Mathematische Grundlagen der Informatik: Mathematisches Denken und Beweisen. Eine Einführung PDF
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Leitfäden der Informatik Christoph Meinei, Martin Mundhenk Mathematische Grundlagen der Informatik Leitfäden der Informatik Herausgegeben von Prof. Dr. Hans-Jürgen Appelrath, Oldenburg Prof. Dr. Volker (laus, Stuttgart Prof. Dr. Dr. h.c. mult. Günter Hotz, Saarbrücken Prof. Dr. Lutz Richter, Zürich Prof. Dr. Wolffried Stucky, Karlsruhe Prof. Dr. Klaus Waldschmidt, Frankfurt Die Leitfäden der Informatik behandeln • Themen aus der Theoretischen, Praktischen und Technischen Informatik entsprechend dem aktuellen Stand der Wissenschaft in einer systematischen und fundierten Darstellung des jeweiligen Gebietes . • Methoden und Ergebnisse der Informatik, aufgearbeitet und dargestellt aus Sicht der Anwendungen in einer für Anwender verständlichen, exakten und präzisen Form. Die Bände der Reihe wenden sich zum einen als Grundlage und Ergänzung zu Vorlesungen der Informatik an Studierende und Lehrende in Informatik-Studiengängen an Hochschulen, zum anderen an "Praktiker", die sich einen Überblick über die Anwendungen der Informatik (-Methoden) verschaffen wollen; sie dienen aber auch in Wirtschaft, Industrie und Verwal tung tätigen Informatikern und Informatikerinnen zur Fortbildung in praxisrelevanten Fragestellungen ihres Faches. Christoph Meinei, Martin Mundhenk Mathematische Grundlagen der Informatik Mathematisches Denken und Beweisen Eine Einführung 2., durchgesehene Auflage Im Teubner B. G. Teubner 5tuttgart· Leipzig· Wiesbaden Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei der Deutschen Bibliothek erhältlich. Univ.-Prof. Dr. sc. nato Christoph Meinel Geboren 1954 in Meißen. Studium der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin. Diplom 1979 und Promotion 1981 bei L. Budach. Von 1981 bis 1991 wiss. Mitarbeiter bzw. Oberassistent an der Sektion Mathematik bzw. am Fachbereich Informatik der Humboldt-Universität zu Berlin und am Institut für Mathe matik der Akademie der Wissenschaft in Berlin. Habilitation 1988. Sommersemester 1991 C4-Lehrstuhl vertretung an der Universität-Gesamthochschule Paderborn. Forschungsaufenthalt an der Universität Saar brücken. 1992 Berufung zum C4-Professor für theoretische Informatik an der Universität Trier. Gründungs direktor des 1998 von der Fraunhofer Gesellschaft betreuten Forschungs- und Entwicklungsinstituts für Telematik in Trier. Autor, Koautor bzw. Herausgeber von acht Büchern bzw. Proceedingsbänden und über 200 Veröffent lichungen in wissenschaftlichen Zeitschriften und referierten Konferenzbänden. Besondere Forschungs interessen in der theoretischen Informatik (Komplexitätstheorie, Algorithmen und Datenstrukturen, VLSI-De sign) und im Bereich der telematischen Anwendungen (Elektronisches Publizieren, InterneVlntranet und Informationssicherheit). Univ.-Prof. Dr. rer. nato Martin Mundhenk Geboren 1961 in Bad Pyrmont. Studium der Informatik an der Technischen Universität Braunschweig. Diplom 1986 bei H.-D. Ehrich. Von 1986 bis 1989 wiss. Mitarbeiter an der EWH Koblenz, von 1989 bis 1993 an der Universität Ulm. Promotion 1993 bei U. Schöning. 1994 -2001 wiss. Assistent an der Universität Trier am Lehrstuhl Theoretische Konzepte und neue Anwendungen der Informatik von Ch. Meinel. 1996 Research Scholar an der University of Kentucky. Frühjahr 2000 Visiting Assistent Professor am Dartmouth College. 2001 Habilitation an der Universität Trier bei Ch. Meinel und Berufung zum C3-Professor für theoretische Informatik an die Friedrich-Schiller-Univer sität Jena. Besondere Forschungsinteressen: Theoretische Informatik, insbesondere Komplexitätstheorie. 1. Auflage April 2000 2., durchges. Auflage Juli 2002 Alle Rechte vorbehalten © B. G.T eubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2002 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlieh geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ver lags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-519-12949-3 ISBN 978-3-322-91889-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-91889-5 Vorwort Dieses Buch ist entstanden aus einer vom ersten Autor neu konzipierten Vor lesung für Erstsemester der Fächer Informatik und Wirtschaftsinformatik an der Universität Tri er. Ziel dieser Vorlesung war es, die Hörer mit ihren recht unterschiedlichen mathematischen Vorkenntnissen und Fertigkeiten abzuholen und sie mit dem für ein erfolgreiches Studium der Informatik oder verwandter Studiengänge notwendigen mathematischen Rüstzeug auszustatten. Am Ende der Vorlesung sollten die Hörer dann in der Lage sein, in der exakten und streng formalisierten Denk- und Schreibweise der Mathematik zu argumentie ren - eine Fähigkeit, ohne die eine erfolgreiche Arbeit in der Informatik un vorstellbar ist. Anders jedoch als in den üblichen Mathematikvorlesungen, bei denen die Hörer von vornherein mit dieser abstrakten mathematischen Denk und Schreibweise konfrontiert werden, sollte diese hier behutsam eingeführt und eingeübt werden, um dem Schein, dass Mathematik schwer, manchmal zu schwer wäre, gleich von vornherein zu begegnen. Vorlesung und Buch beginnen deshalb im ersten Teil mit einer recht informellen, "erzählerischen" Einführung in die Begriffswelt der Aussagenlogik und Mengenlehre und entwickeln dabei ein erstes belastbares Verständnis für den Sinn und Zweck exakter mathe matischer Beschreibungen und Argumentationen. Die Bedeutung des mathe matischen Beweisens wird erklärt und beim Sprechen über Relationen und Abbildungen systematisch eingeübt. Im zweiten Teil der Vorlesungen werden dann für die Informatik wichtige Beweistechniken, wie z.B. vollständige Induk tion oder Abzähltechniken aus der Kombinatorik, mit einigen Anwendungen in der Stochastik vorgestellt. Der dritte Teil erörtert schließlich für die inzwi schen mathematisch geschulten Leser einige grundlegende diskrete Strukturen, wie z.B. Graphen oder Boole'sche Algebren. Gleichsam spiralenförmig werden Begriffe, die in den ersten Kapiteln lediglich informell, eingeführt wurden, in einem abschließenden Kapitel zur Aussagenlogik nun auf dem Niveau der ex akten mathematischen Denk- und Schreibweise wieder aufgenommen und be handelt. Ausgestattet mit einer gesicherten Intuition haben Hörer und Leser nun auch in den höheren Gefilden mathematischer Betrachtungen eine gute Chance, sich zurechtzufinden und souverän zu bewegen. 6 Wir hoffen, mit einer solchen Aufbereitung des für einen Studenten oder ande ren Interessierten der Informatik unerlässlichen mathematischen Stoffes even tuelle Defizite aus der mathematischen Vorbildung der Lesern wettmachen und daraus resultierende Vorbehalte gegenüber einer weiterführenden Mathematik ausbildung abbauen zu können. Wir danken den Trierer Informatikstudenten für ihre zahlreichen Anregun gen im Verlaufe der Vorlesungen, auch streckenweises Unverständnis hat uns geholfen, die Aufbereitung und Darstellung des Stoffes zu überdenken und am Stil der Darstellung zu feilen. Den Kollegen der Abteilung Informatik der Universität Trier sind wir sehr verbunden für gemeinsame Auffassungen zur Notwendigkeit einer soliden mathematischen Grundausbildung im Informatik und Wirtschaftsinformatikstudium. Schließlich bedanken wir uns für die Un terstützung beim Zeichnen von Bildern und beim Korrekturlesen ganz herzlich bei Jochen Bern, Benjamin Boelter, Carsten Damm, Lilo Herbst, Lothar Jost und Harald Sack. Trier, April 2002 Christoph Meinel Martin Mundhenk Inhalt Einleitung 11 I Grundlagen 17 1 Aussagen 19 1.1 Definition und Beispiele 19 1.2 Verknüpfungen von Aussagen 21 1.3 Tautologie und Kontradiktion 27 1.4 Aussageformen ...... 31 1.5 Aussagen mit Quantoren . 32 2 Mengen und Mengenoperationen 36 2.1 Mengen ......... 36 2.2 Gleichheit von Mengen. 39 2.3 Komplementäre Mengen 41 2.4 Die leere Menge. . . . . 42 2.5 Teilmenge und Obermenge . 43 2.6 Potenzmenge und Mengenfamilien 45 2.7 Vereinigung, Durchschnitt und Differenz von Mengen ...... 47 2.8 Produkt von Mengen . . . . . . . . . . . 52 2.9 Weitere Rechenregeln für Mengenoperationen 55 3 Mathematisches Beweisen 58 8 Inhalt 4 Relationen 63 4.1 Definition und erste Beispiele 63 4.2 Operationen auf Relationen . 67 4.3 Wichtige Eigenschaften von Relationen . 71 4.4 Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilung 74 4.5 Rechnen mit Äquivalenzrelationen 80 4.6 Halbordnungsrelationen . . . . 83 5 Abbildungen und Funktionen 89 5.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . 89 5.2 Surjektive, injektive und bijektive Abbildungen 94 5.3 Folgen und Mengenfamilien . 100 5.4 Kardinalität von Mengen .. 103 Quellen und weiterführende Literatur . 108 11 Techniken 109 6 Grundlegende Beweisstrategien 111 6.1 Direkter Beweis . . . . . . . . 112 6.2 Beweis durch Kontraposition 114 6.3 Widerspruchs-Beweis . . . . . 115 6.4 Äquivalenzbeweis . . . . . . . 116 6.5 Beweis durch Fallunterscheidung 117 6.6 Beweis atomarer Aussagen .... 119 6.7 Beweis von Aussagen mit Quantoren 120 6.8 Kombinatorischer Beweis 123 7 Vollständige Induktion 127 7.1 Idee der vollständigen Induktion 128 7.2 Beispiele für Induktionsbeweise . 129 7.3 Struktur von Induktionsbeweisen 132 7.4 Verallgemeinerte vollständige Induktion 134 7.5 Induktive Definitionen ......... . 135 Inhalt 9 8 Zählen 143 8.1 Grundlegende Zähl prinzi pien 143 8.2 Kombinationen, Permutationen und Binomialkoeffizienten. . . . . . . . 149 8.3 Rechnen mit Binomialkoeffizienten 154 9 Diskrete Stochastik 164 9.1 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten 164 9.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit ......... . 172 9.3 Zufallsvariablen ................ . 174 9.4 Binomial-Verteilung und geometrische Verteilung 180 Quellen und weiterführende Literatur . . . . . . . . . . . . 184 III Strukturen 187 10 Boole'sche Algebra 189 10.1 Schaltfunktionen und Ausdrücke 189 10.2 Definition der Boole'schen Algebra 195 10.3 Beispiele Boole'scher Algebren ... 198 10.4 Eigenschaften Boole'scher Algebren . 204 10.5 Halbordnungen in einer Boole'schen Algebra. 208 10.6 Atome .................. . 211 10.7 Normalformen für Boole'sche Ausdrücke 214 10.8 Minimierung Boole'scher Ausdrücke 217 ~0.9 Der Isomorphie-Satz 219 10.10 Schaltkreis-Algebra. 223 11 Graphen und Bäume 231 11.1 Grundbegriffe ..... 232 11.2 Wege und Kreise in Graphen 239 11.3 Graphen und Matrizen .... 245 11.4 Isomorphismen auf Graphen . 252 11.5 Bäume ............ . 255 10 Inhalt 12 Aussagenlogik 262 12.1 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 262 12.2 Normalformen ........... 267 12.3 Erfüllbarkeitsäquivalente Formeln . 269 12.4 Unerfüllbare Klauselmengen .. 274 12.5 Erfüllbarkeit von Hornklauseln 278 12.6 Resolution. . . . . . . . . . . 281 12.7 Klauselmengen in 2KNF . . . 289 Quellen und weiterführende Literatur . 292 Index 294
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