Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs PDF
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Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band 141 Herausgegeben von J.L.Doob . E.Heinz . F.Hirzebruch . E.Hopf· H.Hopf W. Maak . S. Mac Lane· W. Magnus· D. Mumford M. M. Postnikov . F. K. Schmidt· D. S. Scott . K. Stein C;esch~t~uhrende Herausgeber B. Eckmann und B. L. van der Waerden Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs lIerausgegeben von R. Sauer 1. Szab6 Unter Mitwirkung von H. Neuber· W. Niimberg. K. Poschl E. Truckenbrodt . W.Z ander Teil III VerfaBt von T.P.Angelitch. G.Aumann . F.L.Bauer R. Bulirsch . H. P. Kunzi . H. Rutishauser J. K. Samelson . R. Sauer . Stoer Mit \01 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1968 ISBN-13: 978-3-642-95031-5 e-ISBN-13: 978-3-642-95030-8 DOl: 10.1007/978-3-642-95030-8 Aile Rech te vorbehalten Reb. Teil dies€s Buches dad ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlages iibersetzt oder in irgendeiner Fonn vervielHiltigt werden @ by Springer. Verlag Berlin and Heidelberg 1968 Softcoverreprint of the hardcover 1st edition 1968 Library of Congress Catalog Card Number 68-'7298 TiteJ Nr. ,124 Vorwort der Herausgeber zum Gesamtwerk Das auf vier Bande angelegte Werk "Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs" (MH1), von dem hier der dritte Teilband vorliegt, will den Ingenieur mit dem modernen Stand der Mathematik vertraut machen, soweit es sich urn Theorien und Methoden handelt, die fUr das Ingenieur wesen von Bedeutung sind oder von Bedeutung zu werden versprechen. An mathematischen Vorkenntnissen wird lediglich der Stoff der mathe matischen Kursvorlesungen vorausgesetzt, wie sie an den deutschen Technischen Hochschulen in den ersten drei oder vier Semestern gehalten werden. Der rasche Fortschritt der Technik im Verein mit den Naturwissen schaften hat dazu gefUhrt, daB fUr die Bearbeitung technischer Probleme immer umfassendere mathematische Hilfsmittel benotigt werden. 1m Zuge dieser Entwicklung sind einerseits manche abstrakten mathemati schen Disziplinen, die im Rahmen der sogenannten "reinen Mathematik" ohne irgendeinen Bezug auf Anwendung entstanden waren (wie z. B. die Boolesche Algebra), heutzutage ein wichtiges Werkzeug fUr den Ingenieur geworden. Andererseits haben praktische BedUrfnisse in Technik und Wirtschaft zum Ausbau neuer Zweige der Mathematik gefUhrt (z. B. Optimierungsprobleme in der Unternehmensforschung). Viele Ingenieure benotigen daher in ihrer Praxis sowohl eine vertiefte Kenntnis der alteren klassischen mathematischen Disziplinen als auch Vertrautheit mit neu entstandenen Zweigen der Mathematik. Dieser Gesichtspunkt ist fUr die Stoffauswahl der MHl maBgebend gewesen. NatUrlich ist die getroffene Auswahl letzten Endes subjektiv. Die Herausgeber hoffen jedoch, unterstUtzt durch die Redakteure undAutoren, nichts Wichtiges, fUr das ein breites BedUrfnis besteht, Ubersehen zu haben. Die MHl sind mehr als eine Formelsammlung im Ublichen Sinn. Sie bringen namlich in jeder der behandelten Disziplinen nicht nur den er forderlichen Formelapparat, sondern dazu auch die grundlegenden Definitionen, Satze und Methoden, und zwar in einer Darstellung, die der auf physikalisch-geometrische Anschaulichkeit gerichteten Denkweise des Ingenieurs Rechnung tragt. Das heiBt: Die in den Definitionen ein gefUhrten Begriffe werden, soweit dIes moglich ist, anschaulich erlautert, und es wird stets versucht, dem Leser verstandlich zu machen, aus welchem Grund die betreffenden Begriffe eingefUhrt werden. Bei den a* VI Vorwort der Herausgeber Satzen und Methoden wird dem Leser das Verstandnis durch Beispie1e und plausible Begriindungen erleichtert. Beweise werden nur in solchen FaIlen gebracht, in denen sie fiir das Verstandnis eines Satzes oder einer Methode notwendig sind. Durch Hinweise auf Lehrbiicher wird der Leser jedoch in den Stand gesetzt, von Fall zu Fall sich auch iiber die Beweise zu orientieren. Der heutzutage weit verbreitete Einsatz von Rechenautomaten hat in der angewandten Mathematik insofem eine Wandlung gebracht, als neben "geschlossenen", d. h. formelmaBig gegebenen L6sungen auch Algorithmen zur numerischen L6sung mathematischer Probleme groBe Bedeutung erlangt haben. Diesem Umstand wird an vielen Stellen der MHI durch ausfiihrliche Behandlung einschlagiger numerischer Ver fahren Rechnung getragen. In diesem Zusammenhang ist besonders auf Teil II und vor aHem auf den hier vorliegenden Teil III hinzuweisen, in dem drei Abschnitte speziell der Numerik gewidmet sind. Ein an gehiingter Abschnitt des Teiles III beschiiftigt sich auBerdem mit der logischen Struktur der Rechenautomaten und mit grundsatzlichen Fragen der Programmierung. Obwohl die MHI in erster Linie auf die Bediirfnisse der Ingenieure ausgerichtet sind, werden sie auch von Naturwissenschaftlem, insbe sondere Physikem, sowie von Mathematikem mit Nutzen verwendet werden k6nnen. Und entsprechend dem Vordringen mathematischer Methoden in immer weitere Bereiche werden auch fiir Vertreter anderer Disziplinen manche Abschnitte des Werkes von Interesse sein, z. B. flir Wirtschafts- und Betriebswissenschaftler der Abschnitt J fiber lineare und nichtlineare Optimierung in Teil III und in Teil IV der Abschnitt M iiber Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1m letzten Band findet man eine Zusammenstellung der grundlegenden Formeln der theoretischen Ingenieurwissenschaften, insbesondere der Mechanik und der Elektrotechnik. Damit soH dem Benutzer fiir ein groBeres Gebiet von "Normalproblemen" der entsprechende Vorrat von Ausgangsgleichungen mitgegeben und zum Teil eine zusatzliche Ver kniipfung mit dem mathematischen Stoff hergestellt werden. Die Vorbereitung eines so umfassenden Vorhabens bringt durch Terminfragen und die notwendige gegenseitige Abstimmung der einzel nen Beitrage naturgemaB erhebliche Schwierigkeiten mit sich. Den beiden Herausgebem ist es daher ein herzliches Bediirfnis, allen Autoren fiir ihre Miihe und Geduld zu danken, Herrn Professor Dr. KLAUS POSCHL und Herrn Dipl.-Ing. WOLFGANG ZANDER auBerdem noch fiir die kritische Durchsicht und Koordinierung der Manuskripte und schlieBlich auch den zahlreichen Mitarbeitem der Autoren, die sich am Korrekturlesen beteiligt haben. Besonderer Dank gebiihrt dem Springer-Verlag, der den Plan, das vorliegende Werk herauszubringen, alsbald verstandnisvoll Vorwort zu Teil III VII aufgegriffen und seine Durchfuhrung von Anfang an und uber manche auBeren Hemmnisse hinweg tatkraftig gefordert hat, so daB nunmehr nach dem ersten auch der dritte Teil des Werkes in der bekannten vorzuglichen Ausstattung erscheinen kann. Das Gesamtwerk wird, auch bei Bejahung der ihm unterliegenden Konzeption durch den Leser, noch manche Wunsche offen lassen. Autoren wie Herausgeber sind schon jetzt fur alle Anregungen dankbar, die aus dem Benutzerkreise an sie herangetragen werden. Selbstverstandlich sind in diesem Wunsch auch Hinweise auf Fehler und Druckfehler ein geschlossen, die sich ja trotz der Muhe aller Beteiligten nie vollig ver meiden lassen. Munchen-Berlin, im Fruhjahr 1968 ROBERT SAUER ISTVAN SZABO Vo rwort zu Teil III Nach Teilband I, in dem in den Abschnitten A bis C die Funk tionentheorie, die fur die Anwendungen wichtigsten "speziellen Funk tionen" und die Funktionaltransformationen behandelt wurden, erscheint nun Teilband III des auf insgesamt vier Teilbande angelegten Werkes "Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs" (MHI). ]eder Abschnitt und jeder Teilband des Werkes ist zwar durch Hinweise mit anderen Abschnitten und Teilbanden verkettet, ist aber trotzdem ein selb standiger Bestandteil und kann ohne Kenntnis vorangehender Ab schnitte verstanden werden. Teilband III der MHI umfaBt sechs Abschnitte F bis K. 1m Ab schnitt F werden die Grundzuge der Algebra und des Matrizenkalkuls gebracht, soweit sie heutzutage in verschiedenen Zweigen der Ingenieur mathematik benotigt werden, vor allem auch in der numerischen Mathematik beim Einsatz von Rechenanlagen. Da es erst vor kurzem ublich geworden ist, die Algebra und den Matrizenkalkiil in die all gemeine Kursvorlesung der Technischen Hochschulen einzubauen, ist Abschnitt F fUr Ingenieure, deren Ausbildungsgang Ianger zuruckliegt, von besonderer Wichtigkeit. Abschnitt Gist der Geometrie gewidmet. VIII Vorwort zu Teil III Er gliedert sich in zwei Unterabschnitte G I (affine und projektive Geometrie, Kegelschnitte und Flachen zweiten Grades, Nomographie, spharische Trigonometrie, Vektorrechnung, Grundzfige der Differential geometrie der Kurven und Flachen mit Anwendungen auf die Getriebe lehre) und q II (ausfUhrliche Darstellung der Tensorrechnung, die vor aHem bei Anwendungen in der Mechanik und insbesondere in der Kon tinuumstheorie ein wesentliches Rfistzeug des Ingenieurs ist). Der an spaterer Stelle folgende Abschnitt J fiber "Lineare und nichtlineare Optimierung" behandelt ein in Deutschland verhaltnismaBig neues Anwendungsgebiet der Mathematik. Es wird in den angelsachsischen Landern seit langerer Zeit, insbesondere im Rahmen des Operations Research, gepflegt. Diese bei uns Unternehmensforschung genannteDiszi plin und speziell der hier behandelte schon praktisch wichtig gewordene Teilbereich entwickelte sich aus den mit der heutigen MassengeseHschaft zusammenhangenden Fragen der Organisation und aus der Notwendig keit, moglichst rationell zu produzieren, d. h. unter verschiedenen ein schrankenden materiellen, personellen und zeitlichen Bedingungen ein moglichst gfinstiges Ergebnis zu erzielen. Die fibrigen Abschnitte H, lund K des vorliegenden Teilbandes III der MHI dienen unmittelbar oder mittelbar den Erfordernissen der modernen numerischen Mathematik unter dem EinfluB des Einsatzes von Rechenautomaten. Abschnitt H enthalt Verfahren zur Interpolation und numerischen Quadratur, durchweg ausgerichtet auf die Verwen dung von Rechenautomaten. Alle angegebenen Verfahren sind an groBen Rechenz.entren praktisch erprobt, und groBenteils sind auch ge eignete und in ALGOL formulierte Rechenprogramme ffir den auf diesem Gebiet interessierten Leser hinzugefUgt. Dasselbe gilt fUr den Ab schnitt I fiber die Approximation von Funktionen, und zwar im Unter abschnitt I II, der die Darstellung von Funktionen in Rechenanlagen zum Gegenstand hat. In dem vorangehenden Unterabschnitt I I, dessen Kenntnis im Unterabschnitt I II nicht vorausgesetzt wird, sind fUr mathematisch tiefer interessierte Leser die theoretischen Grundlagen der Approximationstheorie kurz und pragnant zusammengestellt. Abschnitt K befaBt sich unmittelbar mit den Rechenanlagen. Dabei geht es nicht etwa urn die Beschreibung konkreter Rechenanlagen oder urn tech nische Fragen, sondern urn eine kurze Ubersicht tiber die der Auto matisierung von Prozessen zugrunde liegenden prinzipiellen logischen Probleme ("Modelle" und Algorithmen, Mechanisierung der Daten verarbeitung, Programme und formale Sprachen). Ebenso wie beim Teilband I der MHI sind auch hier beim Teil band III Autoren und Herausgeber nicht nur ffir Hinweise auf Un stimmigkeiten und Druckfehler, sondern auch fUr Anregungen jeder Art dankbar. Vorwort zu Teil III IX Den Herausgebern ist es ein herzliches Bedtirfnis allen, die speziell am Zustandekommen des vorliegenden Teilbandes mitgewirkt haben, aufs warmste zu danken. Besonders aber danken sie dem Springer Verlag sowie den Autoren, die es ermaglicht haben, das Buch in einer im Vergleich zum Umfang des Vorhabens verhaltnismaBig kurzen Zeit zustande zu bringen. Mage auch Teilband III der MHI einem groBen Benutzerkreis dienlich sein. Mtinchen-Berlin, im Frtihjahr 1968 ROBERT SATER ISTV• . \N SZABO Inhaltsverzeichnis F. Algebra Von Dr. FRIEDRICH L. BAUER o. Professor an der Technischen Hochschule Munchen und Dr. JOSEF STOER Dozent an der Technischen Hochschule Mtinchen, z. Z. La Jolla (USA) § 1. Grundlagen der allgemeinen Algebra 1.1 Mengen und Abbildungen . 1 1.2 Algebraische Strukturen 3 1.3 Halbgruppen 5 14 Gruppen .. 7 1.5 Ringe .... 11 1.6 Teilbarkeit. . 13 1. 7 Korper und Schiefkorper 15 1.8 Vektorraume. 19 1.9 Algebren. . 25 1.10 Verbande . 26 § 2. Lineare Algebra 30 2.1 Der Rang linearer Abbildungen 30 2.2 Basistransformationen. . . . . 35 2.3 Das Skalarprodukt. Hermitische, unitare und definite lineare Ab- bildungen . . . . . . . . . 36 2.4 Quadratische und hermitische Formen 40 2.5 Determinanten. . . . . . . 42 2.6 Das Vektorprodukt im R3 46 2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren. 47 2.8 Die Jordansche Normalform. . 49 29 Spezielle Klassen von Matrizen 53 2.10 Normierte Vektorraume. . . . 58 § 3. Die Lage von Nullstellen und Eigenwerten in der komplexen Ebene. 65 3.1 Nullstellen von Polynomen . 65 3.2 Eigenwertabschatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Nichtnegative Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 M-Matrizen und Iterationsverfahren zur Gleichungsaufliisung 83 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Inhaltsverzeichnis XI G. Geometrie und Tensorkalkiil I. Geometrie Von Dr. Dr.-lng. E. h. ROBERT SAUER o. Professor an der Techlllschen Hochschule Munchen § I. Affine Geometrie . . . . . . . . . . . . 86 1.1 Lineare Transformationen . . . . . . 86 1.2 Eigenschaften der affinen Abbildungen 87 1.3 Orthogonale Transformationen . . . . 89 1.4 Affine Klassifikation der Kegelschnitte in der Ebene (n = 2) 90 1 5 Affine Klassifikation der Flachen zweiter Ordnung im dreidlmensio- nalen Raum in = 3) . 91 § 2. Projektive Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94 2.1 Homogene projektive Koordinaten und uneigentliche Elemente. 94 2 2 Lineare Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . .. 94 2.3 Eigenschaften der projektiven Abbildungen . . . . . . . .. 95 2.4 Projektive Erzeugung und Klassiflkation der Kurven zweiter Ord- nung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.5 ProJektive Erzeugung und KlasSlfikatlOn der Flachen zweiter Ord- nung. . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.6 Linien- und Ebenenkoordinaten; Dualitat 99 2.7 Beispiele zum Dualitlitsgesetz 101 § 3. Nomographie. . . . . . . . . . 102 3.1 Skalen und Doppelskalen. . . 102 3.2 Netztafeln fur Funktionen von 2 Veranderlichen 103 3.3 Geradlinige Netztafeln fur Funktionen von 2 Verlinderlichen. 104 3.4 Skalentafeln filr Funktionen von 2 Veninderlichen . . . .. 105 3 5 Erlliuterungen an einem Beispiel . . . . . . . . . . . .. 108 36 Nornograrnrne fiir Funktionen von rnehr als 2 Veranderlichen 109 § 4. Spharische Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . ., 110 4 1 Drelkant und Polardreikant; sphlinsches Dreieck. . . . .. 110 4.2 Grundformen filr die Seiten und Winkel des spharischen Drelecks 111 4.3 Folgerungen aus den Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . 1.12 4.4 Spezialisierung der Grundformeln fur das rechtwinklige sphlirische Dreieck 113 § 5. Vektoralgebra ........... . 114 5.1 Linearkombinationen von Vektoren 114 5 2 Innenprodukt zweier Vektoren 115 5.3 AuBenproduktzweier Vektoren .. 116 54 Spatprodukt dreier Vektoren ... 117 5.5 Weitere Slitze der Vektorrechnung 118 § 6. Vektoranalysis . . . . . . . . . . . 119 6.1 Differentialoperator gradF in einem skalaren Feld 119 6.2 Differentialoperatoren in einem Vektorfeld . 120 6.3 Integralsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
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