Mathematische Methoden I / Mathematical Methods I

371 Pages·1956·11.92 MB·German

by  J. Lense (auth.)

ENCYCLOPEDIA OF PHYSICS
EDITED BY
S. FLUGGE
VOLUME I
MATHEMATICAL METHODS I
WITH 37 FIGURES
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1956
HANDBUCH DER PHYSIK
HERAUSGEGEBEN VON
S. FLUGGE
BAND I
MATHEMATISCHE METHODEN I
MIT 37 FIGUREN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1956
ISBN-I3: 978-3-642-45834-7 e-ISBN-I3: 978-3-642-45833-0
001: 10.1007/978-3-642-45833-0
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER OBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN
OHNE AUSDROCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALT lGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG 1956
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1956
Inhaltsverzeichnis.
Grundbegriffe der klassischen Analysis, gewohnliche Differentialgleichungen, Funk
tionentheorie. Von Professor Dr. JOSEF LENSE, Direktor des Mathematischen In
stituts der Technischen Hochschule Munchen (Deutschland). (Mit 17 Figuren)
I. Reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen
II. Differentialrechnung. . . . . . . . . . . . 10
III. Reelle Funktionen von mehreren reellen Veranderlichen 15
IV. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 23
V. Unendliche Reihen 42
VI. Funktionen von komplexen Veranderlichen . 46
VII. Gewohnliche Differentialgleichungen . 68
Anhang: Das LEBESGUESche Integral 81
Partielle Differentialgleichungen. Von Professor Dr. JOSEF LENSE, Direktor des Mathe
matischen Instituts der Technischen Hochschule Miinchen (Deutschland). (Mit
2 Figuren). . . . . . . . . . . 90
1. Allgemeine Begriffe. . . . 90
2. Systeme in der Normalform 91
3. Quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. 91
4. J ACoBIscher Multiplikator. . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Allgemeine partielle Differentialgleichungen erstcr Ordnung in zwei unab-
hangigen Veranderlichen. MONGESches Richtungsfeld. . . . 93
6. Charakteristiken und charakteristische Streifen . . . . . . 94
7. Charakteristiken der quasilinearen Differentialgleichungen in zwei unab-
hangigen Veranderlichen . . . . . . 96
8. Vollstandiges und allgemeines Integral 97
9. Flachenscharen und singulare Integrale 98
10. Partielle CLAIRAUTsche Differentialgleichung . 99
11. Bestimmung eines vollstandigen Integrals . . 100
12. Beriihrungstransformationen ....... 100
13. Allgemeine partielle Differentialgleichung erster Ordnung in n unabhangigen
Veranderlichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
14. Vollstandige, allgemeine und singulare Integrale bei n Veranderlichen .... 103
15· HAMILTON-J ACoBIsche Differentialgleichung ............... 104
16. Kanonische Gleichungen und kanonische Transformationen, POISsoNsche
Klammern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
17· Allgemeine Beriihrungstransformationen, J ACoBIsche Klammern 108
18. Totale Differentialgleichungen 109
19· PFAFFsche Formen . . . . . . . . . . . 110
20. LAGRANGESche Klammern. . . . . . . . 111
21. Infinitesimale kanonische Transformationen 112
22. Integralinvarianten. . . . . . . . . . . 113
23. PFAFFsche und HAMILToNsche Systeme . . 115
24. Allgemeine partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 115
25. Halblineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung 117
26. Lineare hyperbolische partielle Differentialgleichungen zwciter Ordnung 118
VI Inhaltsverzeichnis.
Elliptische Funktionen und Integrale. Von Professor Dr. JOSEF LENSE. Direktor des
Mathematischen Instituts der Technischen Hochschule Munchen (Deutschland).
(Mit 7 Figuren) . . . . . . . . . . 120
1. Doppeltperiodische Funktionen 120
2. ~-Funktion 120
3. C-Funktion ..... 122
4. a-Funktion . . . . . 123
5. Elliptische Funktionen 123
6. Elliptische Integrale . 124
7. RIEMANNsche Flache fUr eine Quadratwurzel aus einem Polynom vierten
Grades ............... . 126
8. Konforme Abbildung durch die ~-Funktion 127
9. Parallelverschiebung des Periodengitters 128
10. Drehstreckung des Periodengitters . . . . 129
11. WEIERSTRAsssche N ormalform. . . . . . 130
12. Konforme Abbildung zweier RIEMANNscher FHi.chen in der WEIERSTRASS-
schen N ormalform . 131
13. Primitive Perioden . 132
14. Modulsubstitutionen 133
15. Modulfunktionen. . 135
16. Gitterteilung 136
17. Komplexe Multiplikation 137
18. Reduktion der elliptischen Integrale 137
19. LEGENDRESche Normalform 138
20. Thetafunktioncn . . . . . . . . . 140
21. J ACoBIsche Funktionen . . . . . . 142
22. Transformation der Thetafunktionen 144
Literatur ............. . 145
Spezielle Funktionen der mathematischen Physik. Von Professor Dr. JOSEF MEIXNER.
Direktor des Instituts fUr Theoretische Physik an der Technischen Hochschule
Aachen (Deutschland). (Mit 2 Figuren) ............. . 147
A. Definitionen und einfache Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B. Die speziellen Funktionen als Losungen von Differentialgleichungen . . . . 165
C. Die einfachen speziellen Funktionen als Losungen von Funktionalgleichungen 176
D. Differenzengleichungen und spezielle Funktionen 186
E. Produkte spezieller Funktionen als Losungen der Schwingungsgleichung 193
F. MATHlEusche Funktionen und Spharoidfunktionen . 208
Bi bliogra phie . . . . . . . . . 216
Randwertprobleme. Von Privatdozent Dr. FRIEDRICH SCHLOGL. Institut fur Theore
tische Physik der Universitat Koln (Deutschland). (Mit 9 Figuren) 218
A. Orthogonale Funktionssysteme . . . . . . . 21"8
I. Reihenentwicklung nach Orthogonalfunktionen 218
II. FOURIER-Reihen 224
III. Lineare Transformationen im Funktionsraum . 230
B. Lineare Integralgleichungen . 235
I. Allgemeines 235
II. Hermitische Kerne 240
III. Beliebige Kerne. . 247
IV. Direkte Losungsmethoden 250
Inhaltsverzeichnis. VII
c. Variationsrechnung ............ . 262
D. Randwertprobleme bei Differentialgleichungen der Physik 281
I. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 281
II. Die GREENsche Funktion ........ . 297
III. Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . 313
IV. Eigenwertprobleme und Variationsrechnung .. 327
V. Die Ausbreitungsfunktionen bei Anfangswertproblemen 339
Li tera tur . . . . . . . . . . 352
Sachverzeichnis (Deutsch-Englisch) 353
Subject Index (English-German) . . 359
Der urspriinglich fiir Band I oder II vorgesehene Artikel ii ber: "Wahrscheinlichkei ts
rechnung, Ausgleichsrechnung und mathematische Statistik" muB aus auBeren Grunden in
einem anderen Band dieses Handbuches erscheinen.
Grundbegriffe der klassischen Analysis,
gewohnliche Differentialgleich ungen, F unktionentheorie.
Von
J.
LENSE.
Mit 17 Figuren.
I. Reelle Funktionen einer reellen Veranderlichen.
1. Mengen. Eine Gesamtheit von Dingen heiBt eine Menge, wenn von jedem
Ding festgestellt werden kann, ob es zur Menge gehi:irt oder nicht, und die zur
Menge gehi:irigen Dinge, ihre Elemente, voneinander wohl unterscheidbar sind.
Eine Menge Ml ist Teilmenge der Menge M, wenn jedes Element von Ml auch
Element von Mist.
1m folgenden betrachten wir Mengen von reellen Zahlen oder, falls wir die
reellen Zahlen als Abszissen der Punkte der Abszissenachse eines Koordinaten
systems deuten, Punktmengen auf einer Ceraden. Unter einem abgeschlossenen
I ntervall [a, b] versteht man die Menge aller reellen Zahlen x, fUr die a;:;;' x;:;;' b
gilt. Sollen die Endpunkte des Intervalls nicht in die Menge aufgenommen werden
(a< x< b), so spricht man vom offenen Intervall (a, b), dagegen vom halboffenen
Interval! [a, b) oder (a, b], falls a;:;;'x< b bzw. a< x;:;;,b gelten solI.
Umgebung eines Punktes ist ein den Punkt enthaltendes offenes Intervall.
Liegen in einer noch so kleinen Umgebung eines Punktes Xo unendlich viele Punkte
einer Menge M, so heiBt Xo ein H iiufungspunkt oder eine H iiufungsstelle der Menge
(der Haufungspunkt braucht nicht zu M zu gehi:iren).
Sind die Zahlen einer Menge M samtlich ;:;;,b, so nennt man M nach oben be
schriinkt, b eine obere Schranke von M; sind sie alle ;;;;;'a, so heiBt die Menge nach
unten beschriinkt, a eine untere Schranke. 1m erst en Fall gibt es eine kleinste
obere Schranke C, die sog. obere Crenze oder das Supremum von M, im zweiten
eine gri:iJ3te untere Schranke g, die untere Crenze oder das Infimum. C und g
miissen nicht zur Menge gehi:iren.
Eine Menge heiBt beschriinkt, wenn sie nach oben und unten beschrankt ist.
Sie hat eine gri:iJ3te Haufungsstelle U, den sog. limes superior (geschrieben lim)
und eine kleinste u, den limes inferior (lim). Es ist g;:;;, u ;:;;, U ;:;;, C. 1st die Menge
+
nach oben nicht beschrankt, so schreibt man U = C = 00, ist sie nach unten
nicht beschrankt, u = g = - 00.
2. Funktionen einer Veranderlichen. 1st jeder Zahl x einer Menge Meine und
nur eine Zahl y zugeordnet, so nennt man y eine (eindeutige) Funktion von x und
schreibt y = f (x). Statt des Buchstabens f ki:innen auch andere gewahlt werden,
manchmal pflegt man auch y = y (x) zu schreiben. x heiJ3t die unabhiingige, y die
abhiingige Veriinderliche, die Menge Mist der Definitionsbereich der Funktion.
M sei die Menge aller Werte y, welche die Funktion in ihrem Definitionsbe
reich annimmt, der Wertevorrat der Funktion, wobei aber Funktionswerte, die
zu verschiedenen x-Werten gehi:iren, im Sinne der obigen Definition der Menge
(Zift. 1) als unterschieden gelten sollen. Man iibertragt nun die in Zift. 1 defi
nierten Begriffe beschrankt, obere Grenze usw. von M auf die Funktion, nennt
Handbuch der Pbysik, Ed. I. 1
2 .I. LENSE: Grundbegriffe der klassischen Analysis. usw. Ziff. 3.
also z. B die Funktion beschrankt, wenn M beschrankt ist, die obere Grenze G
von M bezeichnet man als obere Grenze der Funktion usw. Gehort G bzw. g
zu M. so ist G der grofJte. g der kleinste Wert der Funktion in M. G - g = s;;;;;;' 0
heiBt die Schwankung (Oszillation) der Funktion in M. Ahnlich werden diese
Begriffe fUr jede Teilmenge Ml von M definiert. Kennzeichnen wir sie durch den
Zeiger 1. so gilt
g :;;;;;, gl :;;;;;, G1: ;;;;;, G und Sl :;;;;;, s.
Deutet man x und y als rechtwinkelige Koordinaten eines Punktes in der
Ebene. so erhalt man eine Punktmenge in der Ebene. das geometrische Bild der
Funktion. Jede Zahl a. fUr die I(a) =0 ist. heiBt eine Nullstelle der Funktion
(Schnittpunkt des geometrischen Bildes mit der Abszissenachse). Gilt die Glei
chung j(x) = 0 fur aIle Werte des Definitionsbereiches. so sagt man: die Gleichung
ist identisch erfUllt. 1st fUr eine in einem lntervall definierte Funktion fUr je zwei
beliebige Werte Xl < X2 des lntervalls immer l(x1) :;;;;;,1 (x2) bzw. l(x1) ;;;;.1 (x2). so
nennt man die Funktion monoton wachsend bzw. abnehmend. und zwar lortwahrend
oder im strengen Sinn. wenn in den beiden letzten Gleichungen nur das Ungleich
heitszeichen gilt.
1st fUr eine Funktion identisch in X die Gleichung I (x + a) = I (x) erfUllt. so
heiI3t die Funktion periodisch mit der Periode a; jedes ganzzahlige Vielfache einer
Periode ist eben falls Periode.
Eine Funktion nennt man gerade. wenn die Gleichung I ( -. x) = I(x) identisch
in x gilt; ist dagegen 1(-x) = -I (x) identisch in x, so heiI3t die Funktion un
gerade. Das Kurvenbild einer geraden Funktion ist spiegelbildlich zur y-Achse,
das einer ungeraden spiegelbildlich zum Nullpunkt.
n
Eine Funkti6n von der Gestalt L:avxv mit festen Koeffizienten a nennt man
v
v=o
ein Polynom oder eine ganze rationale Funktion vom Grad n, falls an =l= 0 ist. Eine
gebrochene rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome.
3. Grenzwert. Xo sei eine Hiiufungstelle des Definitionsbereiches einer Funk
tion I (x). Man sagt, die Funktion hat in Xo den Grenzwert A oder sie konvergiert
a
gegen A, wenn sich zu jeder beliebigen Zahl 8> 0 eine Zahl > 0 finden laI3t, so
1< < I xoi < a
daI3 II (x) - A 8 ist, sobald 0 x - ist, d. h. wenn man den Unterschied
zwischen dem Funktionswert und Grenzwert dem Betrage nach dadurch beliebig
klein mach en kann, daI3 man x hinreichend nahe an Xo wiihlF. Man schreibt
lim I (x) = A oder I (x) -+A fUr x-+xo' Notwendig und hinreichend fUr das Vor-
X~Xo
handensein eines Grenzwertes ist folgende Bedingung: Zu jeder Zahl 8 > 0 ITmB
sich eine Zahl a> 0 bestimmen lassen, so daI3l/(x') -/(x")1 < 8 fUr alle x' und x"
< I xoi < < I xol <
ist, fUr die 0 x' - a und 0 x" - a ist (Konvergenzkriterium von
CAUCHY). Erfolgt die Annaherung von Werten x< Xo bzw. x> xo, so spricht
man von einem linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwert und schreibt I (xo - 0) = A
bzw. I (xo + 0) = A. Eine in einem Intervall definierte beschrankte monotone
Funktion hat bei unbegrenzter Annaherung an die Endpunkte des lntervalls
immer je einen rechtsseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert.
Haben I(x) und g(x) fUrx-+xo die Grenzwerte A und E, so sind auch die
Grenzwerte der Funktionen I(x) + g(x), I(x)g(x), ;i:~ (falls E=l=O), I/(x)l, Ig(x)1
1 1a 1 bedeutet in bekannter Weise den absoluten Betrag von a. also 1a 1= a fUr a > o.
lal=-a fur a<O. 1.01 =0. Es ist irnrner Ilal-lbll:S;la±bl;;:;;lal+lbl. labl=lallbl.
I~I =-l~l·
liff. 4. Stetigkeit. 3
IAI, IBI.
vorhanden und bzw. gleich A±B, AB, AlB, Ferner ist A:2;B, falls
f(x) :;;;;;;g(x) ist, wobei zu beach ten ist, daB A = B sein kann, wenn auch
f(x) > g(x) ist.
1st der Definitionsbereich von x nicht beschrankt, so sagt man lim f (x) = A
x...--.++ 00
oder f(x)~A fUr x~-I- 00, wenn sich zu jeder beliebigen Zahl c:> 0 eine Zahl
N > 0 so finden Hil3t, dal3l f (x) - A I< c:, sob aId x> N ist, und ahnlich lim f (x) = A,
x~-oo
sob aId x< -N ist, d.h. wenn sich f(x) dem Wert A unbegrenzt nahert, falls x
dem Betrage nach tiber aIle Schranken wachst und dabei immer positiv oder
negativ bleibt.
Neben den bisher besprochenen eigentlichen Grenzwerten betrachtet man auch
uneigentliche, d.h. man definiert lim f(x) = -I-00 bzw. - 00 oder f(x)~-I- 00 bzw.
X~Xo
- 00 fUr x~xo, wenn sich zu jeder Zahl N > 0 eine Zahl <5 > 0 angeben lal3t, so dal3
f (x) > N bzw. f (x) < - N, wenn 0 < Ix - xol < <5, d. h. wenn f (x) dem Betrage
na.ch tiber alle Schranken wachst und dabei immer positiv oder negativ bleibt
falls sich x der Zahl Xo unbegrenzt nahert. Auch diese Grenzwerte konnen ein
seitig sein, wenn die Annaherung an Xo nur von einer Seite erfolgt und ebenso
kann ± an Stelle von Xo treten.
00
Aus dieser Definition ergeben sich folgende Formeln: Aus f (x) ~ -I- 00 folgt
1
-f(x)~- 00, f(x) ~O;ausf(x)~-I- ooundg(x)~c>Ofolgtf(x)±g(x)~-I- 00,
:i;;
f(x)g(x)~-I- ~-I- aus f(x)~-I- und g(x)~-I- folgt f(x)-I
00, 00; 00 00
g(x)~-I- 00, f(x)g(x)~-I- 00.
4. Stetigkeit. Eine Funktion f (x) heil3t stetig an einer Stelle Xo ihres Definitions
bereiches, wenn lim f(x) vorhanden und gleich f(xo) ist, d.h. wenn sich bei un-
X---+-Xo
begrenzter Annaherung an die Stelle Xo auch die Funktionswerte dem Funktions
wert an der Stelle Xo unbegrenzt nahern. Die Funktion heil3t stetig in einem
Intervall, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Summe, Differenz,
Produkt, Quotient von stetigen Funktionen sind eben falls stetig, wenn man
beim Quotienten die Nullstellen des Nenners ausschliel3t. Ebenso ist der Betrag
einer stetigen Funktion stetig. 1st u=g(x) stetig an der Stelle Xo und y=f(u)
stetig an der Stelle uc=g(xo), so ist die zusammengesetzte Funktion y=f[g(x)J
stetig an der Stelle xo, also lim f [g (x)] = f [g (xo)] = f (uo) = lim f (u).
X~Xo u-uo
Verwendet man in der obigen Definition der Stetigkeit nur einen einseitigen
Grenkwert, so sagt man, die Funktion sei :,tetig bei einseitiger Annaherung an xo,
hat also f(xo-O) =f(xo) bzw. f(xo-l-O) =f(xo). Ul3t sich das Definitionsinter
vall einer Funktion in eine endliche Anzahl von Teilintervallen einteilen, so dal3
die Funktion in jedem offenen Teilintervall stetig ist und die eigentlichen links
und rechtsseitigen Grenzwerte bei Annaherung an die Endpunkte jedes Teilinter
valls vorhanden sind, so nennt man die Funktion abteilungsweise oder stiickweise
stetig.
Jede in einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion ist beschrankt,
nimmt in diesem Intervall mindestens je einmal einen grol3ten und kleinsten Wert
an und ist gleichmiifJig stetig, d. h. zu jeder Zahl c: > 0 13.13t sich eine Zahl <5 > 0
angeben, so dal3 If (Xl) - f (x2) I < c: fUr aIle Wertepaare Xl' x2 des Intervalls ist,
die der Gleichung 0< IXI - x21 < <5 gentigen. 1st f(x) in Xo stetig und f(xo) =1=0,
so lal3t sich eine Umgebung der Stelle Xo angeben, so dal3 in dieser Umgebung
die Funktion nicht null ist und ihr Vorzeichen mit dem von f(xo) tibereinstimmt.
1*