Mathematische Grundlagen der Informatik: Mathematisches Denken und Beweisen Eine Einführung

329 Pages·2015·2.773 MB·German

by  Christoph Meinel, Martin Mundhenk (auth.)

Christoph Meinel
Martin Mundhenk
Mathematische
Grundlagen der Informatik
Mathematisches Denken und Beweisen
Eine Einführung
6. Auflage
Mathematische Grundlagen der Informatik
(cid:2)
Christoph Meinel Martin Mundhenk
Mathematische Grundlagen
der Informatik
Mathematisches Denken und Beweisen
Eine Einführung
6. Auflage
ChristophMeinel MartinMundhenk
Hasso-Plattner-Institut InstitutfürInformatik
Potsdam,Deutschland Friedrich-Schiller-Universität
Jena,Deutschland
ISBN978-3-658-09885-8 ISBN978-3-658-09886-5(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-09886-5
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Vorwort
Dieses Buch ist entstanden aus einer vom ersten Autor neu konzipierten Vorlesung für
Erstsemester der Fächer Informatik und Wirtschaftsinformatik an der Universität Trier.
ZieldieserVorlesungwares,dieHörermitihrenrechtunterschiedlichenmathematischen
Vorkenntnissen und Fertigkeiten abzuholen und sie mit dem für ein erfolgreichesStudi-
umderInformatikoderverwandterStudiengängenotwendigenmathematischenRüstzeug
auszustatten. Am Ende der Vorlesung sollten die Hörer dann in der Lage sein, in der
exaktenundstrengformalisiertenDenk-undSchreibweisederMathematikzuargumen-
tieren–eineFähigkeit,ohnedieeineerfolgreicheArbeitinderInformatikunvorstellbar
ist. Andersjedochals in denüblichenMathematikvorlesungen,beidenendieHörervon
vornherein mit dieser abstrakten mathematischen Denk- und Schreibweise konfrontiert
werden, sollte diese hier behutsam eingeführt und eingeübt werden, um dem Schein,
dass Mathematik schwer, manchmal zu schwer wäre, gleich von vornherein zu begeg-
nen. Vorlesung und Buch beginnen deshalb im ersten Teil mit einer recht informellen,
„erzählerischen“EinführungindieBegriffsweltderAussagenlogikundMengenlehreund
entwickelndabeieinerstesbelastbaresVerständnisfürdenSinnundZweckexakterma-
thematischerBeschreibungenundArgumentationen.DieBedeutungdesmathematischen
Beweisens wird erklärt und beim Sprechen über Relationen und Abbildungen systema-
tischeingeübt.ImzweitenTeilderVorlesungenwerdendannfürdieInformatikwichtige
Beweistechniken,wiez.B.vollständigeInduktionoderAbzähltechnikenausderKombi-
natorik, mit einigen Anwendungen in der Stochastik vorgestellt. Der dritte Teil erörtert
schließlich für die inzwischen mathematisch geschulten Leser einige grundlegendedis-
kreteStrukturen,wiez.B.GraphenoderBoole’scheAlgebren.Gleichsamspiralenförmig
werden Begriffe, die in den ersten Kapiteln lediglich informell eingeführt wurden, in
einem abschließenden Kapitel zur Aussagenlogik nun auf dem Niveau der exakten ma-
thematischenDenk-undSchreibweisewiederaufgenommenundbehandelt.Ausgestattet
miteinergesichertenIntuitionhabenHörerundLesernunauchindenhöherenGefilden
mathematischer Betrachtungen eine gute Chance, sich zurechtzufinden und souverän zu
bewegen.
Wirhoffen,mit einer solchen Aufbereitungdes füreinen Studenten oder anderenIn-
teressiertenderInformatikunerlässlichenmathematischenStoffeseventuelleDefiziteaus
V
VI Vorwort
dermathematischenVorbildungderLeserwettmachenunddarausresultierendeVorbehal-
tegegenübereinerweiterführendenMathematikausbildungabbauenzukönnen.
WirdankendenTriererInformatikstudentenfürihrezahlreichenAnregungenimVer-
laufe der Vorlesungen, auch streckenweises Unverständnishat uns geholfen, die Aufbe-
reitungundDarstellungdesStoffeszuüberdenkenundamStilderDarstellungzufeilen.
DenKollegenderAbteilungInformatikderUniversitätTriersindwirsehrverbundenfür
gemeinsame Auffassungen zur Notwendigkeit einer soliden mathematischen Grundaus-
bildungimInformatik-undWirtschaftsinformatikstudium.Schließlichbedankenwiruns
fürdieUnterstützungbeimZeichnenvonBildernundbeimKorrekturlesenganzherzlich
beiJochenBern,BenjaminBoelter,CarstenDamm,LiloHerbst,LotharJostundHarald
Sack.
Trier,Februar2000 ChristophMeinel
MartinMundhenk
Vorwort zur dritten Auflage
In der dritten Auflage wurde ein Kapitel über Modulare Arithmetik mit den mathema-
tischen GrundlagenderKryptographieangefügt.AußerdemwurdenFehler undUnstim-
migkeiten reduziert. Für die Hinweise dazu bedanken wir uns herzlich bei zahlreichen
kritischenLesern.
Potsdam/Jena,März2006 ChristophMeinel
MartinMundhenk
VII
Vorwort zur sechsten Auflage
In der sechsten Auflagewurdenein Symbolverzeichnishinzugefügtundtechnische Än-
derungenfürdieAuflagealseBookeingearbeitet.AußerdemwurdenweitereFehlerund
Unstimmigkeiten reduziert. Für alle Hinweise dazu bedanken wir uns herzlich bei zahl-
reichenkritischenLesern.
Potsdam/Jena,Mai2015 ChristophMeinel
MartinMundhenk
IX
Symbolverzeichnis
N natürlicheZahlen,Definition2.9
NC positivenatürlicheZahlen,Definition2.9
Q rationaleZahlen,Definition2.9
R reelleZahlen,Definition2.9
Z ganzeZahlen,Definition2.9
Z Df0;1;2;:::;k(cid:2)1g,AnfangvonKap.14
k
ZC Df1;2;:::;p(cid:2)1g,Korollar14.2
p
D Gleichheit,Definition3.1
¤ Ungleichheit,Definition3.1
dae kleinsteganzeZahl(cid:3) a (obereGaußklammer),Satz7.2
b b
bac größteganzeZahl(cid:3) a (untereGaußklammer),Beispiele10.6
b b
f Wahrheitswert„falsch“,Definition2.1
w Wahrheitswert„wahr“,Definition2.1
^ logischeKonjuktion,Definition2.2
_ logischeDisjunktion,Definition2.3
: logischeNegation,Definition2.4
! logischeImplikation,Definition2.5
$ logischeÄquivalenz,Definition2.6
(cid:4) Formeläquivalenz,Definition2.8
9 Existenzquantor,Definition2.10
8 Allquantor,Definition2.10
x 2A x istElementderMengeA,Abschn.3.1
x 62A x istkeinElementvonA,Abschn.3.1
]M MächtigkeitderMengeM,Abschn.3.1
jMj MächtigkeitderMengeM,Abschn.3.1
jwj LängedesWortesw,Definition8.2
M KomplementärmengederMengeM,Definition3.2
; leereMenge,Definition3.3
A(cid:5)B AistTeilmengevonB,Definition3.4
A(cid:6)B AistechteTeilmengevonB,Abschn.3.5
A6(cid:5)B AistkeineTeilmengevonB,Abschn.3.5
XI
XII Symbolverzeichnis
A(cid:7)B AistObermengevonB,Abschn.3.5
A(cid:8)B AistechteObermengevonB,Abschn.3.5
A6(cid:7)B AistkeineObermengevonB,Abschn.3.5
P.M/ PotenzmengevonM,Definition3.5
A[B VereinigungderMengenAundB,Definition3.7
S
F VereinigungallerMengenderMengenfamilieF,Definition3.8
A\B DurchschnittderMengenAundB,Definition3.7
T
F DurchschnittallerMengenderMengenfamilieF,Definition3.8
A(cid:2)B DifferenzderMengenAundB,Definition3.7
A(cid:9)B ProduktderMengenAundB,Definition3.9
.a;b/ geordnetesPaarausaundb,Abschn.3.8
Mt t-fachesProduktvonM,Definition3.10
M(cid:10) Vereinigungalleri-fachenProduktevonM (fürallei),Definition3.11
Beweisende,EndevonKap.4
(cid:2) IdentitätsrelationüberderMengeA,Beispiele5.1
A
a jb aistTeilervonb (Teilbarkeitsrelation),Beispiele5.2
a −b a ist kein Teiler von b (Komplement der Teilbarkeitsrelation), Beispie-
le5.2
R(cid:2)1 inverseRelationzuR,Definition5.2
A˝B inneresProduktderRelationenAundB,Definition5.3
AıB KompositionderRelationenAundB,Definition5.4
(cid:11) SchreibweisefürÄquivalenzrelationR,Definition5.7
R
(cid:11) vereinfachteSchreibweisefürÄquivalenzrelationR,Definition5.7
Œa(cid:3) Äquivalenzklasse,zuderagehört,bzgl.derÄquivalenzrelation(cid:11),Defi-
(cid:11)
nition5.9
A=(cid:11) ZerlegungvonAbzgl.derÄquivalenzrelation(cid:11)(Quotientenmenge),De-
finition5.10
R MengederRestklassenmodm,Beispiele5.12
m
fWA!B Abbildungf (cid:5)A(cid:9)B,Definition6.2
f.a/ Bildvonabeif,Definition6.2
fWa7!b ZuordnungvonazuBildbeinerAbbildungf,Definition6.2
id identischeAbbildungaufderMengeA,Beispiele6.2
A
(cid:2)jw(cid:3)j LängedesWortesw,Definition8.2
n Anzahlvonk-Permutationeneinern-elementigenMenge,Definition9.3
k
(cid:4)nŠ(cid:5) Fakultätsfunktion,Abschn.9.2
n Anzahlvonk-elementigenTeilmengeneinern-elementigenMenge,De-
k
finition9.4
Prob Wahrscheinlichkeitsverteilung,Definition10.3
EŒX(cid:3) ErwartungswertderZufallsvariableX,Definition10.8
VarŒX(cid:3) VarianzderZufallsvariableX,Definition10.9
B MengederBoole’schenKonstantenf0;1g,Abschn.11.1
˛ Boole’schesKomplementvon˛,Definition11.1