Mathematische Methoden in den Biowissenschaften : Eine Einführung mit R

465 Pages·2016·4.869 MB·German

by  Werner Timischl (auth.)

Werner Timischl
Mathematische
Methoden in den
Biowissenschaften
Eine Einführung mit R
3. Auflage
Mathematische Methoden in den
Biowissenschaften
Werner Timischl
Mathematische Methoden in
den Biowissenschaften
Eine Einführung mit R
3., überarbeitete und erweiterte Auflage
WernerTimischl
Wien,Österreich
ISBN978-3-662-48951-2 ISBN978-3-662-48952-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-48952-9
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Für Elisabeth,
Margit, Maria undHannes
Vorwort
Die „Mathematischen Methoden in den Biowissenschaften“ sind aus Vorlesungen
und Übungen in den Studienrichtungen Biologie, Ernährungswissenschaften und
Biotechnologie an der Universität Wien bzw. Fachhochschule Campus Wien her-
vorgegangen. Aufbauend auf der zweiten Auflage der „Biomathematik“ wurden
zahlreiche Ergänzungen – vor allem in der Matrizenrechnung und der Statistik
– vorgenommen. Das Ziel dieser Ergänzungen war, eine umfassende Einführung
in die Mathematik zu schaffen, die den Anforderungenin den Biowissenschaften
Rechnung trägt. Die Verbreiterung des Methodenspektrums wird auch durch den
neuenBuchtitelzumAusdruckgebracht.DasBuchistalsLehrbuchkonzipiert.Es
soll eine Verständnis für mathematische Methoden, die für die Biowissenschaften
bedeutsam sind, und eine Sicherheit in der Anwendung dieser Methoden vermit-
teln.DasBuchkannaberauchalsNachschlagwerkverwendetwerden,umsichdas
eineoderandereVerfahreninErinnerungzurufen.
DiemathematischeBearbeitungeinesProblemsbeginntinderRegeldamit,dass
man im Rahmen eines geeigneten Modells ein zweckmäßiges Lösungsverfahren
auswählt. Dabei ist es von Vorteil, wenn man die mathematischen Standardver-
fahren in seiner Disziplin kennt und auch zumindest im Prinzip versteht, wie sie
funktionieren.EsbrauchtalsoeingewissesMethodenverständnis,umLösungsalgo-
rithmenoptimaleinsetzenzukönnen.HatmaneinegeeigneteMethodeausgewählt,
geht es im nächsten Schritt um die Lösungsfindung mit dieser Methode. Dabei
kommen in der Regel einschlägige Softwareprodukte zur Anwendung. Es sollte
heuteeineSelbstverständlichkeitfürStudierendederBiowissenschaftensein,dass
sienichtnureinTabellenkalkulationsprogrammbeherrschen,sondernsichauchin
einemleistungsfähigenDatenanalysesystem„zuHause“fühlen.
Ein leistungsfähiges und universell einsetzbares Datenanalysesystem ist das
SoftwareproduktR, das in diesem Buch zur Gewinnung von numerischen Ergeb-
nissen und auch zur Herstellung von Grafiken verwendet wird. R ist eine freie,
gut ausgetestete Software und bietet bereits in der Basis-Installation ein umfas-
sendes Angebot an numerischen und grafischen Prozedurenfür das Gesamtgebiet
der angewandten Mathematik und Statistik. Die Basis-Installation lässt sich auf
einfache Weise durch eines der zahlreichen Pakete ergänzen, die man – wie die
VII
VIII Vorwort
Basis-Installation – von der R Project-Homepage http://www.r-project.org/ her-
unterladen kann. Wie man R installiert und die R-Umgebung nutzt, ist in einem
R-Kompendium im Anhang dargestellt. Indem man die zu vielen Beispielen und
Aufgaben angegebenen R-Programme nachvollzieht, sollte es möglich sein, sich
raschinReinzuarbeiten.
EinLehrbuchüberangewandteMathematikistkeinLesebuch,sondernverlangt,
mit Bleistift, Papier und Computer durchgearbeitet zu werden. An Vorkenntnis-
sen wird lediglich eine gewisse Vertrautheit mit den grundlegenden Algorithmen
der Schulmathematik verlangt. Um an die Vorkenntnisse anzuknüpfen, ist quasi
als Repetitorium ein Kapitel über die Elementarmathematik vorangestellt. Aller-
dingswerden bereits hier die Weichen in Richtung „Arbeiten mit Daten“ gestellt.
ImzweitenKapitelgehtesumFunktionenmitzweizentralenAnwendungsfeldern.
Die Abhängigkeitzwischen zwei Variablen wird in den Biowissenschaften häufig
miteinfachenGrundfunktionen(wiez.B.derlinearenFunktionoderderExponen-
tialfunktion) erfasst. Besondere Beachtung findet in diesem Zusammenhang das
Problem der Anpassung dieser Funktionen an vorgegebene Datenpunkte. Andere
wichtigeFunktionen(z.B.dieDichtefunktionderNormalverteilung)werdeninder
Statistikgebraucht,umdieVariationvonMerkmalenzuerfassen.
Die weiteren Kapitel bauen auf dem ersten und zweiten Kapitel auf und sind
voneinander weitgehend unabhängig. Im dritten Kapitel werden zuerst grundle-
gende Rechenoperationenmit Vektoren und Matrizen, lineare Gleichungssysteme
undspeziellorthogonaleundsymmetrischeMatrizenbehandelt.Daraufaufbauend
folgen verschiedene Anwendungen wie z.B. der Simplexalgorithmus, die Haupt-
komponentenanalyse oder Markov-Ketten. Das vierte Kapitel beginnt mit einem
AbschnittüberZahlenfolgen.NachEinführungdesDifferentialquotientenwirdaus-
geführt,wiemanFunktionenmitdererstenundzweitenAbleitungbeschreibtund
lokal durch Polynome approximiert. Zentrale Themen der Integralrechnung sind
die numerische Integration sowie die unbestimmte Integration in Verbindung mit
Differentialgleichungen.SchließlichenthältdasfünfteKapitelErgänzungenzuden
deskriptiven Verfahren des ersten und zweiten Kapitels, Methoden zur Schätzung
von ausgewählten Verteilungsparametern und ausgewählte Testverfahren für Ver-
gleichemitMittelwertenundWahrscheinlichkeiten.
MethodischeVertiefungenundspezielleAnwendungenwurdenineinenergän-
zenden Abschnitt am Ende eines jeden Kapitels ausgelagert. Zum Einüben der
Methoden gibt es im Buch mehr als 150 vollständig durchgerechneteÜbungsauf-
gaben und zur Lernkontrolle über 100 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen im
Anhang.
Abschließenddankeichallen,diedurchHinweisezurVerbesserungdesTextes
beigetragen haben, und nehme weitere Anregungen und Korrekturhinweise dan-
kendentgegen([email protected]).SchließlichdankeichFrauStefanie
WolfvomSpringer-Verlagin HeidelbergfürdieguteZusammenarbeitbeiderEr-
stellungderDruckvorlage.
Wien,August2015 WernerTimischl
Inhaltsverzeichnis
1 Elementarmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Nominale,ordinaleundmetrischeSkalen . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 NominaleMerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 OrdinaleMerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 MetrischeMerkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 GrundlegendeBegriffeundRechenoperationen . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Betrag,Vorzeichen,Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Prozentsatz,Prozentwert,Grundwert . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Binomialkoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 BerechnungenimrechtwinkeligenundallgemeinenDreieck . . . . 16
1.3.1 RechtwinkeligesDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 RechnenmitfehlerbehaftetenZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 AbsoluterundrelativerFehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 Fehlerfortpflanzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 GleichungenmiteinerVariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 GleichungenalsInstrumentederModellbildung . . . . . . . 24
1.5.2 AlgebraischeGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.3 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 KomplexeZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1 Komponentenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.2 TrigonometrischeForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
IX
X Inhaltsverzeichnis
1.7 PermutationenundKombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Multiplikationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.3 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.1 BegriffderWahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.2 BedingteWahrscheinlichkeitundFormelvonBayes . . . . 40
1.8.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9.1 GleitendeDurchschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9.2 MittlereLebenserwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.9.3 PascalschesDreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9.4 BinomischerLehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9.5 SummensätzefürdenSinusundKosinus . . . . . . . . . . . 50
2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1 LineareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1 VonderBeobachtungzurFunktion . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.2 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.3 Regressionsgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 Allometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 Linearisierungdurchdoppelt-logarithmische
Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.3 GebrochenlineareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.4 QuadratischePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3 Exponential-undLogarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.1 Exponentialfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.2 Linearisierungdurcheinfach-logarithmischeTransformation 76
2.3.3 LogistischesWachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.4 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4 SinusförmigeVeränderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.1 DieallgemeineSinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.2 ÜberlagerungvonSinusschwingungen . . . . . . . . . . . . . 91
2.4.3 KurvenanpassungbeiperiodischenDaten . . . . . . . . . . . 92
2.4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 Wahrscheinlichkeitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 DiskreteZufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.3 HypergeometrischeVerteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Inhaltsverzeichnis XI
2.5.4 KennzahlenderWahrscheinlichkeitsfunktion . . . . . . . . . 101
2.5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.6 Dichtefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6.1 StetigeZufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.6.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.7.1 BerechnungderParameterderRegressionsgeraden . . . . . 110
2.7.2 RegressionsgeradedurchdenNullpunkt . . . . . . . . . . . . 111
2.7.3 ExponentielleAnnäherunganeinenGleichgewichtswert. . 112
2.7.4 MittelwertundVarianzeinerB -verteilten
n;p
Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1 BegriffderMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.2 Merkmalsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.3 Objektraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2 RechenoperationenmitVektorenundMatrizen . . . . . . . . . . . . 121
3.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.2 SkalarproduktvonVektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2.3 Matrizenprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.2.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.1 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.3.2 Determinanten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.3.3 InverseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4 LineareOptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4.1 DasMaximum-ProblemderlinearenOptimierung. . . . . . 142
3.4.2 DerSimplexalgorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.4.3 DualeOptimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.4.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.5 DiagonalisierungvonsymmetrischenMatrizen . . . . . . . . . . . . 153
3.5.1 OrthogonaleMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.5.2 EigenwerteundEigenvektoreneinersymmetrischenMatrix 156
3.5.3 SpektralzerlegungeinersymmetrischenMatrix. . . . . . . . 161
3.5.4 QuadratischeFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.5.5 Hauptkomponentenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.5.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6 Markov-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.6.1 ÜbergangsmatrixundZustandsverteilung . . . . . . . . . . . 177
3.6.2 StationäreZustandsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 184