Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik PDF
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Peter [an Pahl .RudolfDamrath Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH Peter Ja n Pahl . Rudolf Damrath Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik i Springer Professor Dr. Peter Jan Pahl Technische Universität Berlin FG Theoretische Methoden der Bau-und Verkehrstechnik Straße des 17. Juni 135 10623 Berlin Professor Dr.-Ing. Rudolf Damrath Universität Hannover FG Angewandte Informatik im Bauingenieurwesen Appelstraße 9 A 30167 Hannover Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme Pahl, Peter Ja n: Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik/Peter Jan Pahl; Rudolf Damrath Berlin; Heidelberg; NewYork; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 2000 ISBN 978-3-642-62939-6 ISBN 978-3-642-57013-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-57013-1 Dieses Werk ist urheberrechtlieh geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funks endung, der Mikroverfilmung oder Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Ver vielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. Sep tember 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2000 Softcover reprint of the hardcover I st edition 2000 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen -und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einband-Entwurf: Struve & Partner, Heidelberg Satz: Camera-ready Vorlagen des Autors Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: 10051786 68/3020 -543210 VORWORT DieMathematikisteinederGrundlagendesIngenieurwesens.Wegendergroßen Bedeutungdesphysikalischen VerhaltensvonIngenieurwerken stehtdieInfinite simalrechnung traditionell im Mittelpunkt der mathematischen Ausbildung von Ingenieuren; sie wird zur mathematischen Formulierung der physikalischen Aufgaben eingesetzt. Diese Formulierung hat wesentlich zur Systematisierung des Ingenieurwesens undzur Beherrschung der Ingenieurwerke beigetragen. Vor der Einführung des Computers in das Ingenieurwesen war es schwierig, numerische Lösungen der mathematischen Formulierungen physikalischer Ingenieuraufgaben mit unregelmäßiger Geometrie, unterschiedlichen Material eigenschaften, vielfältigen Einwirkungen und komplexen Herstellungsverfahren zu bestimmen. Die Verstärkung des menschlichen Denkvermögens durch den Computer um einen Faktor, der bezüglich der Rechengeschwindigkeit, der Speicherkapazität und der Kommunikationsgeschwindigkeit heute bei 109 liegt, hatvöllig neue Möglichkeiten fürdie Lösungdermathematisch formulierten phy sikalischen Aufgaben eröffnet. Neue Wissenschaftsgebiete, beispielsweise Computational Mechanics, und weit verbreitete neue Berechnungsverfahren, beispielsweise die Finite-Element-Methode,sind entstanden. Zeitgleich mit der Einführung des Computers hat sich der Charakter des Ingenieurwesens tiefgreifend verändert. Lagder Kern der Wettbewerbsfähigkeit früher vorwiegend im Einsatz besserer Werkstoffe, in der Entwicklung neuer Konstruktionsverfahren und im Entwurf neuer Ingenieursysteme, so haben Organisation und Management heuteeinenvergleichbar großen Einflußaufden Erfolg. Einige der Gründe für diese Veränderungen sind die ganzheitliche Betrachtungvon Markt,Produkt,WirtschaftundGesellschaft, die Bedeutungvon Organisation und Management im globalen Wettbewerb sowie die gestiegene KomplexitätderUmwelt,derTechnikundderWechselwirkungenzwischendenan Planung und Produktion im Ingenieurwesen Beteiligten. FürdenneuenCharakterdesIngenieurwesenssinddietraditionellen mathemati schen Grundlagen nicht mehr ausreichend. Zweige der Mathematik, die zwar hochentwickelt sind,bisheraberfürIngenieurevongeringerer Bedeutungwaren, erweisen sichjetzt als wichtige Werkzeuge bei der computergerechten Behand lungvon Ingenieuraufgaben. DerZugang zudiesen Gebieten istjedoch fürviele Ingenieure schwierig, da in der Ingenieurausbildung selbst die Grundbegriffe wichtigerGebietehäufignichtsystematischbehandeltwerden.Damitfehltzumin destteilweise die Grundlage für einenproduktiven Dialog zwischen Ingenieuren und Mathematikern. Erschwerend kommt hinzu, daß viele der bisher weniger beachtetenGebietedirektaufdenGrundlagenderMathematikaufbauenunddes halbeinen für Ingenieure ungewohnt hohen Abstraktionsgrad besitzen. VI Vorwort Die Entwicklung des Computereinsatzes im Ingenieurwesen hat gezeigt, daß mangelhafte mathematische Grundlagen zu gravierenden Fehlentwicklungen führen. Insbesondere im Bereich von Planung, Organisation und Management wurde das bereits in der klassischen Graphentheorie enthaltene Potential nicht ausreichend zurAbstraktion derComputermodelle undzurSystematisierung der Lösungsverfahren eingesetzt. Zahlreiche Gesetzmäßigkeiten und Verfahren wurden mühsam wiederentdeckt, diebeiausreichenden Kenntnissen derMathe matik aus der Literatur hätten übernommen werden können. Eines der Beispiele hierfürsind die Grundlagen derTopologie. Aufgrund derschnellen Entwicklung der Informations- und Kommunikationstech nologie,derenLeistungsfähigkeitumdenFaktor100jeJahrzehntwächst,werden fortlaufend neue Anwendungsgebiete erschlossen. Daher ist es besonders schwierig,indemreichhaltigen RepertoirederMathematikdiejenigen Grundlagen zu bestimmen, die in den nächsten Jahrzehnten eine tragfähige Basis für den zweckmäßigen EinsatzdesComputers imIngenieurwesenbilden.Mitdemvorlie genden Buch machen wir den Versuch, diese Grundlagen zusammenzutragen. WirhabendenStoffsogeordnet,daßerinderReihenfolgederKapiteldesBuches erlernt werden kann. Dabei setzen wir voraus, daß die Inhalte der traditionellen MathematikfürIngenieurezusätzlich behandeltwerden:Wesentliche Teiledieser Mathematik sind indem vorliegenden Buchnicht enthalten, daesdafür eine um fangreiche Literatur gibt. Die behandelten Grundlagen beginnen mit der Logik in Kapitel 1. Dies hat verschiedene Gründe. Zum einen istdie Logik einWerkzeug fürden Aufbau der anderen Kapitel des Buches. Zum anderen erfordert die zielgerichtete Entwick lung von Modellen und Prozessen eine systematische Vorgehensweise, die nur beikonsequenterAnwendung derlogischen Gesetze möglich ist. EinBeispiel für densystematischen EinsatzderLogikistderbewußte Umgang mitImplikationen undÄquivalenzen. Die Mengenlehre in Kapitel 2 ist die Grundlage für den Aufbau der mathemati schen Strukturen in den nachfolgenden Kapiteln. Mengenoperationen sind von fundamentaler Bedeutung in allen Bereichen der Computeranwendungen. Die Mengenlehre führt zu Begriffen wie Relation undAbbildung,die grundlegendfür dieKlassifikation und Ordnung von Informationen unddamitfür Denkweisen wie das objektorientierte Modellieren sind. Inder Mathematikgibt esalgebraische,ordinale undtopologische Grundstruktu ren.Alle anderen Zweige der Mathematik ruhen auf diesen Grundstrukturen, die inden Kapiteln 3 bis5behandelt sind. Die algebraischen Strukturen beschreiben die Verknüpfung der Elemente von Mengen. Im Gegensatz zur traditionellen Ingenieurmathematikwird hier die Be schränkung auf das reelle Zahlensystem aufgehoben und die systematische Vorwort VII Grundlage für allgemeine Verknüpfungen von Werten verschiedenen Typs, bei spielsweise von logischen Variablen, Mengen, Vektoren und Matrizen, gelegt. Diese Grundlagen finden inallen nachfolgenden Kapiteln Anwendung. Für viele computerbasierte Algorithmen sind die ordinalen Strukturen von über ragender Bedeutung.Zuverlässige Algorithmen erforderndenbewußten Umgang mitden Eigenschaften vonOrdnungsrelationen sowie eine systematische Unter scheidung zwischen vergleichbaren und unvergleichbaren Elementen einer Menge. Der Entwurf und die Implementierung vieler Datenstrukturen sind ohne dieKenntnisderOrdnungsrelationenundihrerEigenschaften nichtmöglich.Auch dieUntersuchung der Konvergenzeigenschaften iterativer undsortierenderAlgo rithmen beruht auf ordinalen Strukturen. Wird in einer Menge ein System von Teilmengen hervorgehoben, so erhält die Menge einetopologischeStruktur.Topologische Strukturen bilden dieGrundlage fürdieBestimmung desZusammenhangs undderTrennung von Mengen,fürdie Konvergenz vonFolgen,NetzenundFiltern,fürdieKompaktheitvonRäumenund für die Stetigkeit von Funktionen. Die Untersuchung der Konvergenz von Nähe rungsverfahren zur Lösung der mathematischen Formulierung physikalischer Aufgaben istohnedieKenntnisdertopologischen Räumenichtmöglich.Auchdie Beschreibung geometrischer Körper imComputer istauf eine zuverlässige Ana lyseder damit verbundenen topologischen Fragenangewiesen. DieQuantifizierung imIngenieurwesen beruhtaufdennatürlichen, ganzen, ratio nalen, reellen und komplexen Zahlensystemen sowie den Quaternionen. Diese Zahlensysteme besitzen unterschiedliche algebraische, ordinale und topologi sche Strukturen,die inKapitel 6behandelt sind. DieKenntnis der Eigenschaften derZahlensysteme istwesentlich fürdieKonstruktion zuverlässigernumerischer Algorithmen. Inder Entwicklung der Mathematik haben die in Kapitel 7 behandelten Gruppen einewichtige Rollegespielt. InderGruppentheorie wirddieVerknüpfungvonzwei Elementen einer Menge behandelt, deren Ergebnis wiederum ein Element der Mengeist.ZweiderdreiWertesindbekannt,derdritteWert(einOperandoderdas Ergebnis) istzubestimmen. DieGruppenstrukturerweist sichalsaußerordentlich reichhaltig. Sieerlaubt einesystematische Behandlung vieler dergrundlegenden mathematischen Fragen. Beispielsweise wurde sie von Galois zum Nachweis verwendet, daß der Kreis nicht mit Zirkel und Lineal quadrierbar ist. Auch der systematische Aufbau der Geometrie gelingt auf der Grundlage der Gruppen theorie.Zudenpraktischen Anwendungen derGruppentheoriezähltdiesystema tische Analyse derTopologie triangulierter Körper. Fürden Entwurf von Modellen und Algorithmen ist die Beschreibung der Bezie hungen zwischen den Elementen von Mengen von grundlegender Bedeutung. DieseAufgabe wird mitder inKapitel 8dargestellten Graphentheorie behandelt. VIII Vorwort Die Graphentheorieberuht auf der Relationenalgebra. Diese Algebra beschreibt GraphenmitMatrizen undumfaßteinenSatzvonTheorien undMethoden, diees erlauben, Eigenschaften von Graphen algebraisch zu bestimmen. Mit Graphen könnenvielepraktischeAufgabendesIngenieurwesensgelöstwerden, insbeson dere auch Aufgaben des Managements undder Organisation. Hierzu zählen die Bestimmung von Wegen in Verkehrsnetzen, die Bestimmung der Zuverlässig keitenvonkomplexen Systemen unddieBestimmung deroptimalen Reihenfolge von Arbeitsschritten. DieinKapitel9behandelteTensorlehrebildetdieGrundlage füreinezuverlässige Formulierung physikalischer Ingenieuraufgaben. Tensorformulierungen besitzen diebesondere Eigenschaft, daßsieunabhängigvondemjeweils gewählten Koor dinatensystem gültig sind. Dies erleichtert das Verständnis der wesentlichen Charakteristikenderformulierten Aufgaben unddamitdiesystematischeEntwick lungvonAlgorithmen. Komplexephysikalische VorgängeinFestkörpern, Flüssig keiten und Mehrphasensystemen können nurauf dieser Grundlageso formuliert werden, daß sie allgemeingültig implementierbarsind. Ingenieure befassen sich mit Ereignissen, die vom Zufall abhängig sind : Die mehrfache Durchführung eines Experimentes unter scheinbar gleichen Bedin gungen führt zu verschiedenen Ergebnissen. Zufallsereignisse werden mit den MethodenderStochastik untersucht,dieinKapitel10behandeltist.DieMethoden ordnen den verschiedenen Ergebnissen eines Experimentes Wahrscheinlich keiten zu. Im Ingenieurwesen gibt es typische Wahrscheinlichkeitsverteilungen, beispielsweise für die Zuverlässigkeit eines Systems von Komponenten und für das Verhalten an Knotenpunkten eines Verkehrsnetzes. Von großer praktischer Bedeutung sindZufallsprozessefürzeitabhängigeZufallsvariable. IhreBeschrei bungdurch Markov Prozesse bildet die Grundlage derTheorie der Warteschlan gen, die in vielen Computersimulationen von Ingenieurprozessen angewandt wird. DieKapitel des Buches besitzen eineeinheitliche Struktur.Jedes Kapitel beginnt mit einer Einführung,die Schwerpunkte des Inhaltes dieses Kapitels hervorhebt. Dabei werden Begriffe verwendet und Eigenschaften genannt, die erst infolgen den Teilen des Kapitels definiert und erläutert werden. Auch die Unterkapitel beginnen mitEinführungen,dieähnlich strukturiert sind.JederAbsatz desTextes beginnt mit einem Begriff, derdurch Fettschrift hervorgehoben ist. Dieser Begriff wird im nachfolgenden Absatz behandelt. Die hervorgehobenen Begriffe sollen den Leser dabei unterstützen,die Struktur der Abschnitte des Buches mit gerin gemAufwandfestzustellen.BeweisesindimTextinsbesonderedortenthalten,wo siewesentlich zumVerständnisdes Sachverhaltes beitragen oder die Grundlage für die Entwicklung von Algorithmen für Computerimplementierungen bilden. Vorwort IX DerWunsch,dasvorliegende Buchzuschreiben,entstandwährend unsererlang jährigen Zusammenarbeit an der Technischen Universität Berlin im Fachgebiet "Theoretische Methoden der Bau- undVerkehrstechnik". Im Verlauf der gemein samen Entwicklung dieses Fachgebietes haben wir festgestellt, daß die Aus bildungsinhalteunddieverwendete DatentechnikimVergleichzudenInhaltenan derer Fachgebiete kurzlebig sind. Die Anwendungen der Informatik im Ingenieurwesen benötigen jedoch eine stabile Grundlage. Aus dieser Einsicht entstand der Wunsch, die von der schnellen Entwicklung und den fortlaufenden Veränderungen unabhängigen mathematischen Grundlagen in einem Buch so aufzubereiten, daßeineübereinenlängerenZeitraum hinweggeeignete Basisfür zukünftige Entwicklungen geschaffenwird.DasBuchunterscheidetsicherheblich von den Skripten unserer Lehrveranstaltungen, die sich auch mit aktuellen Informations- und Kommunikationstechniken einschließlich ihrer Entwicklungs plattformen und ihrerAnwendungen im Ingenieurwesen befassen. Dr.Felix Pahl hat die Gestaltung des Buches im Ganzen wesentlich unterstützt. Bei der mehrfachen Durchsicht der Kapitel hat er mit seiner Sorgfalt und mit seinem Hintergrund alsPhysikerwertvolle Anregungen fürdieStrukturierung des Stoffes einschließlich der Begriffsbildungen und Beweisführungen gegeben. Insbesondere inderTopologieundinderGruppentheoriehatDr.Pahlintensivan den Beweisen mitgewirkt und zu deren prägnanter Ausarbeitung maßgeblich beigetragen. Seinem besonderen Engagement für dieses Buch gilt unser per sönlicher Dank. DerInhaltdesvorliegenden Buchesstelltebesonders hoheAnforderungen andie graphische Gestaltung des Textes, der Bilder und der Formeln. Frau Elizabeth MauehatdasBuchmitbewundernswertemEinfühlungsvermögeninsehranspre chender Formgestaltet. Dadas Buchüber einen längeren Zeitraum entstand, in dem alle Kapitel mehrfach undgrundlegend überarbeitet wurden,haben wir ihre Geduldaufeineharte Probegestellt.Derengagierten MitwirkungvonFrauMaue, die zu der besonders gelungenen Präsentation dieses Buches geführt hat, gilt unsere dankbare Anerkennung. DieErarbeitung dieses Buches hatsich über mehrals sieben Jahre erstreckt. In dieser Zeit haben unsere Ehefrauen Irmgard Pahl und Heidemarie Damrath großes Verständnis für unsere außergewöhnliche Belastung gezeigt. Durch ihre große Geduld haben sie uns den für die Fertigstellung des Buches in der vor liegenden Form unerläßlichen Freiraum und Rückhalt geschenkt. Dafür danken wird ihnen von Herzen. Berlin,im Mai2000 PeterJan Pahl Rudolf Damrath INHALTSVERZEICHNIS 1 LOGIK 1.1 Darstellungdes Denkens 1 1.2 ElementareBegriffe 3 1.3 Aussagenlogik ................ 6 1.3.1 LogischeVariableundVerknüpfungen 6 1.3.2 LogischeAusdrücke ................................... 12 1.3.3 LogischeNormalform .................................. 15 1.3.4 LogischeSchlußregeln 19 1.4 Prädikatenlogik 21 1.5 BeweiseundAxiome 28 2 MENGENLEHRE 2.1 Menge ...................................................... 33 2.2 Mengenalgebra 36 2.3 Relationen 39 2.4 Relationstypen 43 2.5 Abbildungen 47 2.6 Abbildungstypen 49 2.7 KardinalzahlenundAbzählbarkeit 55 2.8 Strukturen ................................................... 60 3 ALGEBRAISCHE STRUKTUREN 3.1 Einführung .................................................. 63 3.2 InnereVerknüpfung 64 3.3 MengenmiteinerVerknüpfung 67 3.4 MengenmitzweiVerknüpfungen ........................ 72 3.4.1 Einführung , 72 3.4.2 AdditiveundmultiplikativeGebilde 73 3.4.3 DualeGebilde 80 3.5 Vektorraum.................................................. 90 3.5.1 AllgemeineVektorräume 90 3.5.2 ReellerVektorraum 99 3.6 LineareAbbildungen 104 3.7 Vektor-undMatrixalgebra 114 3.7.1 Definitionen 114 3.7.2 ElementareVektoroperationen 117 3.7.3 ElementareMatrixoperationen 121 3.7.4 AbgeleiteteSkalare 128 3.7.5 KomplexeVektorenundMatrizen 132
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