Mathematische Methoden in der Physik

867 Pages·2016·8.86 MB·German

by  Christian B. Lang

Christian B. Lang
Norbert Pucker
Mathematische
Methoden in der
Physik
3. Auflage
Mathematische Methoden in der Physik
(cid:2)
Christian B. Lang Norbert Pucker
Mathematische Methoden
in der Physik
3. Auflage
ChristianB.Lang NorbertPucker
InstitutfürPhysik InstitutfürPhysik
UniversitätGraz UniversitätGraz
Graz,Österreich Graz,Österreich
ISBN978-3-662-49312-0 ISBN978-3-662-49313-7(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-49313-7
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Vorwort
Die Spracheder Mathematik ist ein Teil der Spracheder Naturwissenschaft. Sie erlaubt
es, Sachverhalte so zu beschreiben, dass verschiedene Leute ohne Verständigungspro-
bleme über das Gleiche reden können. Ja, mehr noch, wir können Naturgesetze in ihr
formulierenundmitHilfeihrerRegelnneueAussagenableiten.DenNaturwissenschaft-
ler (oder die Naturwissenschaftlerin, wir bitten um Nachsicht, dass wir solche Begriffe
künftiggeschlechtsneutralverstehenwollen;nicht,umdieKolleginnenoderKollegenzu
missachten, sondern einfach der kürzeren Formulierungen zuliebe) als Anwender faszi-
niert dieEleganzund Leichtigkeit, zu handfesten Ergebnissen zu gelangen. Mathematik
macht Spaß! Vom in Gleichungen gefassten Gesetz bis zur praktischen Anwendung ist
es allerdings oft ein weiter Weg, der viel technisches Können erfordert. Die wichtigen
praktischenKenntnissesollten möglichstbalderworbenwerden,um denWegdurchdas
eigentlicheFachgebietnichtzueinemfrustrierendenHürdenlaufwerdenzulassen.
Wie beim Erlernen einer Sprache gibt es auch beim „Erlernen der Mathematik“ ver-
schiedeneZugänge.EinLinguistgehtdabeiandersvoralseinDichter,eineSprachschule
oderaucheinKleinkind.IndiesemTextwollen wirwichtigeMethodenderMathematik
kennenlernenunddabeidieAnwendungbetonen.WirverzichtenoftaufdieBeweisfüh-
rung oder die genaue Ableitung des jeweiligen Verfahrens, und wir können so auch auf
viele„Hilfssätze“verzichten.AlldiesistzwarfüreintiefesVerständniswichtig,stelltaber
am Anfang eine Motivationsschranke dar. Der Leser soll schnell den Überblick und die
notwendigenFertigkeitenerlangen,Problemezulösen.Erwirdermuntert,einzelneAus-
sagen zu hinterfragenund,vielleicht in einem späteren Stadium, entsprechend„härtere“
Fachbücherzukonsultieren.ImerstenAnlaufwollenwirversuchen,klarundeinfachzu
sein;wirwerdennichtbetrügen,aberoftauchnichtallessagen.UmdieabstrakteSchärfe
der Mathematik zu demonstrieren, werden wir ab und zu den Sachverhalt in prägnanter
Formineiner„Mathematikbox“darstellen:„Kurzundklar“.DieseKurzdarstellungdes
FormalismusbringtoftzusätzlicheInformationen,diehilfreichseinkönnen.
ImTextwerdenvieleBeispielsrechnungendurchgeführt.DanebenfindetmanamEnde
jedes Abschnittes weitere Hinweise auf Literatur und Aufgabensammlungen. Oft kön-
nendieAufgabensowohlmitBleistiftundPapier(„analytisch“)alsauchmitHilfeeines
Computers gelöst werden. Viele Lösungen sind zumindest in kurzer Form angegeben.
Ausführliche Lösungen finden Sie über die weiter unten angegebeneWorld-Wide-Web-
AdressezumBuch.
V
VI Vorwort
Dieser Text wendet sich an Studienanfänger. Grundkenntnisse der Mathematik, wie
mansieimGymnasiumerlernt,werdendahervorausgesetzt.Umabergegebenenfallsdie
Erinnerungdaranaufzufrischen,sindinAnhangAeinigegebräuchlicheBegriffeundAb-
kürzungen kurz erläutert. Anhang B erinnert an den Begriff der Funktion und stellt ein
„Vademecum“ elementarer analytischer Funktionen dar. Dieser Anhang enthält Grund-
wissen, das im Haupttext nicht mehr näher erläutert wird, aber oft notwendig ist. Sollte
IhnenimHaupttexteinBegrifffremdsein,soschlagenSiezuerstimStichwortverzeich-
nisundindiesenbeidenAnhängennach!WennSiediesenTextselbstständigerarbeiten,
so wäre es eine gute Idee, mit diesen beiden Anhängen zu beginnen. Auch die Kapitel
des eigentlichen Hauptteils sind von verschiedenemSchwierigkeitsgrad. Die ersten fünf
Kapitel haben einführendenCharakter. Die Präsentation ist ausführlich und vieles darin
kommtIhnenvermutlichbekanntvor.Lassen Siesichnichttäuschen.DieseGrundlagen
sindwichtigfürdasweitereVerständnis.EinigesausdiesenerstenSchrittenwirdinspä-
terenAbschnittenwiederaufgenommenunddetaillierterbetrachtet.
DerComputeristheuteselbstverständlichgeworden.DahersollhierauchderEinsatz
einfacher Programmeder Entwicklung der mathematischen Intuition dienen. In eigenen
Einschüben „... und auf dem Computer“ wird daher in so einer „Computerbox“ auf
numerischeFormulierungenim Zusammenhangmitdenjeweiligen Fragestellungenein-
gegangen.Fragen werden aufgeworfen,die man mit Hilfe eigener Computerprogramme
beantworten sollte. Dies kann nicht einen Kurs über Numerische Mathematik ersetzen,
aberessollwiederumdieFreudeamThemaverstärken.Anwendungmotiviert:Einselbst
geschriebenesProgrammhilft,einVerfahrenundseineBeschränkungenvielbesserken-
nen zu lernen, als man das beim theoretischen Studium kann. Als Starthilfe und Ret-
tungsankerfindenSieimInternetProgrammvorschläge(sieheauchAnhangC)–bittenur
verwenden,wennSieessonstwirklichnichtschaffen!
JedeMathematik-oderComputerboxistmiteinerReferenznummermitvorangestell-
tem„M“oder„C“versehen;auchdieGleichungendarinsindentsprechendgekennzeich-
net,damitdaraufBezuggenommenwerdenkann.AllgemeinwerdenwiraufGleichungen
inderForm(12.2)verweisen,wobeidieersteZahldasKapitelunddiezweitedieentspre-
chende Unternummer bezeichnet. Gleichungen in Mathematik- oder Computer-Kästen
heißen dann (M.2.2.1) oder (C.14.1.2). Kapitel und Abschnitte werden ohne Klammer-
symbolezitiert.
Der vorliegendeText entspricht dem Umfang einer dreisemestrigen 5-stündigen Vor-
lesungmitÜbungen.NehmenSiesichalsoentsprechendZeit.DieKenntnisderwesent-
lichstenIdeenunddieBeherrschungderwichtigstenMethodenderMathematikerlauben
einen unbeschwerteren Zugang zu Ihrem Fachgebiet. Wir wünschen uns, dass der Text
diesemZieldient.Alle,dietieferindieseWelteindringenmöchten,solltenaufjedenFall
auchVorlesungenüberAnalysisundandereTeilgebietederreinenMathematikhören,die
vonFachmathematikerngehaltenwerden.
Obwohl wir versucht haben, die für Physiker wichtigsten Methoden der Mathematik
zu besprechen,gibt es natürlich einigeGebiete, die wir nichtdiskutiert haben. In vielen
Vorwort VII
FällenwerdenimvorliegendenTextangeeigneterStelle–zumBeispielamKapitelende
–Literaturhinweisegegeben.
DiefolgendeSkizzeistderunzulänglicheVersucheinerStrukturierungdesweitenFel-
des der Mathematik. Nur ein Teil der vielfältigen Zusammenhänge ist dargestellt. Wir
gebendabeiauchan,welcheKapiteldesvorliegendenBuchessichmitAspektenausdem
jeweiligenBereichbeschäftigen.
Formale Logik
Automatentheorie
Mengentheorie

Maßtheorie
 Wahrscheinlich-
keitsrechnung
 Metrische und
normierte Räume
 Funktionenräume
Topologie   Differenzial- und   Algebra
 Integralrechnung
Differenzialtopologie   Funktionentheorie  Gruppentheorie
Differenzierbare
 
Mannigfaltigkeiten
ZusatzinformationenzudiesemBuchwieProgrammbeispiele,LösungenzudenAuf-
gabenundanderesfindenSieimWorld-Wide-WebentwederüberdieVerlags-Homepage
oderdieebenfallsangegebeneSeitederAutoren:
http://physik.uni-graz.at/~cbl/mm/
Siebenötigendazu nureinen WWW-BrowserundkönnendamitdieProgrammeund
weitereInformationenaufIhrenComputerholen.
Dies ist die dritte Auflage und wir möchten unseren aufmerksamen Lesern danken,
die mit ihren Rückmeldungen zur Verbesserung beigetragen haben. Besonders hilfreich
bei der Erstellung und Überarbeitung des Texts und der Fehlersuche waren R. Abt, G.
Bachmaier,G.Brecht,G.Folberth,H.Gausterer,J.Hejtmanek,I.Hip,M.Kammerhofer,
W. Ortner, M. Salmhofer, W. Schweiger und P. Obersteiner. Es war ein Vergnügen, mit
demLektoratdesVerlageszusammenzuarbeiten;besondersdankenwirAndreasRüdinger
fürvielesachlicheHinweisebeidererstenAuflage,FrauMargitMalyfürdasLektoratder
drittenAuflageundBarbaraLühkerfürdieredaktionelleBetreuung.FamiliärerDankgilt
auchRenatePuckerfürwertvolleHilfebeiderKorrektur.
Inhaltsverzeichnis
1 UnendlicheReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 FolgenundReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 AchillunddieSchildkröte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 RechnenmitGrenzwerten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 AnwendungenvonunendlichenReihen . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 KonvergenzundDivergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 KonvergenztestsfürReihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 EinfacheWegezurPotenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 KonvergenzundGenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 Waswardanoch? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.1 Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4.2 DivergenteReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1 KomplexeZahlenunddiekomplexeEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 KomplexeReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 FunktionenkomplexerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 ExponentialfunktionundtrigonometrischeFunktionen . . . . . . . 62
2.3.2 Wurzeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 AndereUmkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 RiemannscheBlätter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.1 SchnittstruktureinigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 VektorenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.2 LösungeineslinearenGleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.1 LineareAlgebraderMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2 DieinverseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.3 LösungdurchMatrixinversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.4 WeiteresZubehör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.5 LineareAbhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.6 RangeinerMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 VektorenundihreAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3.2 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.3.3 AnalytischeGeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.4 DasEigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.1 QuadratischeFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4.2 FunktionenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.5 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.1 DielineareNäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2 FunktionenmehrererVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.3 VerschiedeneMethodenderDifferenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3.1 KettenregelundProduktregel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.3.2 ImpliziteDifferenziation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.4 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.5 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5.1 Elimination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.5.2 LagrangescheMultiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.6 Randpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.7 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Inhaltsverzeichnis XI
5 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1 DasIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.1 DieStammfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.2 Lebesgue-Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2 Integrationstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.2.1 EinfacheRegeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2.2 TransformationderVariablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2.3 PartielleIntegration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.2.4 SystematischeVerfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.2.5 IntegrationentlangeinerKurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.2.6 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.3 DifferenziationvonIntegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 MehrdimensionaleIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.4.1 Variablentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.5 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.5.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.5.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6 GewöhnlicheDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.1.2 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.2 GewöhnlicheDifferenzialgleichungen1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 272
6.2.1 ExistenzundEindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
6.2.2 LineareDifferenzialgleichungen1.Ordnung . . . . . . . . . . . . . 274
6.2.3 NichtlineareDifferenzialgleichungen1.Ordnung . . . . . . . . . . 280
6.2.4 NumerischeIntegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.3 GewöhnlicheDifferenzialgleichungenhöhererOrdnung . . . . . . . . . . 294
6.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6.3.2 KonstanteKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.3.3 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.3.4 NichtkonstanteKoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6.4 SystemevonDifferenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.4.1 FormulierungundlinearerFall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.4.2 StabilitätsanalyseunddynamischeSysteme . . . . . . . . . . . . . . 320
6.5 ZumAbschluss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.6 AufgabenundLösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.6.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.6.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330