Mathematische Grundlagen der Kristallographie: für Mathematiker und Naturwissenschaftler PDF
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Franka Miriam Brückler Mathematische Grundlagen der Kristallographie für Mathematiker und Naturwissenschaftler Mathematische Grundlagen der Kristallographie Franka Miriam Brückler Mathematische Grundlagen der Kristallographie für Mathematiker und Naturwissenschaftler Franka Miriam Brückler Department of Mathematics University of Zagreb Zagreb, Kroatien ISBN 978-3-662-58958-8 ISBN 978-3-662-58959-5 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-58959-5 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Iris Ruhmann Springer Spektrum ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer-Verlag GmbH, DE und ist ein Teil von Springer Nature Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany Vorwort Die Ordnung, das Ebenmaß, die Harmonie bezaubert uns … Gott ist lauter Ordnung. Er ist der Urheber der allgemeinen Harmonie (G.W. Leibniz, 1646–1716). Symmetrie … ist eine Idee, vermöge derer der Mensch durch die Jahrtausende seiner Geschichte versucht hat, Ordnung, Schönheit und Vollkommenheit zu begreifen und zu schaffen (H. Weyl, 1885–1955). Seit etwa 20 Jahren bin ich von der mathematischen Schönheit der Kristalle fasziniert. Meine eigene kleine Sammlung ist nur ein kleiner Teil dieser fesselnden Welt. Kristalle besitzen sowohl die offensichtliche äußere Schönheit wie auch „innere Werte“. Fast wie bei Menschen ist die äußere Schönheit nicht ihrer selbst Willen, sondern als Resultat der inneren Schönheit liebenswert. Schönheit ist zwar ein recht subjektiver Begriff, bei Kristallen bekommt er aber eine präzisere Bedeutung: Schönheit als Regelmäßigkeit und Ebenmaß, Symmetrie genannt. Es handelt sich um typische mathematische Eigenschaf- ten – Kristalle sind die wohl „mathematischsten“ Wesen der reellen, physischen Welt. Kristalle aus eigener Sammlung. (Foto: F.M. Brückler) Leider enthält die Literatur über Kristalle meist entweder nur die Feststellung und Auf- zählung ihrer Symmetrieeigenschaften, ohne mathematische Beweise und oft auch ohne mathematische Formulierungen, oder aber handelt es sich um abstrakte mathematische V VI Vorwort Literatur, aus der die physischen Entsprechungen der mathematischen Begriffe meist nur schwer herauszulesen sind. Dies ist der Hauptgrund, der mich zum Schreiben dieses Buches angeregt hat. Dieses Buch ist sozusagen als eine Brücke zwischen rein kristal- lographischer und rein mathematischer Literatur zum Thema gedacht. Es enthält mehr mathematischen Erklärungen für Naturwissenschaftler als in der gängigen kristallogra- phischen Literatur und mehr kristallographische Fakten und Beispiele für Mathemati- ker, unter Verwendung kristallographischer Notationskonventionen, als in der gängigen mathematischen Literatur. In diesem Buch werden die Grundlagen mathematischer Kristallographie beschrieben: stereografische und gnomonische Projektion, analytische Geometrie von Kristallstruktu- ren (kristallographische Koordinaten, direktes und reziprokes Gitter, Gitterebenen, …) sowie kristallographische Gruppentheorie (kristallographische Punkt- und Raumgrup- pen). Die Reihenfolge und Inhalte entsprechen den üblichen mathematischen Inhalten in Basiskursen in systematischer Mineralogie bzw. Kristallographie. Im Gegensatz zu sol- chen Kursen werden hier aber alle Inhalte vom mathematischen Standpunkt aus erklärt und begründet. Alle Prinzipien werden durch konkrete Beispiele illustriert. Dieses Buch ist einerseits für Mathematiker, insbesondere Unterrichtende an Univer- sitäten, gedacht, die entweder allgemeines Interesse an den Grundzügen der Geometrie und Algebra von Kristallen haben oder wirklichkeitsnahe Anwendungen von analytischer Geometrie und linearer Algebra, Gruppentheorie und Projektionen suchen. Anderer- seits ist dies auch ein Buch für Kristallographen und allgemeiner Chemiker, Geologen, Mineralogen und Physiker, die die Erklärungen diverser mathematischer Regeln der Kristallographie und Mineralogie suchen. Obwohl die Anwendungen der Mathematik auf Kristallographie noch viele andere Themen einschließen, vor allem die Theorie der Fourier-Transformationen, haben wir diese hier nicht behandelt, sondern uns an Inhalte gehalten, die auch Studierenden der Mathematik, Chemie, Geologie und Physik schon in den ersten Studienjahren zugänglich sind. Für solche anderen Anwendungen verweisen wir auf weiterführende Literatur, beispielsweise E. Princes Mathematical Techniques in Crystallography and Materials Science (Springer, Berlin 2004). Am Ende des Vorwortes will ich mich bei allen bedanken, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben: Frau Iris Ruhmann und Frau Janina Krieger aus dem Sprin- ger-Verlag, meiner besten und zugleich mathematisch-kristallographischen Freundin Željka Bilać, die mich als Erste mit der spannenden Welt der Kristalle bekanntmachte, sowie meinen kroatischen kristallographischen Freunden, durch die ich die Liebe zur mathematischen Schönheit von Kristallen entdeckt habe und von denen ich die Grund- züge der Kristallographie gelernt habe: Krešimir Molčanov, Vladimir Stilinović, Darko Tibljaš, Ivan Vicković und anderen von der Naturwissenschaftlichen Fakultät in Zagreb. Zagreb Franka Miriam Brückler Februar 2019 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Literatur ......................................................... 5 2 Geometrische Darstellung von makroskopischen Kristallen ............. 7 2.1 Sphärische Projektion ......................................... 7 2.2 Stereografische Projektion ...................................... 9 2.3 Gnomonische Projektion ....................................... 20 2.4 Lösungen zu den Aufgaben ..................................... 23 Literatur ......................................................... 25 3 Analytische Geometrie und Vektorrechnung in der Kristallographie ................................................. 27 3.1 Kristallographische Koordinaten ................................. 27 3.2 Gitterebenen ................................................. 32 3.3 Geraden im Raum ............................................ 46 3.4 Reziprokes Gitter ............................................. 48 3.5 Zonenrechnung .............................................. 58 3.6 Lösungen zu den Aufgaben ..................................... 60 Literatur ......................................................... 61 4 Kristallographische Gruppentheorie ................................ 63 4.1 Isometrien des euklidischen Raumes .............................. 63 4.2 Translationssymmetrie und periodische Parkettierungen .............. 89 4.3 Symmetriegruppen ............................................ 94 4.3.1 Kristallformen ......................................... 107 4.3.2 Kristallographische Punktgruppen .......................... 111 4.3.3 Kristallographische Raumgruppen ......................... 145 4.4 Lösungen zu den Aufgaben ....................................... 165 Literatur ......................................................... 180 VII VIII Inhaltsverzeichnis Mathematisches Repetitorium ......................................... 183 Symbolik .......................................................... 193 Stichwortverzeichnis ................................................. 203 1 Einführung Kristallesindwohldie„mathematischste“ ErscheinunginderNatur.Geometrischgesehen sind sie räumliche Gebilde, besser gesagt Polyeder (Abb.1.1). Polyeder sind von ebenen FlächenbegrenzteKörper,wiez.B.WürfelundPyramiden.WennwirindiesemBuchvon einemmakroskopischenKristallsprechen,meinenwirdasentsprechendePolyedermodell des Kristalls. Echte makroskopische Kristalle zeigen ein kleineres oder größeres Maß an Unregelmäßigkeiten,diedurchphysischeEinflüsse,welchewährenddesKristallwachstums aufdasKristalleingewirkthaben,entstandensind;dieselassenwirhieraberdurchgehend außerAcht. Diese regelmäßige äußere Erscheinung von Kristallen ist die Folge ihres regelmä- ßigeninnerenAufbaus.DerdänischeGelehrteNicolausSteno bemerkteim17.Jh.beider UntersuchungvonQuartzkristallen,dassbestimmteFlächenunabhängigvonKristallgröße und-formimmeringleichenWinkelnzueinanderstehen.Ervermutete,dassdiesauchfür andereKristallartengilt.Jean-BaptisteRomédeL’Islekonntedies1780bestätigen.Diese Einsichtwirdalsdassogenannte1.kristallographischeGesetz,oderGesetzderWinkelkon- stanz,formuliert. Definition1.1 (GesetzderWinkelkonstanz)AllezurselbenKristallartgehörendenEin- zelkristalleschließenzwischenanalogenFlächen–gleichenDruck,gleicheTemperaturund chemischeZusammensetzungvorausgesetzt–stetsgleicheWinkelein(zitiertnach[7]). Zu gleicher Zeit entdeckte der französische Mineraloge René-Just Haüy das 2. kristallo- graphischeGesetzoderGesetzderrationalenIndizes,alsereinKalkspatkristallzuBoden fallenließunddabeibemerkte,dassdiesoentstandenenBruchstückediegleicheFormhat- tenwiederursprünglicheKristall.Darausfolgerteer,dassKristalleauskleinerenEinheiten ©Springer-VerlagGmbHDeutschland,einTeilvonSpringerNature2019 1 F.M.Brückler,MathematischeGrundlagenderKristallographie, https://doi.org/10.1007/978-3-662-58959-5_1 2 1 Einführung Abb.1.1 Makroskopische KristallehabenPolyederform. (Bild:V.Stilinovic´) aufgebautsind.DieswurdeAnfangdes20.Jh.durchDiffraktionanKristallenbestätigt.Wir formulierenhierdassoebengenannteGesetzderrationalenIndizes: Definition1.2 (GesetzderrationalenIndizes)EinKoordinatensystemmitKoordinatenur- sprung O innerhalb des Kristalls sei so gewählt, dass seine Achsen zu drei Kanten des Kristallsparallelsind.FernerseieineFlächedesKristalls(Einheitsflächegenannt)fixiert, welchezukeinerderKoordinatenachsenparallelist.SeienA,BundCdieSchnittpunkteder EinheitsflächemitdenKoordinatenachsenunda =|OA|,b=|OB|,c=|OC|.1Fürjede FlächedesKristallswerdendannihreMiller’schenIndizes(hkl)definiert:EssindZahlen h,k,l,fürwelche a : b : c =|OA(cid:2)|:|OB(cid:2)|:|OC(cid:2)|gilt(A(cid:2),B(cid:2),C(cid:2)sindSchnittpunkteder h k l betrachteten Fläche mit den Koordinatenachsen; falls die Fläche parallel zu einer Achse liegt,wirdderentsprechendeMiller’scheIndexgleich0gesetzt). FüralleKristalleundalleWahlenderKoordinatenachsenundderEinheitsfläche(unter denebengenanntenBedingungen)gilt:FürjedeKristallflächeisth : k : l einVerhältnis vonganzenZahlen,derenabsoluteBeträgeklein(einstellig)sind(„kleineganzeZahlen“). DieEinheitsflächehatoffensichtlichdieMiller’schenIndizes(111).DasVerhältnisa :b:c sowie die Miller’schen Indizes der Kristallflächen können direkt aus goniometrischen Messungenberechnetwerden[4]. FürmehrDetailsüberdieerwähntenundanderegeschichtlicheAspektederKristallogra- phieverweisenwirauf[5,6],fürallgemeinenaturwissenschaftlicheFaktenüberKristalle verweisenwirauf[1,2]. AusmathematischerSichtkönnenwirdieerstenbeidenkristallographischenGesetzeals Axiomeauffassen,genausowiedieinnereRegelmäßigkeitvonKristallen.DerinnereAufbau vonKristallen(wiebeispielsweisejenerinAbb.1.2)kanngeometrischgesehenimmer als 1Mit|PQ|bezeichnenwirindiesemBuchdieEntfernungzweierPunkte PundQ.
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