Mathematische Methoden für Ökonomen

603 Pages·2018·12.537 MB·German

by  Karl Mosler, Rainer Dyckerhoff, Christoph Scheicher

Karl Mosler
Rainer Dyckerhoff
Christoph Scheicher
Mathematische
Methoden
für Ökonomen
3. Auflage
Springer-Lehrbuch
Karl Mosler · Rainer Dyckerhoff
Christoph Scheicher
Mathematische Methoden
für Ökonomen
3., verbesserte und erweiterte Auflage
Karl Mosler
Rainer Dyckerhoff
Christoph Scheicher
Universität zu Köln
Institut für Ökonometrie und Statistik
Köln, Deutschland
ISSN 0937-7433
Springer-Lehrbuch
ISBN 978-3-662-54245-3 ISBN 978-3-662-54246-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54246-0
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Vorwort
Im Wirtschaftsleben wird gerechnet. Es geht um Stückzahlen und Preise,
Umsätze und Gewinne und um ihre Beziehungen untereinander. Viele öko-
nomische Probleme lassen sich lösen, indem man Zahlen addiert und multi-
pliziert und Prozente berechnet, aber nicht alle! Die moderne Wirtschafts-
wissenschaft benutzt mathematische Symbole und Begriffe, um ökonomische
Sachverhalte allgemein und knapp darzustellen. Sie bedient sich dabei vor
allem der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Modelle und
Gleichungssysteme.DieökonomischeLiteraturistdeshalbvollerFormelnund
mathematischer Herleitungen. Wer Betriebswirtschaftslehre oder Volkswirt-
schaftslehre studiert, mag das anfangs schrecklich finden oder zumindest ge-
wöhnungsbedürftig. Doch braucht es für die Grundbegriffe kein vertieftes
mathematisches Verständnis, und der Nutzen ist leicht einzusehen. Grund-
sätzlich kann man zwar alles, was sich durch eine mathematische Formel be-
schreibenlässt,auchmitbloßenWortenausdrücken,dochbrauchtmandafür
inderRegelsehrvielmehrPlatz.Und:Werwilldasalles–sowiediesesVor-
wort – lesen und sich auch noch merken? Die mathematische Notation dient
weitgehendlediglichalsKurzschrift,umSachverhalteknappundeinprägsam
zuformulieren.Hinzukommt,dassdiemathematischeSprachepräziseristals
diegewöhnlicheSprache.SchließlicherlaubtdiemathematischeFormulierung
Kalküle und Rechenverfahren, um etwa mit Hilfe der Differentialrechnung
oder der linearen Programmierung optimale Lösungen für ein ökonomisches
Problemzuberechnen.IndieseDingesolldasvorliegendeBucheinführen.Es
solldieStudierendenindieLageversetzen,wirtschaftswissenschaftliche Tex-
te zu lesen, ökonomische Modelle zu verstehen und Optimierungsverfahren
einzusetzen.
Das Buch richtet sich an Studierende im Bachelor- und Masterstudium der
wirtschaftswissenschaftlichen Fächer. Es soll die Studierenden im gesam-
ten Studium begleiten und als Nachschlagewerk neben Veranstaltungen zur
Mikro- und Makroökonomie, zur Ökonometrie, zum Operations Research,
zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und zu volks- und betriebswirtschaftlichen
Spezialthemen dienen. Zahlreiche Lernhilfen, durchgerechnete Beispiele und
vi Vorwort
Aufgaben mit Kurzlösungen ermöglichen ein Selbststudium.
Voraussetzung für dieses Lehrbuch ist ein Grundkurs Mathematik, wie er an
deutschen Gymnasien zum Abitur üblich ist, wobei die inhaltlichen Schwer-
punkte des Abiturs (Funktionen, Grenzprozesse und Approximation, Model-
lierung, algorithmische Berechnung, Darstellung und Messung im Euklidi-
schen Raum) in knapper Form aufgegriffen und wiederholt werden. Streng
genommen setzen wir lediglich eine gewisse Erfahrung und Gewandtheit im
UmgangmitmathematischenBegriffsbildungenundFormelnvoraus.Anhän-
ge über Mengen, Summen und Produkte sowie komplexe Zahlen enthalten
Zusammenfassungen von speziellem Schulstoff. Das Literaturverzeichnis ver-
weist auf geeignete Lehrbücher zu dessen Wiederholung sowie auf weiterfüh-
rende Literatur.
Eine BesonderheitdesBuches istdie enge Verknüpfungvonmathematischen
BegriffenmitsolchenderVolkswirtschaftslehreunddesOperationsResearch.
Produktions-undNutzenfunktionenwerdenfrühzeitigeingeführt,ebensowie
Modelle der Verzinsung und des Wachstums einer Volkswirtschaft. Dies soll
dieRolledermathematischenMethodenalsTeilderGrundausbildunginden
Wirtschaftswissenschaften klären und den Transfer in die übrigen ökonomi-
schen Disziplinen erleichtern.
DasLehrbuchistausVorlesungenentstanden,diedieAutorenregelmäßigund
seitvielenJahrenfürStudierendederWirtschaftswissenschafteninHamburg
und Köln gehalten haben und weiterhin halten. Der Stoff der Kapitel 1 bis 6
ist so aufgebaut, dass man in einem einführenden Kurs möglichst frühzeitig
zur Optimierung in mehreren Variablen gelangt, wie sie in einem gegebenen-
falls parallel dazu studierten Kurs „Mikroökonomie“ benötigt wird. Falls die
„Mikroökonomie“ in ein späteres Semester fällt, kann es sich empfehlen, die
in den Kapiteln 8 und 9 dargestellte lineare Algebra nach vorne zu ziehen.
AußerfüreinführendeVeranstaltungenimBachelor-undMasterstudiumder
WirtschaftswissenschafteneignetsichdasLehrbuchauchfürspeziellereKur-
se, so etwa für einen Kurs „Optimierung linearer Systeme“, der aus Kapitel 2
und den Kapiteln 8 bis 11 besteht, oder einen Kurs „Dynamische Systeme in
stetigen Veränderlichen“ aus den Kapiteln 1, 3, 4, 7 und 12. Ebenso können
die Kapital 2, 8, 9, 10 und 13 die Basis für einen Kurs „Dynamische Systeme
in diskreten Veränderlichen“ bilden.
Dies ist die dritte, erheblich erweiterte Auflage des Lehrbuchs. Der gesamte
Text wurde durchgesehen, korrigiert und ergänzt. Insbesondere werden nun
die für die Analyse dynamischer Systeme benötigten Differential- und Diffe-
renzengleichungen sehr viel ausführlicher als zuvor in zwei eigenen Kapiteln
dargestellt.ErgänztwurdenauchAnhängezurKombinatoriksowiezurLogik
und Beweistechnik.
Bei der Bearbeitung und Korrektur der verschiedenen Auflagen des Lehr-
Vorwort vii
buchs haben uns die wissenschaftlichen Mitarbeiter und studentischen Hilfs-
kräfte des Instituts für Ökonometrie und Statistik der Universität zu Köln
stets tatkräftig unterstützt. Frau Ruhmann und Frau Herrmann vom Sprin-
ger-Verlag haben das Entstehen der vorliegenden Auflage mit viel Engage-
ment und großer Geduld begleitet. Ihnen allen gilt unser herzlicher Dank.
Köln, im August 2017 Rainer Dyckerhoff
Karl Mosler
Christoph Scheicher
Inhaltsverzeichnis
1 Funktionen 1
1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Umkehrfunktion, Verkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Bivariate Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Multivariate Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen . . . . . . . . 20
1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . 22
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Matrizen und Vektoren 33
2.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen . . . . . . . 37
2.3 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Geometrie des Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen im Rn . . . . . . . . . . . 54
2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . 57
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Folgen und Reihen 65
3.1 Zahlenfolgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Mehrdimensionale Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Anwendung: Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.8 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . 96
x Inhaltsverzeichnis
3.10 Fixpunkte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . 102
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen 109
4.1 Ableitung, Differential, Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Erste und zweite Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Nullstellen und Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . 134
4.8 Regel von L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.9 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . . 139
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 153
5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4 Kettenregel und totale Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.5 Homogenität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.6 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.7 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 Lokale lineare Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 193
6.1 Extrema im Innern des Definitionsbereichs . . . . . . . . . . . 194
6.2 Extrema am Rand des Definitionsbereichs . . . . . . . . . . . 199
6.3 Globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.4 Extrema unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.5 Enveloppentheorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.6 Hinreichende Bedingungen für Extrema unter
Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.8 Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Inhaltsverzeichnis xi
7 Integralrechnung 241
7.1 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
7.2 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.3 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale . . . . . . . . . 251
7.5 Berechnung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.6 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.7 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.8 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . 267
7.10 Ableitung unter dem Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8 Lineare Gleichungen 281
8.1 Lösung einer linearen Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.2 Elementare Zeilenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.4 Inversion einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9 Grundbegriffe der linearen Algebra 297
9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis . . . . . . . . . . . . . . 297
9.2 Lineare Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.3 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
9.4 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.5 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
9.6 Mehr über lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.7 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 319
10.1 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.2 Eigenwerte und Eigenvektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . 339
10.4 Komplexe Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Selbsttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
11 Lineare Optimierung 351
11.1 Grafische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
11.2 Das Simplexverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356