und Verfahren der Unternehmensforschung für die Lösung ökonomischer Probleme PDF
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Schriftenreihe Datenverarbeitung Institut fur Datenverarbeitung Dresden Mathematische Modelle und Verfahren der Unternehmensforschung fur die Losung okonomischer Probleme Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH TiteI der Originalausgabe: Mathematische Modelle und Verfahren der Operationsforschung fUr die Lesung ekonomischer Probleme Autoren: Dipl. -Ing. oec. Dieter Angermann Dipl. -Math. Johannes Frotscher Dipl. -Ing. oec. Horst Facklam Ing. Hans-Hennry Herbig Dipl. -Math. Dr. rer. oec. Helmut Jiittler Dipl. -Math. Dr. rer. oec. Dieter Schreiter Dipl. -Math. Dietrich Schubert Dipl. -Math. Sigrid Schwetlick Dipl. -Math. Rainer Weber Dip1. -Math. Heinz Werner Dipl. -Wi. -Math. Gottfried Wildenhain Bearbeiter: Ing. Kurt Heidenreich Herausgeber: Institut fUr Datenverarbeitung Dresden Redaktionssch1uf3 Dezember 1966 ISBN 978-3-663-00779-1 ISBN 978-3-663-02692-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-02692-1 Ver1agsnummer 024608 Copyright by Springer Fachmedien Wiesbaden Urspriinglich erschienen bei Westdeutscher Verlag . K51n und Opladen. 1968 Softcover reprint ofthe hardcover lst edition 1968 Vom Verlag Die Wirtschaft genehmigte Lizenzausgabe Alle Rechte vorbehalten. Ohne ausdruckliche Genehmigung des Ver1ages ist es auch nicht gestattet, das Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokopie, Mikrokopie) zu vervielfliltigen. Druckhaus, 57 Miihlhausen (Thiir. ) Graphische Konzeption des Reihentite1s: Hanswerner K1ein, Op1aden Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen 7 Teill Ein Modell zur Berucksichtigung mEhrerer Zielfunktionen bei Auf gabenstellungen der mathematischen Optimierung 1. 1. Problemstellung ..................................•.• 13 1. 2. Aufbau des Modells und dessen Losung .•......•........ 16 1.3. Zur Interpretation des spieltheoretischen Modells •...... 25 1. 4. E,in Zahlenbeispiel ........................•.•.••..•.. 27 1.5. Schluf3bemerkungen .•...................•...........• 30 Teil 2 Verbesserung des Verfahrens von IDLDRETH und D' ESOPO sowie :les Verfahrens von FRANK und WOLFE zur Losung von Aufgaben der quadratischen Optimierung 2.1. Einleitende Bemerkungen ............................. 35 2.2. Problemstellung der quadratischen Optimierung . . . . . . . .. 36 2.2.1. Mathematische Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. 36 2.2.2. KUHN-TUCKER-Bedingungen .........•............... 38 2.3. Ein beschleunigtes iteratives Verfahren der quadra- tischen Optimierung .................•........•....... 41 2.3.1. Verfahren von HILDRETH und D' ESOPO ............... 41 2.3.2. Verbesserung des Verfahrens von IDLDRETH und D' ESOPO durch Konvergenzbeschleunigung ..........•.. 45 2.3.2.1. Konvergenzbeschleunigung durch Extrapolation. . . • . . . . .. 45 2.3.2.2. Fehlerabschatzung fur die Naherungslosungen .•.•....... 47 2.3.2.3. Einschatzung des Verfahrens mit Konvergenzbeschleu- nigung und Programmhinweise. . . . • . • • . . . . • . . . . . . . . . . .. 49 2.4. Verfahren von FRANK und WOLFE ...............•.... 51 2.4.1. Kurze Erklarung des Verfahrens . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . .. 51 2.4.2. Bestimmung einer zulassigen Basislosung nach SHETTY .. 53 2.4.3. Ablauf des Verfahrens bei Vorhandensein einer zulassigen Basislosung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. 55 2.4.4. Einschatzung des Verfahrens und Programmhinweise .... 57 2.5. Anwendung der quadratischen Optimierung . •. • . . . . • . • . .• 58 2.5.1. Allgemeines . . . • • . • . . • . . . . . . . • • . . . • • • . . . . • • . . . . . • • . .. 58 2.5.2. tiber eine Anwendung des Programms "FRANK, WOLFE 3" •.....•...•••..•.....•.•...••....•.•••••.. 59 2.6 Schlu13bemerkungen. . . . • • . • . • . . . . . . . . • . . • . . . . • . . . . . . .. 61 3 Teil 3 Anwendung der dynamischen Optimierung 3.1 Einleitende Bemerkungen ..............•.............• 65 3.2 Beschreibung mehrstufiger Entscheidungsprobleme •..... 66 3.3. Zur Theorie der dynamischen Optimierung .....•....... 68 3.3.1. Optimalitlitsprinzip von R. Bellmann .......' ...........• 68 3.3.2. Funktionalgleichung der dynamischen Optimierung ...... . 68 3.4. Rechengang und Rechenaufwand bei Anwendung der dynamischen Optimierung .......•.....•............... 69 3.5. Mogliche Varianten der Programmierung .............. . 72 3.6. Einschrlinkung des Rechenaufwands und der notwendigen Speicherkapazitlit ................................... . 76 3.7. Losung des Zuteilungsproblems fUr eine Ressource mit der dynamischen Optimierung ........................ . 78 3.7.1. Allgemeine Bemerkungen .•........•.......•.......•.. 78 3.7.2. Problembeschreibung •...........•...............•... 78 3.7.3. Dynamisches Modell .................•..........•.••. 79 3.7.4. Drei ALGOL-Programme .........................•... 81 3.7.4.1. Programm "Dynamic Programming 3" ......•....••.... 81 3.7.4.2. Programm "Dynamic Programming 4" ................ . 8'1' 3.7.4.3. Programm "Dynamic Programming 5" ......•.......... 91 3.7.5. Ein Spezialfall .•..•.........•.......•....•........... 91 3.8. Schlu13bemerkungen .•..••...•....•.•.•...•........ '.' . 93 Teil 4 Einige Arbeitsergebnisse der Untersuchung spezieller Bedienungs probleme mittels eines Simulationsmodells 4.1. EinleiteI1deBemerkungen ...•••............•..•...••.• 97 4.2. Problemstellung und Losungsweg •..•......••........•• 98 4.3. Bezeichnungen " .....•.......••..•......•....•.••..•. 100 4.4. Einschwingzustand und stationlirer Zustand ...•....••.•• 100 4. 5. Anzahl der Simulationen und rechentechnischen Bemerkungen • • • . . • . • . . . . . . . . • . . • . . . • . . . . . . . • . . • . • . .• 104 Teil 5 Zwei spezielle Zufallszahlengeneratoren 5.1 Einleitende Bemerkungen ...............•...........•• 111 5.2. Verfahren "Deterministische Mischung" ••........•••.•• 112 5.3. Verfahren "Stochastische Mischung" .....•............• 115 5.4. Zusammenstellung einiger Verfahren zur Erzeugung von Zufalls zahlen . . . . . . . . . . . • . . . • . . . . . . . • . . . • . • . . • . . . . . .• 118 4 Teil 6 Ein mathematisches Verfahren zur Auflasung von Stiicklisten - Berechnung totaler Stilckzahlen und totaler Durchlaufzeiten aus den Primiirunterlagen der Konstruktion und Technologie 6.1. Einleitende Bemerkungen ........................... " 123 6.2. Bezeichnungen .. " ..... " """ .......................... 127 6.3. Aufbau und Inhalt des Files "Direkte Stiicklisten" .•..... 128 6.4. Berechnung der tota1en mengenmiifligen Verflechtung . . .• 132 6.5. Berechnen der totalen Durchlaufzeiten. . . . . . .. . . . . . . . .• 143 6. 6. Aufbau und Inhalt des F"iles "Totale Stilcklisten" ........ 154 6.7. Zusammenfassung •.................................. 157 Teil 7 Ein heuristisches Simulationsverfahren filr die zeitliche Verteilung mittelfristiger Produktionsprogramme 7.1. Okonomische Aufgabenstellung .. " ........•.........•. 161 7.2. Beschreibung des Lasungsverfahrens ..... " . . . . . . . . . . .. 165 7.3. Rechentechnische Realisierung der Lasung. • . . . . . . . . . •. 176 Teil 8 Messung der 6konomischen Effektivitiit von Lenkungsregeln mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation 8.1. Einleitende Bemerkungen ." .... ".""." ......... "...... 18, 8.2. Das Wesen der Monte-Carlo-Simulation ............... 182 8.3. Beschreibung des Modells ..... "..................... 189 8.3.1. Fertigungsbedingungen •.............. " ............... 189 8.3.2. Lenkungsregeln .............•.....................•. 191 8.3.3. Kennziffern zur Bewertung des erzielten Ergebnisses . .. 196 8.4. Ablauf der Simulation ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. 197 8.5. Ergebnisse der Simulationsrechnungen . . . . . • . . . . . . . . .. 19£ 8.6. Schluflfolgerungen filr die praktische Anwendung und Weiterentwicklung des Modells . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . • .. 202 Teil 9 Optimale Flieflstraflenabstimmung nach einem kombinatorischen Verfahren auf einer Rechenanlage 9. 1. Problem der Flieflstraflenabstimmtmg . . . . . . . . . . . . . . . .. 207 9.2. Verfahren zur Flieflstraflenabstimmung ............. ". 215 9.3. Programm zur Flieflstraflenabstimmung filr Elektronen- rechner NE S03 .•..•........•...••................. 226 5 Teil 10 Methoden der Marktforschung 10. 1. Marktforschung in der Industrie und im Handel. . . . . . . .. 237 10.2. Ubersicht fiber mathematisch-statistische Methoden der Marktforschung ..................... ,'. . . . . . . . . .. 240 10.2.1. Trendrechnung •.................................... 240 10.2.2. Berechnung von ElastiziUitskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . .. 241 10.2.3. Anwendung der Matrizenrechnung und der Verflech- tungsbilanzierung ... . . • . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . •. 242 10.2.4. Bestimmung von Bedarfsfaktoren ..................... 242 10.2.5. Berechnung von Anteilkennziffern . . . • . . . . . . . . . . . . . . . .. 243 10.2.6. Berechnung der Saisonindizes .......................• 243 10.2.7. Exponential Smoothing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 10.2.8. Anwendung der Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 10.3. Schlu3bemerkungen ................................. 246 Bildverzeichnis .............................................. 248 Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 251 6 VORBEMERKUNGEN Methoden der Operationsforsohung sind heute notwendige Be standteile von Projekten der modernen elektronisohen Daten verarbeitung. Dies gilt vor allem tur Systeme der integrier ten Datenverarbeitung. Besondere Bedeutung fUr die Praxis haben bisher die Linearoptimierung, Netzplanverfahren, Si mulationsmethoden und die mathematisohe Statistik erlangt. Andere Verfahren, wie die nichtlineare, stoohastisohe und dynamisohe Optimierung sowie die Wartesohlangentheorie (Theorie der Massenbedienung) befinden sioh nooh im stadium der ersten praktisohen versuohsweisen Anwendungen bezie hungsweise der theoretisohen Entwioklung. Das Institut fUr Datenverarbeitung Dresden hat im GefUge der Einftihrung und Durohsetzung der elektronisohen Daten verarbeitung in der Wirtsohaft der Deutsohen Demokratiaohen Republik unter anderem die Aufgabe, auf dem Gebiet der Ope rationsforschung Forachungs- und Entwioklungaarbeit zu lei aten und den Nutzern elektronisoher Datenverarbeitungsanla gen Bibliotheksprogramme, Optimierungabauateine und metho dischea Material zu liefern. Vorliegender Sammelband umfaBt einen Teil der Ergebnisae der Arbeiten des Instituts tur Datenverarbeitung Dresden aus dem Jahre 1966; er stellt ei nen Versuch und eine dar, die intereasier- ~dgli~hke1t te ~ffentlichkeit zu informieren und die Vorbereitung des Einaatzes elektronisoher Datenverarbeitungsanlagen zu un terstUtzen. Die hier vorgelegte Sammlung enthalt zunachst einige Bei trage zu Problemen, die sich heute noch im Stadium der Por sohung, insbesondere der Aawendungsforaohung, befinden. Ge rade auf diesen Gebieten ist eine breite prakti m~gliohst sche Erprobung erforderlioh, um neue Methoden fUr Aawendun- 7 gen zu ersohlieBen. Die Mebrzahl der Arbeiten des Sammel bandes bezieht sioh jedooh auf solche Probleme, die bereits bei der Einsatzvorbereitung fUr den ROBOTRON 300 gelost werden konnen. Das von JUTTLER entwickelte Verfahren der Optimierung nach mehreren Zielfunktionen basiert auf der Spieltheorie. Es bietet eine Moglichkeit, dieses in der Praxis sehr h~ufig auftretende Problem zu losen, falls die verschiedenen Opti mierungsaufgaben als Problem der Linearoptimierung ge schrieben werden konnen. WERNER berichtet Uber einige Ver besserungen von Losungsalgorithmen der quadratischen Opti mierung. 1m Zusammenhang mit der quadratischen Optimierung mue erwBhnt werden, daB gegenwartig die Theorie der prakti schen Anwendung voraus ist. 1m Beitrag von WILDENHAIN wer den Probleme der Anwendung der dynamischen Optimierung, insbesondere Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand, behan delt, wobei die fUr den NE 503 entwickelten Programme auf ein Zuordnungsproblem angewendet werden. FROTSCHER unter sucht Aufgabenstellungen aus dem Maschinenbaubetrieb, die auf Warteschlangenprobleme (Bedienungsprobleme) zurUckge fUhrt werden kennen. Der Erzeugung von (Pseudo-)Zufallszah len, dre eine zentrale Stellung in Methoden der (Monte-Car lo-)Simulation einnimmt, wird von WEBER diskutiert. Die be kannten Generatoren, die Zufallszahlen auf deterministische Weise herstellen, werden unter Ausnutzung der Interrupts des Rechenautomaten zu einem "halb-physikalischen" Verfah ren weiterentwickelt. Die Auflesung von StUcklisten und die Bestimmung totaler StUckzahlen und totaler Durchlauf zeiten ist eine Aufgabe, die in fast jedem Betrieb der me tallverarbeitenden Industrie auftritt. SCHREITER berichtet Uber ein Verfahren zur Losung dieses Problems, wobei mathe matische tiberlegungen benutzt werden. Auch 1m Beitrag von SCHUBERT und SCffiVETLICK wird ein weiteres praxisreif ent wickeltes Verfahren beschrieben, dessen Problematik - Auf teilung mittelfristiger Produktionsprogramme - allgemein bei der Einsatzvorbereitung der elektronischen Datenverar beitung auftritt. Die Effektivitat der Einbeziehung heuri- 8 stisoher Lenkungsregeln in ain Bilanzierungssystem kann mit der Methode dar Monte-Carlo-Simulation gelest werden. Daduroh umgeht man kostenaufWendige und schwer durchfUhr bare Experimente im praktischen Betrieb. Uber Ergebnisse auf diesem Gebiet wird von FACKLAM berichtet. HERBIG erlau tert ein Programm zur naherungsweisen optimalen Abstimmung von FlieBstraBen. 1m letzten Beitrag geht ANGERMANN auf die Moglichkeiten ein, di~ die Operationsforsohung fUr die Marktforschung bietet. Fast alle der beschriebenen Verfahren und Programme kennen Bestandteile von Bausteinen der elektronischen Datenverar beitung werden. Die Autoren und der Herausgeber hoffen mit diesen Beitragen, das fUr den vorliegenden Sammelband gesteckte Ziel - Infor mation und UnterstUtzung der Einsatzkollektive - zu errei chen. Wie immer sind die Verfasser an Hinweisen und Anre gungen interessiert, urn den Forderungen der Volkswirtschaft auf ihrem Spezialgebiet - der Operationsforschune - in Zu kunft noch besser gerecht werden zu kennen. 9 Dipl.-Math. Dr. rer. oee. Helmut Juttler Teil1 Ein Modell zur Berucksichtigung mehrerer Ziel funktionen bei Aufgabenstellungen der mathematischen Optimierung
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