Mathematische Grundlagen der Zweiortskurvenverfahren zur Stabilitätsprüfung von Regelungssystemen

44 Pages·1969·0.876 MB·German

by  Priv.-Doz. Dr. Rolf Kaerkes (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.2033
Herausgegeben im Auftrage des Ministerprasidenten Heinz Kuhn
von Staatssekretar Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Priv.-DoZ. Dr. Rolf Kaerkes
Dozentur im Institut fur Mathematik
der Rhein.-Westf. Technischen Hochschule Aachen
Mathematische Grundlagen
der Zweiortskurvenverfahren zur Stabilitatspriifung
von Rege1ungssystemen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1969
ISBN 978-3-663-06377-3 ISBN 978-3-663-07290-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07290-4
Veriags-Nr.012033
© 196 9 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Urspriinglich erschienin bei Westdeutscher Verlag GmbH, K61n und Op1aden
Reprint of the original edition 1969
Inhalt
1. Diskussion des funktionentheoretischen Standpunktes in der Ortskurventheorie 5
2. Der Zusammenhang zwischen der Umlaufzahl der Differenz von Ortskurven
und deren Schnittpunkten in der Theorie der stetigen Funktionen . . . . . . . . . . 7
3. Topologischer Index, Kronecker-Index und Schnittstellen-Index. . . . . . . . . . .. 13
4. Anwendung und Beispiele ............................................. 19
5. Die Ergebnisse von P. ]ONES .......................................... 31
6. Die Ergebnisse von P. N. NIKIFORUK und D. D. G. NUNWEILER . . . . . . . . . . .. 33
7. Das Kriterium von H. CREMER und F. KOLBERG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
3
1. Diskussion des funktionen theoretischen Standpunktes in der
Ortskurventheorie
Seit den grundlegenden Arbeiten von H. NYQUIST [16], A. LEONHARD [11] und
L. CREMER [7] werden die Kriterien zur Stabilitätsprüfung linearer zeitinvarianter
Übertragungssysteme mittels Orts kurven meist als typisches Anwendungsgebiet der
Funktionentheorie behandelt.
Der Grund ist naheliegend. Die Übertragungsfunktion eines solchen Systems ist eine
rationale Funktion. Das System ist (im Ljapunovschen Sinne) asymptotisch stabil, wenn
die Nullstellen seiner Übertragungsfunktion außerhalb einer geeigneten Nyquistkontur,
also außerhalb eines gewissen Jordanbereichs liegen. Die Abbildung der Nyquist
kontur, d. h. des orientierten Randes dieses Bereichs, durch die Übertragungsfunktion
bestimmt die Orts kurve (des Frequenzganges) der Übertragungsfunktion. Zur Ge
winnung von Aussagen zur Beurteilung der Stabilität des Systems aus geometrisch
anschaulich nachprüfbaren Eigenschaften der Orts kurve der Übertragungsfunktion
bieten sich die beiden folgenden Schritte an: 1. Die Herstellung des Zusammenhangs
zwischen Orts kurve und Lage der Nullstellen der Übertragungsfunktion bezüglich der
Nyquistkontur durch den Satz vom logarithmischen Residuum [2], 2. die Abschätzung
des Integralwertes durch Ausnutzung der Eigenschaften konformer Abbildungen.
Liegen beispielsweise auch die Polstellen außerhalb der Nyquistkontur, so führt dieses
Vorgehen direkt zum Ziel, wenn man annimmt, daß die Orts kurve die Abbildung der
Nyquistkontur ist.
Ein Vergleich dieser letzten Annahme mit den praktischen Gegebenheiten gibt jedoch
einen ersten Hinweis darauf, daß es gerade für eine exakte Behandlung der auftretenden
Probleme nicht zweckmäßig ist, die Ortskurventheorie als typisches Anwendungsgebiet
der Funktionentheorie anzusehen. Die besondere Bedeutung der Ortskurvenkriterien
für die Technik liegt darin, daß diese Kurven durch Messung erzeugt werden können [12].
Diese Kurven stimmen aber mit der Abbildung der Nyquistkontur durch die Über
tragungsfunktion höchstens bis auf lokale Deformationen überein. Dennoch kann man
auf eine Unterscheidung zwischen gemessener und »theoretischer« Ortskurve ver
zichten. Man hat dazu nur daran zu erinnern, daß das im Satz vom logarithmischen
Residuum auftretende Integral eine spezielle Darstellung der Umlaufzahl der Einschrän
kung auf die Nyquistkontur der im Nenner des Integranden stehenden Funktion in
bezug auf den Nullpunkt der Bildebene ist [20]. Diese Umlaufzahl bleibt ungeändert,
wenn man zu einer Funktion der gleichen Homotopieklasse (in der im Nullpunkt
punktierten komplexen Ebene) übergeht. Äquivalenzkriterien liefern die Sätze von
POINCARE-BüHL und RüucHE [8]. Die scheinbar aufgetretene Schwierigkeit läßt sich
hier also sofort ausräumen, wenn man auf die Theorie der stetigen Funktionen zurück
greift.
Dieser Standpunkt rückt erst in den Vordergrund mit den Arbeiten von W. OPPELT [17],
P. JÜNES [9], H. CREMER und F. KOLBERG [6] und P. N. NIKIFüRUK und D. D. G.
NUNWEILER [15], (der Ansatz von K. TH. V AHLEN [23] blieb offenbar unbeachtet).
Die dort behandelte Verallgemeinerung des Nyquistkriteriums läßt sich im zweiten
Schritt auf die Aufgabe reduzieren, die Umlaufzahl einer Differenzortskurve aus den
Summanden zu bestimmen. Der Vorschlag von P. JüNES geht dann dahin, das Ver
schwinden der Umlaufzahl der (gedachten) Differenzortskurve aus Eigenschaften der
Summanden in Umgebungen ihrer Schnittpunkte zu entscheiden. Zur Behandlung des
Problems mit diesem Konzept machen wir folgenden Ansatz. Sei (t --+ Cf! (t), t E [-a, a])
5
eine Parameter darstellung einer Nyquistkontur und seien f: = F 0 ({J und g : = Go ({J
die Orts kurven der Übertragungsfunktionen Fund G. Dann sind die Parameterwerte
paare in den Schnittpunkten von fund g die Nullstellen einer komplexen Funktion
h(x,y)
((x,y) ---* h(x,y):= f(x) - g(y); (x,y) E [-a, a)2),
x = Re Z, y = Imz. Setzen wir x(t) = t und y(t) = t, so ist die Differenzortskurve
die Abbildung
(t ---* h(x(t),y(t)); tE [-a, a])
während die Einschränkungen
(t ---* h(x(t),y(-a); tE [-a, a])
und
(t ---* h(x(a),y(t)); tE [-a, a])
die umy(a) resp. x(a) parallel verschobenen Ortskurvenf und g darstellen. Die Zu
sammensetzung der Strecken
wiederum ist eine geschlossene orientierte Jordankurve in der komplexen Ebene. Der
Vorschlag von Jones kann weiter verfolgt werden, wenn ein Zusammenhang zwischen
der Differenzortskurve, den Orts kurven fund g und den Nullstellen der durch fund g
bestimmten Funktion h (also den Schnittstellen von fund g) hergestellt werden kann.
Dazu liegt aber hier die gleiche Situation vor wie zu dem eingangs beschriebenen
ersten Schritt, nur ist die Funktion h im allgemeinen zwar noch stetig aber nicht mehr
holomorph. Wollen wir dem obigen Ansatz folgen, so müssen wir also auf die Theorie
der stetigen Funktionen zurückgreifen. Der Schlüssel ist hier der Cauchy-Kronecker
sehe Existenzsatz. Die allgemeine Lösung des Problems, ausgehend von dem zuvor be
schriebenen Ansatz und eine Analyse der Ergebnisse der Arbeiten [9], [15], [6], ist der
Gegenstand der folgenden Ausführungen.
Benötigt man nun den Cauchy-Kroneckerschen Existenzsatz ohnehin, so kann man,
nach dem Voraufgegangenen auf die Ausnutzung der Eigenschaft der Übertragungs
funktionen holomorph zu sein, ganz verzichten. Denn der Satz vom logarithmischen
Residuum wird ein Spezialfall des Cauchy-Kroneckerschen Existenzsatzes, wenn man
sich auf die Klasse der stetigen komplexen Funktionen beschränkt, die höchstens
isolierte Null-oder Unendlichkeitsstellen besitzen und die Multiplizität (Ordnung) dieser
Stellen als die Umlaufzahl um den Nullpunkt der Bildebene einer Funktion dieser
Klasse längs des orientierten Randes einer hinreichend kleinen Umgebung einer solchen
Stelle erklärt.
6
2. Der Zusammenhang zwischen der Differenz von Orts kurven
und deren Schnittpunkten in der Theorie der stetigen Funktionen
Das betrachtete Problem ist die Bestimmung der Lage der Nullstellen der Differenz
zweier Übertragungsfunktionen Fund G relativ zu einer Nyquistkontur aus geo
metrisch-anschaulich überprüfbaren Eigenschaften der Orts kurven von Fund G (auf
derselben Nyquistkontur) in Umgebungen ihrer Schnittpunkte.
Eine Nyquistkontur* wird gewöhnlich als Abbildung der mit {-00, oo} kompaktifi
zierten Zahlengeraden Rl dargestellt. Sie ist topologisches Bild des Einheitskreises.
Wir können daher annehmen, daß jede Nyquistkontur eine Parameter darstellung
Cr -+ 'tp ((c os x(r), sin X (r»), r E EI) (1 )
besitzt, wobei x(r) = arctan r, rEEt, und 'tp eine topologische Abbildung der Einheits
sphäre 51 in R2 ist.
Zu den Eigenschaften einer Nyquistkontur gehört ferner, daß sie relativ zu den be
trachteten Übertragungsfunktionen so gewählt ist, daß ihr Bild 'tp (51) keine N ull
oder Polstellen dieser Übertragungsfunktionen enthält. Ist H eine Übertragungs
funktion, so ist also erstens H auf 'tp (51) stetig. Sind die Polstellen von H im Innern
der Nyquistkontur bekannt, so ist zweitens die Anzahl der Nullstellen von H im Innern
der Nyquistkontur vollständig durch die Umlaufzahl von H längs der Nyquistkontur
um den Nullpunkt der Bildebene bestimmt.
Um das betrachtete Problem weiter reduzieren zu können, präzisieren wir nun den
Begriff der Umlaufzahl mittels der Variation des Argumentes stetiger Funktionen.
Ist v stetige Abbildung eines kompakten Intervalls [IX, ß] aus Rl in R~ (: = R2 - {(O,O) }),
so existiert eine stetige Abbildung von [IX, ß] in RI, sie sei mit arg v bezeichnet, mit der
Eigenschaft v = I v I exp 0 i arg v [21]. Die durch v eindeutig bestimmte reelle Zahl
v (t) arg v(t):= arg ver) - arg V (IX), r E [IX, ß] (2)
oe
wird die Variation des Argumentes von v auf [IX, r] genannt.
Eine Eigenschaft der Variation des Argumentes ist die Invarianz gegen orientierungs
p,
treue Parametertransformationen. Zwei Abbildungen ft und kompakter Intervalle I
und J aus Rl in R2 heißen orientierungsgleich, wenn es eine stetige und streng monoton
wachsende Abbildung (/) von I auf J gibt derart, daß ft = P, 0 (/) ist. Jede durch die Ab
bildung ft bestimmte Äquivalenzklasse bezüglich der Orientierungstreue in der
Menge der stetigen Abbildungen kompakter Intervalle wird orientierte Kurve genannt
und mit [ft] bezeichnet [22].
Die Variation des Argumentes von H 0 ft ist bzgl. zweier Abbildungen derselben
Klasse [ft] auf ihren Definitionsbereichen gleich. Wir schreiben daher auch
ß
V[,ul arg H:= V (t) arg (H 0 ft) (t), ft: [IX, ß] -?>-R2 (3)
oe
Ist V(IX) = v(ß) und Z Element des Komplements von V( [IX, ßD, so ist die ganze Zahl
1 ß
u(v, z) : = - V (t) arg (v(t) - z) (4)
2n oe
die Umlaufzahl von v um den Punkt z.
* Unter "Nyquistkontur" wird der in der Technik übliche Begriff verstanden, wir benötigen
aber in Kapitel 2 nur die angegebenen Eigenschaften.
7
(5)
ist die Umlaufzahl der Funktion H längs der orientierten Kurve [,u] um den Punkt Z.
Das Bild ,u (1) einer Parameterdarstellung ,u einer orientierten Kurve [,u] wird der
Träger der Kurve genannt und mit I [,u] I bezeichnet.
Ist H speziell eine Übertragungsfunktion (eines linearen zeitinvarianten Systems), also
H rational, und liegen keine Null- oder Polstellen von H auf dem Träger einer orien
tierten geschlossenen Kurve [,u], so gilt bekanntlich [20]:
Damit können wir uns in dem eingangs betrachteten Problem auf die Bestimmung der
Umlaufzahl u[p,](H, Z) beschränken mit H = F - G und Z = (0,0).
Um zu dem in der Einleitung beschriebenen Ansatz zu kommen, reduzieren wir weiter
nach (3). Ist [,u] speziell eine Nyquistkontur, so folgt zunächst nach (1):
1
u[p,](H, Z) = 2 n!:: (r) arg «H o,u) (r) - Z)
Da x(r) stetig und streng monoton wachsend ist, also auch rI(r), so gilt [,u] = [tp] mit
tp = (t -'? 1p(eit); tE [-n, n]).
Also gilt
1 n
u[p,](H, Z) = 2 n ~ (t) arg «H 0 tp) (t) - Z)·
Der in dieser Gleichung rechts stehende Ausdruck ändert sich aber nicht, wenn wir
nun tp auf den ganzen RI periodisch fortsetzen. Denn ist tp diese Fortsetzung und
a = 2 n, so gilt:
v
(t) arg (H 0 tp) (t) = V (t) arg (H 0 tp) (t), IX E RI,
-n
wie man aus (2) sofort abliest.
Wir erweitern nun noch die Bezeichnung (4). Seien fund g stetige mit der Periode a
periodische Abbildungen von RI in R2, deren Differenz an keiner Stelle verschwindet.
Die ganze Zahl
1 "'+
u(f, g) : = -2- V <1 (r) arg (j(r) - ger»~, rx E RI
n '"
wird dann als Umlaufzahl von f um g bezeichnet.
Nach dem vorhergehenden läßt sich nun das eingangs betrachtete Problem auf das
folgende reduzieren. Gegeben sind zwei stetige mit a periodische Abbildungen von
RI in R2. Bestimmt werden soll die Umlaufzahl u(j,g) aus geometrisch-anschaulich
überprüfbaren Eigenschaften der Abbildungen in Umgebungen der Schnittpunkte der
+ +
Träger ihrer Bildmengen f([rx, IX a]) und g([IX, rx a]». Diese Aufgabe soll im
folgenden allgemein gelöst werden.
(V 1) J,g seien stetige mit der Periode a periodische Abbildungen von RI in R2.
8
(D 1) Seien~, 'Yj E RI. Das Paar (~, 'Yj) heißt Schnittstelle vonfmitg, wennf(~) =g(l}).
(~, 1}) heißt isolierte Schnittstelle, wenn (~, 1}) nicht Häufungspunkt verschiedener
Schnittstellen ist.
(V 2) Ist (~, 1}) Schnittstelle von f mit g, so gilt ~ =1= 1}, also f - g: R1 -+ R5. Daraus
folgt: uU,g) existiert. Im Ausgangsproblem folgt diese Aussage aus der Voraus
setzung, daß der Träger der Nyquistkontur keine Nullstelle von H enthält.
Die nun folgenden Voraussetzungen sind durch die beabsichtigte Lösungsmethode
bedingt. Aber auch sie bedeuten keine Einschränkung der Allgemeinheit für die Lö
sung des Ausgangsproblems, weil, wie schon einleitend bemerkt, die Orts kurve nur
bis auf lokale Deformationen eindeutig bestimmt ist. Insbesondere kann also für die
Anwendung angenommen werden, daß fund g stückweise Jordankurven sind und daß
deren Träger höchstens endlich viele Punkte gemeinsam haben.
(V 3) Es gibt wenigstens zwei Parameterwerte Xo ,Yo E RI mit Xo ~Yo < Xo + a
und derart, daß für jede Schnittstelle (~, 1}) von f mit g gilt: ~ =1= Xo und 1} =1= Yo·
Das bedeutet:f(xo) rf-g(RI) undg(yo) rf-f(RI).
(D 2) xo,Yo werden als Basiswerte für fund g bezeichnet.
Sei ferner
y = (t-+(t,t), tE[Xo,Xo +a])
+
Yx = (x -+ (x,Yo), XE [xo, Xo a]) (7)
y~ = (y -+ (xo,y), y E [xo,Yo])
+ +
y~ = (y -+ (xo a,y), y E [Yo, Xo a])
Die zu einer Kurve Lu] entgegengesetzt orientierte Kurve bezeichnen wir mit - Lu]
und die Zusammensetzung zweier Kurven [,u] und [,u] mit [,u] + [,al. Wir bilden die
wie folgt erklärte geschlossene Kurve Co in der (x,y)-Ebene:
Co:= [y] - [y~] - [Yx] - [y~], (8)
und betrachten jetzt das Innere der orientierten geschlossenen Kurve Co. Dazu sei an
dessen allgemeine Definition erinnert. Sei (Ce) ,dO, ... ,n} eine (endliche) Familie ge
schlossener orientierter Kurven in R2. Bezeichnet id die identische Abbildung von R2
auf R2, so ist das Innere O(C1, ... , Cn) die Menge
n
L
O(Cl, ... ,Cn):= {(x,y) ER2: uc,(id,(x,y»=I=ü}.
,~ 0
Das Innere von Co ist dann speziell die Vereinigung der beschränkten Komponenten des
Komplements des Trägers von Co in R2.
Damit formulieren wir als letzte Voraussetzung die folgende.
(V 4) Die Schnittstellen (~, 1}) von f mit g im Innern von Co seien sämtlich isoliert,
d. h. daß ihre Anzahl endlich ist, da fund g auf dem Träger von Co nicht verschwinden
und f resp. g stetig sind.
Wir betrachten nun die Funktion
h : = «x,y) -+ fex) - g(y), (x,y) E R2).
Nach (V 1) ist h eine stetige Abbildung von R2 in R2, die nach (V 2) und (V 3) auf
dem Träger von Co nicht verschwindet. Also existiert
9
Nun gilt allgemein
V[.u] + [i'i] arg h = V[.u] arg h + V[i'i] arg h
und
V_[.u] arg h = - V[.u] arg h.
Damit folgt
VCo arg h = V[v] arg h- V H] arg h - V[vx] arg h-V[vu arg h
Nach Definition (7) ist aber
(h 0 y) (t) = rest[xo,xo + er] (j(t) - g(t»,
(h 0 Yx) (x) = rest[xo,xo + er] (j(x) - g(yo»,
und
(h 0 yD (y) = rest [Xo,Yo] (g(y) -f(xo», *
+
(h 0 y~) (y) = rest [Yo, Xo + er] (g(y) - f(xo a».
+
Beachten wir, daß nach (V 1) f(xo) = f(xo a) ist, so gilt nach (3):
~+er ~+er
VCo arg h = V (t) arg (j(t) - g(t» - V (t) arg (j(t) - g(yo»
Xo + a
- V (t) arg (g(t) - f(xo»
Xo
oder unter Benutzung der in (6) eingeführten Bezeichnung
1
2 n VCo arg h = u(j,g) - u(j,g(yo» - u(g,f(xo».
Es kommt nun darauf an, V Co arg h in Beziehung zu den Schnittstellen von f mit g zu
setzen. Dazu treffen wir noch folgende Vereinbarungen.
(D 3) Sei (~, 'Yj) eine Schnittstelle von f mit g. Dann werden die Werte der Abbildung
(~, rJ) ~ Je ((~, r/), (f, g» : = uc 0 (id, (~, 'Yj»
die Bewertungen der Schnittstellen genannt, uCo (id, (~, 'Yj» die Umlaufzahl der Kurve Co
um den Punkt (~, rJ) [vgl. (5), (3) und (8)].
Nach Definition von h sind nun die Schnittstellen von f mit g die Nullstellen von h.
Sei ((Xt, yt», E {i, ... ,n} die Familie aller Schnittstellen von f mit g mit nicht verschwin
dender Bewertung. Nach (V 4) gibt es dann für jedes t E {1, ... , n} eine abgeschlossene
Kreisscheibe K (( X t, Y t» um (x t> Y J mit den folgenden Eigenschaften: 1. K (( X t, Y t»
liegt ganz im Innern von Co und 2. K((xt, yt» enthält außer (Xt, yt) keine weitere
Nullstelle von h. Wir ordnen nun jedem t E {1, ... , n} eine orientierte Kurve Ct nach
folgender Vorschrift zu:
C t ist eine geschlossene orientierte Jordan-Kurve,
IC t I ist der Rand der Kreisscheibe K (( X t, Y t» (9)
Uc t(id, (Xt,y t» = - Je((Xt,yt), (j,g».
T T
* Allgemein gilt: V (t) arg v (t) = V (t) arg (- v (t», T E [IX, ß]
10
Es ist klar, daß Ct für jedes t E {1, ... , n} existiert und insbesondere die Eigenschaften
hat:
Ct liegt im Innern von Co, (10)
und h(x,'y) =1= 0 für alle (x,]) E ICtl, also
n
h(x,'y) =1= 0 für alle (x,]) E U I Ct I (11 )
,~o
Aus (10) folgt wiederum: Aus
A((~, 1'), (f,g» = of olgt uct(id, (~, 1/» = 0 für t E {1, ... , n}. (12)
Wir behaupten nun: Aus
(x,]) E O(CI, ... , Cn) folgt hex,]) cF 0 (13)
d. h. für jeden Punkt des Inneren der Familie der Kurven (Co, ... , Cn) verschwindet h
nicht.
Beweis: Es ist zu zeigen, daß für jede Nullstelle (~, 1') von h gilt:
n
L
uCt(id, (~, 1')) = 0
,~O
Ist (~, 1') eine Nullstelle mit verschwindendem },((~, 1'), (f, g», so folgt diese Behauptung
aus (12) für t = 1, ... , n und aus der Definition von A für t = O. Ist aber A((~, 1J),
(f,g» =1= 0 etwa ~ = xx, 1J = ]x, so folgt aus (9) und der Definition von K((xt,]t»
entsprechend (12)
UCt(id, (xx,]x» = 0 für t =1= 0 und t =1= x.
Daher gilt
n
L
uct(id,(xx,'yx» =uco(id,(xx,.yx» +ucx(id,(xx,]x»
, ~O
Nach (9) und Definition von A ist aber
tlCx(id, (xx,]x» = - tlco (id, (xx,]x»
und daraus folgt die Behauptung (13).
Damit sind alle Voraussetzungen gegeben, um eine Beziehung zwischen uU, g) und
den Schnittstellen von f mit g herzustellen. Die verbindende Aussage ist der Existenz
satz von CAUCHy-KRONEcKER [1], [3], [10). Seine hier benötigte Formulierung lautet:
Sei (Ct)'E{O, ... ,n) eine Familie geschlossener orientierter Kurven in R2, h eine stetige
n
Abbildung von R2 in R2, die auf dem Träger U IC t I und dem Innern O(CI, ... , Cn)
,~O
der Familie nicht verschwindet. Dann gilt:
n
L V C t arg h = O.
,~O
Nach (V 1), (V 2), (11) und (13) sind die Voraussetzungen dieses Satzes hier erfüllt.
Daher gilt:
n
VCo arg h + L VCt arg h = O.
,~O
11