Mathematische Knobeleien

211 Pages·1973·7.585 MB·German

by  Martin Gardner (auth.)

Martin Gardner
Mathematische Knobeleien
Martin Gardner
Mathematische
Knobeleien
Mit 128 Bildern
Friedr. Vieweg + Sohn
Braunschweig
Titel der englischen Originalausgabe:
Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American
Verlag Simon and Schuster, New York
Copyright © 1966 by Martin Gardner
Obersetzung: Eberhard Bubser
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
ISBN-13: 978-3-528-08321-2 e-ISBN-13: 978-3-322-85932-7
DOl: 10.1007/978-3-322-85932-7
1973
Aile Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten
Copyright © 1973 der deutschen Ausgabe by Friedr. Vieweg + Sohn GmbH,
Verlag, Braunschweig
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1973
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gilt fur die Vervielfaltigung durch aile Verfahren einschlieBlich Speicherung und jede
Obertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bander, Platten und andere Medien.
Satz: Friedr. Vieweg + Sohn, Braunschweig
Druck: E. Hunold, Braunschweig
Buchbinder: W. LangelUddecke, Braunschweig
Umschlaggestaltung: Peter Morys, WolfenbUttel
Inhaltsverzeichnis
1. Das Zweiersystem
2. Gruppentheorie und Geflechte 10
3. Acht Probleme 20
4. Wortspiele und Ratsel von Lewis Carroll 31
5. Geometrie mit Papier und Schere 39
6. Brettspiele 49
7. Wie man Kugeln packt 60
8. Die Zahl Pi 67
9. Der Mathematiker Victor Eigen 77
10. Das Vierfarbenproblem 86
11. Mr. Apollinax besucht New York 96
12. Neun Probleme 104
13. Polyominos und bruchlinienfreie Rechtecke 118
14. "Euler's Spoilers", oder: Wie man ein griechisch-Iateinisches
Quadrat der Ordnung 10 gefunden hat 128
15. Die Ellipse 137
16. Die 24 farbigen Quadrate und die 30 bunten Wiirfel 147
17. H.S.M. Coxeter 158
18. "Bridg-it" und andere Spiele 171
19. Noch einmal neun Probleme 178
20. Die Differenzenrechnung 192
Einleitung
Bei dem englischen Mathematiker John Edenser Littlewood steht in der Einleitung
zu Mathematician's Miscellany, einer Sammlung mathematischer Miscellen, unter
anderem der Satz: "Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser - und zwar
sogar als Mathematik besser - als ein ganzes Dutzend mittelmaSiger gelehrter Ab
handlungen. "
Mathematische Scherze bilden den Inhalt dieses Buches - wenn man groBzUgig ist
und alles als Scherz gelten laBt, was ein gewisses Element des VergnUglichen enthalt.
Es gibt kaum einen Mathematiker, der nicht eine gewisse Freude an mathematischen
Spielereien hatte; aber die meisten lassen sich auf solche Spielereien natUrlich nur
mit MaBen und innerhalb vernUnftiger Grenzen ein. Daneben aber gibt es auch
Menschen, auf die die Faszination des mathematischen Spiels beinahe wie ein
Rauschgift wirken kann. Lushin, der Held von Nabokovs groBartigem Schach
spielerroman "Lushins Verteidigung" (The Defense), ist solch ein Mensch. Er ist
yom Schachspiel (das ja unleugbar ein Produkt des mathematischen Spieltriebs ist)
dermaBen besessen, daB er nach und nach vollig den Kontakt zur Wirklichkeit ver
liert und zuguterletzt die erbarmliche Partie seines Lebens durch einen Sprung aus
dem Fenster - ein "Selbstmatt" - beenden muS. Es rundet das Bild dieses unauf
haltsamen Personlichkeitsverfalls nur ab, wenn wir nebenbei erfahren, daB Lushin
frUher selbst im Mathematikunterricht ein schlechter SchUler gewesen ist, anderer
seits aber schon damals "von einer Sammlung ausgefallener mathematischer Pro
bleme, einem Buch, das ,Die frohliche Mathematik' hieS, fasziniert war, weil es voll
von phantastisch ungebardigen lahlen und wild tanzenden geometrischen Geraden
war, kurz, weil es lauter Dinge enthielt, von denen in den SchulbUchern keine Rede
war."
Die Moral dieser Geschichte ist ganz klar: Man sollte sich mit mathematischen
Spielereien amUsieren, wenn man das Talent und die Neigung dazu hat, aber niemals
allzusehr, niemals so, daS daraus mehr wird als ein gelegentliches VergnUgen, das das
Interesse an ernsthafter Wissenschaft und Mathematik stimuliert. Auf keinen Fall
sollte man dieser Neigung ganz und gar die lUgel schieBen lassen.
Wenn jemand nun aber gar nicht anders kann und ihr die lUgel schieBen lassen muB,
wird ihn vielleicht die Pointe einer Kurzgeschichte von Lord Dunsany ein wenig
trosten, die The Chess-Player, the Financier, and Another ("Der Schachspieler, der
Finanzier und noch eine andere Person") heiBt. In ihr erinnert der Finanzier sich an
einen Freund namens Smoggs, der auf dem besten Wege war, ein Finanzgenie zu
werden, bis er yom Schachspiel aus der Bahn geworfen wurde: "luerst sah es gar
nicht so schlimm aus; er gewohnte sich nur daran, in der Mittagspause mit einem
Kollegen eine Partie Schach zu spiel en, als wir beide noch in derselben Firma arbei
teten. Aber dann fing er an, den anderen zu schlagen .... SchlieBlich trat er in
einen Schachklub ein und war auf einmal einfach nicht mehr zu halten, wie ein
Alkoholiker oder eher wie jemand, der von Poesie oder Musik besessen ist. .... Er
hatte ein groSartiger Finanzier werden konnen. Es heiSt ja immer, daS Finanzge
schafte nicht schwieriger sind als Schach, nur daS das Schachspielen halt nichts
einbringt. Ich habe nie wieder jemanden getroffen, der sein Talent so verschwendet
hatte." "Ja, ja", stimmt ihm der Gefangniswarter (denn das ist "die andere Person")
zu, "solche Leute gibts. Es ist schon ein Jammer." Und dann schlieSt er den Finan
zier fur den Rest der Nacht wieder in seine Zelle ein.
Ich muS wiederum dem Scientific American fur die freundliche Erlaubnis danken,
die folgenden zwanzig Beitrage nachzudrucken. Wie in me in en beiden vorigen
Buchern habe ich sie auch diesmal wieder erweitert, berichtigt und durch neues
Material erganzt, das ich den zahlreichen Zuschriften meiner Leser verdanke. Ich
mochte hier auch meiner Frau fur ihre Hilfe bei den Korrekturen danken,
Nina Bourne, die als Redakteur fUr mich zustandig ist, und vor allem naturlich der
immer noch anwachsenden Zahl meiner Leser in Amerika und der ganzen Welt,
durch deren - stets willkommene - Zuschriften dieses Buch so wesentlich be
reichert worden ist.
A1artin (7ar£iner
1. Das Zweiersystem
Hinter dem Seheibenwiseher steekte ein ro
ter Zettel, den ich herausnahm, um ihn lang
sam und sorgfiiltig zu zerreiBen: in zwei
5 tiieke, in vier, in aeht.
Vladimir Nabokov, Lolita
Die gesamte zivilisierte Menschheit benutzt heute eine lahlenschreibweise, die auf dem
Zehnersystem, den in aufsteigender Foige von rechts nach links angeordneten Potenzen
von 10 basiert. Wenn wir uns irgendeine lahl den ken, bedeutet die liffer ganz rechts
immer ein Vielfaches von 10°, d. h. von 1. Die zweite liffer von rechts ist dann ein
Vielfaches von 101, die dritte ein Vielfaches von 102, usw. Die lahl 777 bedeutet in
unserer Schreibweise also soviel wie (7 . 10°) + (7 -101) + (7 . 102). Die weltweite Ver
breitung der 10 als Grundzahl hat ganz sicher etwas damit zu tun, daS wir Menschen
zehn Finger haben. (Unter anderem spricht dafur z. B., daS das englische Wort fur
"liffer", "digit", direkt vom lateinischen digitus, Finger abstammt.) Wenn es auf dem
Mars menschenahnliche Wesen mit zwolf Fingern gabe, wiirde man dort hochstwahr
scheinlich in einem lwolfersystem rechnen.
Die einfachste lahlenschreibweise, bei der jede liffer einen bestimmten Stellenwert hat,
ist das Zweiersystem, das auf dcr Grundzahl 2 und ihren Potenzen beruht. Es ist auch
unter den Bezeichnungen Duo/system, Biniirsystem oder dyadisches System bekannt.
Heute noch gibt es Eingeborenenstamme, bei denen nach dem lweiersystem gerechnet
wird; und offenbar haben auch die Mathematiker im alten China schon dieses System
gekannt. Aber der erste, der ein systematisches Interesse am lweiersystem gezeigt hat,
war wohl doch der groSe Philosoph und Mathematiker Gottfried Wilhe/m Leibniz, der in
ihm eine tiefe metaphysische Wahrheit verkorpert sah. Die Null stand, so wie er es sah,
fiir das Nichtseiende, das Nichts, und die Eins fur das Seiende bzw. die Substanz. Beide
aber waren fur den Schopfer der Welt gleichermaSen unentbehrlich; denn eine ausschlieS
lich aus reinem Sein bestehende Welt, in der nichts von dem vorkommt, was Macbeth
"sound and fury, signifying nothing" genannt hat, ware ja auf keine Weise von einer
vollig leeren Welt zu unterscheiden. Genauso, wie im lweiersystem jede lahl als eine
Foige der leichen 0 und 1 darstellbar 1st, resultiert nach Leibniz die gesamte mathe
matische Struktur der von Gott geschaffenen Welt aus der urspriinglichen Trennung
zwischen Sein und Nichts.
In der leit nach Leibniz und noch bis in die jiingste Vergangenheit hielt man das lweier
system dann mehr oder weniger fur ein bioSes Kuriosum ohne jede praktische Bedeu
tung. Aber dann kamen die Computer, und deren Bauelemente waren dem lweiersystem
wie auf den Leib geschnitten: Schalter sind entweder ein- oder ausgeschaltet; Leitungs
einheiten fiihren Strom oder nicht; Magnete haben einen Nord- und einen Siidpol;
Speichereinheiten sind besetzt oder leer. Es ist klar, daS derartige Maschinen besonders
rasch und reibungslos funktionieren miissen, wenn man die Daten, die man ihnen eingibt,
vorher fur sie mundgerecht in ein lweiersystem iibertragt, oder, um es in der Sprache der
1 Gardner, Knobeleien
Computertechniker zu sagen, biniir eodiert. Und so kam es, wie Tobias Dantzig in "Num
ber, the Language of Science" bemerkt, "schlieglich soweit, dag etwas, was friiher einmal
als ein Monument des Gottesglaubens gegolten hatte, nun von den Eingeweiden eines
Roboters verschlungen wurde."
Aber selbst wenn man sich nichts aus Computern und ihrem Binarcode macht, gibt es
noch eine ganze Reihe von echten mathematischen Spielereien, fiir die das Zweiersystem
unentbehrlich ist: bei dem Spiel Nim, bei mechanischen Konstruktionsproblemen wie
dem Turm von Hanoi und den eardanisehen Ringen, bei Kartentricks und unzahligen
anderen "harten Niissen". Wir wollen hier nur auf einen nicht ganz unbekannten Satz von
"Gedankenlesekarten" und einen eng mit ihm verwandten Satz von Lochkarten eingehen,
mit deren Hilfe sich einige recht bemerkenswerte binare Rechenkunststiicke vollfiihren
lassen.
Die Konstruktion der Gedankenlesekarten wird durch Bild 1 verdeutlicht. Auf der linken
Seite dieses Bildes sehen wir die Dualzahlen von 0 bis 31. Jede Ziffer in den Spalten dieser
Tabelle markiert das Auftreten einer Potenz von 2; wenn wir die Zeilen von rechts nach
links lesen, sehen wir, ob die Potenzen 2° = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 und 24 = 16 in der
betreffenden Zahl vorkommen oder nicht. Der in Dezimalzahlen ausgedriickte Wert die
ser Potenzen steht jeweils iiber der betreffenden Spalte. Um eine Dualzahl in die ihr ent
sprechende Dezimalzahl zu iibersetzen, braucht man nur die Potenzen von 2 zu addieren,
unter den en bei dieser Dualzahl eine 1 steht. 10101 z. B. steht fUr 16 + 4 + 1, d. h. fUr 21.
Um 21 wieder als Dualzahl auszudriicken, miissen wir das Verfahren umkehren: wir teilen
21 durch 2 und erhalten 10, mit dem Rest 1. Dieser Rest ergibt die erste Ziffer, die wir in
dem gesuchten dyadischen Ausdruck ganz rechts hinschreiben miissen. Ais nachstes teilen
wir 10 durch 2. Das geht ohne Rest auf; die zweite Ziffer von rechts ist also O. Dann tei
len wir 5 durch 2, usw., bis wir die Duaizahl10101 erhalten. Beim letzten Schritt miissen
wir 1 durch 2 teilen, was null mal geht und den Rest 1 ergibt.
Um nun diese Liste von Dualzahlen in einen Satz von Gedankenlesekarten umzuwandeln,
verfahrt man einfach so: kommt in einer der Spalten eine 1 vor, ersetzt man sie durch
den Dezimalausdruck fiir die Dualzahl, zu der diese 1 geh6rt. Das Ergebnis konnen wir
auf der rechten Seite unseres Bildes sehen. Wir iibertragen jede der fUnf Spalten von Zah
len auf eine eigene Karte, driicken diese fiinf Karten jemandem in die Hand, bitten ihn,
sich irgendeine beliebige Zahl zwischen 0 und 31 (beide eingeschlossen) zu denken und
uns dann all die Karten zuriickzugeben, auf denen diese Zahl erscheint. Danach k6nnen
wir ihm sofort sagen, an welche Zahl er gedacht hat: Wir brauchen dazu nur die ober
sten Zahlen auf den Karten zu addieren, die er uns zuriickgegeben hat.
Wie funktioniert das? Nun, es gibt eine und nur eine Kombination von Karten fiir jede
Zahl, und diese Kombination ist der dyadischen Darstellung der Zahl aquivalent. Wenn
man die obersten Zahlen auf den Karten addiert, addiert man faktisch diejenigen Poten
zen von 2, die in der dyadischen Darstellung der gedachten Zahl die Ziffer 1 aufweisen.
Man kann den Trick noch etwas undurchsichtiger machen, indem man fiinf verschieden
farbige Karten benutzt. Dann kann man sich in die gegeniiberliegende Ecke des Zimmers
stell en und seinen Mitspieler bitten, aile Karten, auf denen seine Zahl vorkommt, in die
eine Hosentasche zu stecken, und aile iibrigen in die andere. Auf diese Weise kann man
2
Gedanken
Binarzahlen
lesekarten
16 8 4 2 1
o 0
1
2 1 0 2
3 1 1 3 3
..
4 1 0 0
5 1 0 1 5 5
6 1 1 0 6 6
7 1 1 1 7 7 7
8 1 0 0 0 8
9 1 0 0 1 9 9
10 1 0 1 0 10 10
11 1 0 1 1 1\ II II
12 1 1 0 0 12 12
13 1 1 0 1 13 13 13
14 1 1 1 0 14 14 14
15 1 I I I 15 15 15 15
16 I 0 0 0 0 16
17 I 0 0 0 I 17 17 :
18 1 0 0 1 0 18 18
19 1 0 0 1 1 19 19 19
20 1 0 1 0 0 20 I 20
21 1 0 1 0 1 21 121 21
22 1 0 1 1 0 22 22 22
23 1 0 1 1 1 23 23 23 23
Bild 1
24 1 1 0 0 0 24 24
Die Zahlen auf den fiinf Gedankenlese-
25 1 1 0 0 1 25 25 25 karten rechts basieren auf den Binar-
26 1 1 0 1 0 26 26 26 zahlen links
27 I 1 0 1 1 27 27 27 27
28 1 1 1 0 0 28 28 28
29 1 1 1 0 1 29 29 29 29
30 1 1 1 1 0 30 30 30 30
31 1 1 1 1 1 31 31 31 31 31
schon von weitem erkennen, welche Zahl er gewahlt hat, vorausgesetzt natlirlich, daIS
man inzwischen nicht vergilSt, welche Farbe zu welcher Potenz von zwei gehort. Eine
andere Moglichkeit ware, daIS man die fiinf - in diesem Faile einfarbigen - Karten der
Reihe nach auf den Tisch legt, sich in die gegeniiberliegende Zimmerecke zuriickzieht
und den Mitspieler auffordert, die Karten, auf denen seine Zahl erscheint, umzudrehen.
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