Mathematische Grundlagen der Höheren Geodäsie und Kartographie: Erster Band: Das Erdsphäroid und Seine Konformen Abbildungen

540 Pages·1951·27.212 MB·German

by  Dr. R. König, Dr. K. H. Weise (auth.)

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
DER HÖHEREN GEODÄSIE
UND KARTOGRA'PHIE
VON
DR. R. KÖNIG UND DR. K. H. WEISE
PROFESSOR AN DER PROFESSOR AN DER
UNIVERSITÄT MüNCHEN UNIVERSITÄT KIEL
DAS ERDSPHÄROID UND SEINE
KONFORMEN ABBILDUNGEN
M.IT 109 ZUM TEIL FARB.IGEN
ABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG
BERLIN IGÖTTINGEN I HEIDELBERG
ISBN 978-3-642-87439-0 ISBN 978-3-642-87438-3 (eBook)
D0I 10.1007/978-3-642-87438-3
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COPYRIGHT 1951 BY SPRINGER-VERLAG OHG., BERLINjGÖTTINGENjHElDELBERG.
SOFf COVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1951
Vorwort.
Das vorliegende Werk behandelt denjenigen Teil der mathemati
schen Geodäsie, in welchem die Erdfigur als schwach abgeplattetes
Drehellipsoid mit bekannten Dimensionen, kurz Sphäroid genannt, an
genommen wird. Im Gegensatz zur "Niederen Geodäsie", wo Teile der
Erdoberfläche durch Ebene oder Kugel angenähert werden; spricht man
hier von der "Höheren Geodäsie". Ihre Gegenstände sind -in geometri
scher Stufenfolge - die Lage beschreibung der Punkte auf dem Sphäroid
durch Koordinaten, die geodätische Linie, das geodätische Dreieck und
daraus gebildete Ketten und Netze. Demgemäß gliedert sich das Werk
folgendermaßen:
Der erste Teil enthält in einheitlich organischem Aufbau die kon
forme Abbildung des Sphäroids auf· Kugel und Ebene und damit die
Gewinnung ebener, rechtwinkliger, konformer Punkt-Koordinaten (Ab
schnitt I bis IX). Besonderes Gewicht wird dabei auf das Studium der
Sphäroidabbildungen im Großen gelegt, da nur hierdurch vertiefte Ein
blicke in die Struktur der Abbildungsfunktionen und ihre analytischen
Darstellungsmittel gewonnen werden können. Die Formeln und Ent
wicklungen werden in einer für den praktischen Gebrauch notwendigen
Vielseitigkeit und Vollständigkeit gegeben und im Hinblick auf den
Praktiker mit durchaus elementaren Methoden so weit geführt, daß der
Anschluß an numerische Rechnungen erreicht wird. Dem gleichen Zweck
dienen zahlreiche Koeffiziententabellen, die außerdem eine bequeme
Abschätzung der vernachlässigten Reihenglieder erlauben. Die hierbei
und in den Rechenbeispielen verwendete Genauigkeit ist durch inter
nationale Vereinbarungen festgelegt und das Ausgangszahlenmaterial
der geodätischen Literatur entnommen. Eine systematische Bezeichnung
soll dazu beitragen, in der verwirrenden Fülle des Materials die klaren
und einfachen Grundgedanken hervortreten zu lassen; auch die über
schriften der einzelnen Kapitel wurden dementsprechend gestaltet.
Im zweiten Teil werden, zum Teil in Verallgemeinerung auf beliebige
Flächen, die geodätische Linie in geographischen, lokal-räumlichen und
isothermen Koordinaten und die beiden sog. Hauptaufgaben der
Geodäsie behandelt (Abschnitt XI bis XVI). Die Ausdehnung auf das
komplexe Gebiet ergibt auch hierbei die systematische Entwicklung
der Hilfsmittel.
IV Vorwort.
Der dritte Teil bringt - als Zwischenstück - die Theorie der all
gemeinen und insbesondere der konformen Abbildung zweier Flächen
aufeinander mit Anwendung auf das Bild der geodätischen Linie.
Schließlich werden im vierten Teil die geodätischen und zum Teil
auch die allgemeinen Dreiecke auf krummen Flächen untersucht. Die
sich anschließende Theorie der Dreiecksketten und Netze samt ihrer
Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate konnten wir
leider im Rahmen des geplanten Umfanges nicht mehr entwickeln.
Die mathematischen Hilfsmittel aus Analysis und Geometrie sind
je in einem besonderen Abschnitt X und XXII zusammengestellt. Sie
umfassen im ersten Teil insbesondere die Koeffizientenbeziehungen bei
dem Rechnen mit Potenzreihen und trigonometrischen Reihen, die auch
außerhalb dieses Buches häufig benötigt werden.
Teil I (Abschnitt I bis X) erscheint als erster Band des Werkes mit
dem Untertitel: "Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen"
und liefert damit auch der höheren Kartographie die mathematischen
Unterlagen,
Teil II bis IV (Abschnitt XI bis XXII) als zweiter Band mit dem
Untertitel: "Grundprobleme der höheren Geodäsie".
Hiermit ist aber der Problemkreis geodätischer Forschung noch lange
nicht erschöpft. Sie zielt, abgesehen von der praktischen Verwendung
für die Landesvermessung, auf die Beantwortung der Frage nach der
wahren Erdgestalt, der Bestimmung des "Geoids" und des sich ihm
am besten anschmiegenden Erdellipsoids bzw. der günstigsten geodäti
schen Bezugsfläche. Bei der beabsichtigten Beschränkung auf den
mathematischen Teil müssen indessen diese weiterreichenden Theorien
außer Betracht bleiben, da sie physikalische und astroncmische Me
thoden erfordern und damit in das Gebiet der "Physikalischen Geodäsie"
gehören.
Wir hoffen mit unserem Werk Mathematik und Geodäsie, die in
dem Schöpfer der höheren Geodäsie, C. F. Gauß, völlig vereint waren,
wieder näher zusammenzuführen, dem Mathematiker zu einem großen
Anwendungsgebiet einen neuen Zugang zu erschließen und dem Geodä
ten nicht nur ein Lehrbuch zu liefern, welches ihm einen klaren und
neuen mathematischen Durchblick sowie neue und weiterreichende
Methoden verschafft, sondern auch wegen seiner Vielseitigkeit in der
Darstellung und der Entwicklung bequemer maschineller Rechenmöglich
keiten ein nützliches Handbuch ist.
Durch ihre Mitarbeit haben uns die Herren Prof. Dr. Hermann
Schmidt (vorwiegend in den Abschnitten IIIundIV), Dr. G.Lochs (XV),
Dr. H. Töpfer (IV, V, XI) und Dr. H. Voderberg (t) (XIII) unter
stützt, denen hiermit aufs beste gedankt sei. Viele mühevolle Klein
arbeit bei der Herstellung des Manuskriptes und der numerischen Rech
nung wurde durch die Kieler Hilfskräfte, insbesondere durch Herrn
v
Vorwort.
Dr. W. Gaschütz und Frl. cand. G. Rothschild, geleistet. Wir
danken ferner der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, die durch
einen Forschungsbeitrag die Vollendung des ersten Bandes ermöglicht
hat. Unser Dank gebührt aber insbesondere dem Springer-Verlag, der in
schwerer Zeit sich zu der Herausgabe des umfangreichen Werkes ent
schlossen und sie in bewährter vortrefflicher Weise ausgeführt hat.
Seit je hat die Menschheit die Frage nach der Erdgestalt beschäftigt,
sie zu lösen, ist nur durch die friedliche Zusammenarbeit aller Kultur
völker möglich. Möge das Buch in diesem Sinne wirken und in die Welt
hinausgehen.
München und Kiel, Ende 1950.
R. König. K. H. Weise.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Übersicht über die Bezeichnungen . XII
Einleitung 1
I. Abschnitt.
1)asSphäroid. Berechnung der Krümmungsgrößen, des Meridian
und Parallelkreisbogens, der Oberfläche.
I, 1 Bestimmungsstücke der Meridianellipse . 4
I, 2 Das Erdsphäroid (numerische Angaben) . 5
I, 3 Parameterdarstellung der Ellipse mittels geographischer Breite B.
Bogenelement des Meridians. Die drei Grundfunktionen E, E', F. 7
I, 4 Die Krümmungsgrößen des Drehellipsoids . . . . . . .'. . . .. 9
Meridiankrümmungshalbmesser M - Querkrümmungshalbmesser N
- Parallelkrümmungshalbmesser r '7= N cosB - Mittlerer Krüm
mungshalbmesser (] = l' M N - Ga ußsche Flächenkrümmung
K=_I_.
MN
I, 5 Trigonometrische En1tw icklung der Grundfun!kBtIi on F, sowie von
Fa:, Fa: cosB, Fa: cos- B, IgF in dem Streifen (B) der komplexen
B-Ebene. Restabschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
N±l,
I, 6 Trigonometrische Entwicklung der Krümmungsgrößen M±I,
!BI
r±I, (], K, (~)±1 in (B), insbesondere für reelle B-Werte im Inter-
vall - ~ ~ B ~ +!!.. . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 - - 2
I, 7 Potenzreihenentwicklung von Fa:, Fa: cosB, Fa: cos-1 B mit Ko-
effizientendarstellung 1. Art. Restabschätzung . . . . . 23
r±l,
I, 8 Potenzreihenentwicklung 1. Art von M±I, N±I, (!, K±I, (~)±1 32
I, 9 Potenzreihenentwicklung von Fa:, Fa: cosB, Fa: cos-1 B, sowie von
N±l, (],
M±~, K±l, r±l, (~)±1 mit Koeffizientendarstellung 2. Art
in !BI (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1,10 Der Meridianbogen G in der komplexen B- bzw. Z-Ebene und die
dadurch vermittelte konforme Abbildung . . . . . . . . . . . . 42
1,11 Die normierte Meridianbogenlänge G als Funktion der geographischen
Breite und ihre Umkehrung . . . . . . . 49
a) Entwicklung in trigonometrische Reihen . . . . . . . . . . . 49
b) Entwicklung in Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . 54
1,12 Parallelkreisbogen, Oberfläche und ihre trigonometrische Ent-
wicklung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
1,13 Anhang: Übersicht über die Reihenentwicklungen in Abschnitt I 63
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
II. Abschnitt.
Die drei komplexen .Grund-Flächenvariablt'n A = M, B, r für eine
Drehfläche, insbesondere für Sphäroid und Kugel.
II,1 Die Parameterdarstellung einer Drehfläche durch ihre geographische
Breite und Länge (B, L) . . . . . . . . . . . . . . . 68
II,2 Die isometrische Breite H und die drei komplexen Grund-Flächen-
variablen A = M, B, r. . . . . . . . . . . . . . . . 72
II,3 Der Zusammenhang zwischen Mund B (bzw. Z) für Kugel und
Sphäroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
lI,31 Kugel: Zusammenhang p, ...... -+ P(C). Konforme Abbildung der
Kugel durch die komplexe Breite p. (Querachsige Merkator
Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
lI,3 Sphäroid: Zusammenhang M<-->-B(Z). Konforme Abbildung
2
des Sphäroids durch die komplexe Breite B . . . . . . . . 81
lI,4 Der Zusammenhang zwischen rund B (bzw. Z) für Kugel und
Sphäroid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
lI,4 Kugel: Zusammenhang y<-->- p . . . . . . . . . . . . . . 88
1
lI,4 Sphäroid: Zusammenhang r <-->-B (Z). Konforme Abbildung des
2 r
Sphäroids durch den komplexen Bogen r bzw. (Ga uß
Krüger-Abbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
lI,5 Anhang: übersicht über die in Abschnitt I und II eingeführten
komplexen Variablen, besonderen Punkte, Kurven und Bereiche. . 90
III. Abschnitt.
Zwischenstück: Konforme Abbildung zweier Ebenen.
III,1 Eigenschaften im "Kleinen" . . . . . 94
IlI,1 Abbildungs- und Netzgrößen . . 94
1
IlI, 1 Krümmung und Bildkrümmung 97
2
lII,2 Eindeutige Bestimmung und Fortsetzung der Abbildung im "Großen" 102
lII,2 Bestimmung der konformen Abbildung durch Vorgabe der
1
Abbildung eines Kurvenstückes ..... 102
lII,2 Das Spiegelungsprinzip von H. A. Schwarz 105
2
IlI,3 Beispiele zur konformen Abbildung zweier Ebenen. 105
IlI,3 Konforme Abbildungen durch elementare Funktionen 105
1
a) Konforme Abbildung durch rationale Funktionen . 105
b) Konforme Abbildung durch Exponentialfunktion bzw.
Logarithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
c) Konforme Abbildung durch Kreis-bzw. Hyperbelfunktionen
mit Umkehrung . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
IlI,3 Konforme Abbildungen durch elliptische Funktionen und
2
Integrale (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
lII,3 Konforme Abbildung durch algebraische Funktionen und
3
Integrale (Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
IV. Abschnitt.
Der geometrische Zusammenhang zwischen A, B, r.
IV, 1 Aufgabe und Ziel. Bildgitternetz, Verzerrungsnetz, Wendepaar 124
IV, 2 Sonderfall der Kugel: Abbildung a: = p,<--+ ß 126
fu:
IV, 3 Die Hilfsabbildung A = M -+ Z . . . . 131
IV, 4 Die erste Abbildung 12(: A = M -+ B 135
IV, 5 Die umgekehrte Abbildung 12(*: B -+ A = M 141
r . . .
IV, 6 Die zweite Abbildung 12(': B -+ 147
r
IV, 7 Die umgekehrte Abbildung 12('*: -+ Br . 150
IV, 8 Die dritte Abbildung 12(": A = M r-+ 153
IV, 9 Die umgekehrte Abbildung 12("*: -+ M 156
e
IV,1O Die Sphäroidabbildungen durch die Exponentialfunktionen H, Z,
e . . . . . . . . . . . .
H, Z,
und ihre linear Transformierten 158
IV, 11 Anhang: übersicht über die Verschwenkungsgleichen, Wendepunkt
kurven, Bildnetzkrümmungen und Bildgitterlinien in Abschnitt IV 160
V. Abschnitt.
Analytische Darstellungsmittel (Reihen) für den Zusammenhang
zwischen A, B, r und ihren Exponentialfunktionen.
Zwischenstück: Konforme Abbildungen des Sphäroids auf die Kugel
durch p,=M.
V, 1 Plan und Methode 161
Erste Gruppe: .
V,2 B als Funktion von r 162
1 e r)
V,2 Z als Funktion von (bzw. 165
2
V,31 A = M als Funktion von B. . 166
V,3 H als Funktion von Z (bzw. B) 173
2 r. .
V,41 A = M als Funktion von 174
e h.
V,4 H als Funktion von (bzw. 181
2
Zwischenstück: V,5 Die konforme Abbildung des Sphäroids auf die Kugel:
p, = M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
V,5 Die durch p, = M bewirkte Beziehung zwischen ß und B bzw.
1
C und Z ......................... 182
V,52 Die durch p, = M bewirkte Beziehung zwischen y und r bzw.
{} und e ........................ 193
Zweite Gruppe:
V,61 B als Funktion von A = M 197
V,6 Z bzw. B als Funktion von H 201
2 r
V,7 als Funktion von B . . . . 202
1 r
e
V,7 bzw. als Funktion von Z 208
2
V,81 j- als Furn ktion von A = M 209
e
V,8 bzw. als Funktion von H 214
2
V, 9 Anhang: übersicht über die Reihenentwicklungen 215
V,lO Anhang: Übersicht über die besonderen Punkte . 219
V,l1 Anhang: Numerische Beispiele für die Berechnung der Grund-
variabIen .................... 220
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
VI. Abschnitt.
Die konforme Abbildung des Sphäroids auf Ebene, Kugel und Sphäroid.
VI,1 Die drei Grundabbildungen in die Ebene. Allgemeines. Die Abbildungs-
gräßen ............................ 231
VI,11 Die "Längenabbildung" mittels A = M (Merkator-Projektion) 232
VI,1 Die "Breitenabbildung" mittels B (verallgemeinerte quer-
2
achsige Merkator-Projektion) . . . . . . . . . . . . . . . 239
r
VI,1 Die "Meridianbogenabbildung" mittels (Ga uß-Krügersche
3
Projektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
VI,2 Die konforme Abbildung des Sphäroids auf die Kugel. Allgemeines.
Die Abbildungsgräßen . . . . . . . . . . . . . 261
VI,2 Die erste Grundabbildung auf die Kugel . . . . . . . . . 262
1
VI,2 Die Abbildung auf die Soldnersche Kugel ........ 263
2
VI,2 Die Ga ußsche Abbildung auf die Ga ußsche Schmiegkugel. 263
3
VI,23a ß als Funktion von B 266
VI,2 B als Funktion von ß .............. 274
3b
VI,3 Die konforme Abbildung des Sphäroids auf ein zweites Sphäroid.
Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
VI,3 Eine infinitesimale Abbildung auf ein benachbartes Ellipsoid
1
("konformer Ellipsoidübergang") . 282
VI,31a Ellipsoidübergang 1. Grades Ür 283
VI,31b Ellipsoidübergang 2. Grades Ün 286
VI,31e Ellipsoidübergang 3. Grades Ünr 288
VI,3 Eine infinitesimale Abbildung des Sphäroids auf sich selbst
2
("konforme Anfelderung") . . . . . . . . . . . . . 291
VI,4 Anhang: Übersicht über die Abbildungen in Abschnitt VI . . 296
VI,5 Anhang: Numerische Beispiele für die Abbildungen in Abschnitt VI 303
VII. Abschnitt.
Die stereographischen Abbildungen, Kegelabbildungen und die
allgemeine Bogenabbildung des Sphäroids.
VII,1 Die Klasse der stereographischen Projektionen. . . . 313
VII,1 Die stereographische Grund- oder Polarprojektion H 314
1
VII,1 Die allgemeinen stereographischen Projektionen HA 318
2
VII,1 Die stereographische Projektion H* mit diametralem
2a
Null- und Unendlichkeitspunkt, insbesondere die
stereographische Äquatorialprojektion H:{ . . . . . 318
VII,12b Die stereographische Projektion H mit zur Äquator-
ebene symmetrischem Null- und Unendlichkeitspunkt 339
VII,1 Die Ga uß-Krügersche stereographische Projektion
2e
des Sphäroids Ha . 341
VII,2 Die Klasse der KegelpJ;ojektionen. . . 358
VII,2 Die Grund-oder Polark egelprojektion .11 358
1
VII,2 Die allgemeinen (normalen) "Kegelprojektionen" AA 369
2
VII,22• Die Kegelprojektion *.11 mit pseudodiametralem Null-
und U nendliGhkeitspunkt, insbesondere die La m be r t
sche Äquatorialprojektion *AÄ • . • • . • • • . • 369
x
Inhaltsverzeichnis.
_ Seite
VII,2 Die Kegelprojektion A mit zur Äquatorebene symme
2b
trischem Null- und Unendlichkeitspunkt . . . . . . 371
VII,2 Die Gauß-Lagrangesche Kegelprojektion AG der
2c
Klasse a, insbesondere die spezielle Lagrangesehe
Projektion AL . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
VII,2 Die "schiefen" Kegelprojektionen, insbesondere die schiefe
3
Polarprojektion der Kugel A. * . . . . . . . . . . . . . . 386
VII,3 Die allgemeine gewöhnliche und modifizierte Bogenabbildung . . . 387
VII,31 Die gewöhnliche und die modifizierte Bogenabbildung 0"(<<), (1(<<)
für die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
VII,32 Die Bogenabbildung 1:(<<) für das Sphäroid . . . . . . . . 394
VII,4 Anhang: übersicht über die wichtigsten Abbildungen in Abschnitt VII 404
VII,5 Anhang: Numerische Beispiele für die Abbildungen HG und A 410
VIII. Abschnitt.
Die Transformationen der isothermen Koordinatensysteme.
VIII,I Die allgemeine Methode . . . . . . . . . . . . . . . . .. 420
VIII,2 Der übergang von einem System zu einem anderen der gleichen Art,
aber mit verschiedenen Anfangselementen . . . . . . . . . . . . 421
VIII,2 Transformation zweier Gauß-Krügerscher Systeme ... 421
1
VIII,2 Allgemeiner Fall (Transformation zwischen zwei
1&
Streifen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
VIII,2 Erster Sonderfall: Transformation von (lokalen)
1b
Spezialkoordinaten in ein Landessystem . . . . . 425
VIII,2 Zweiter Sonderfall: Transformation von Landes-
1c
koordinaten in ein Spezialsystem . . . . . .. 428
VIII,2 Transformation zweier stereographischer Projektionen ... 430
2
VIII,2 Transformation zweier Lambertscher Kegelprojektionen. 431
3
VIII,3 übergang von einem isothermen System zu einem anderen ver
schiedener Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
VIII,3 Transformation zwischen der Ga uß-Krügerschen Meridian
1
bogenabbildung und der allgemeinen (insbesondere quer-
achsigen) Bogenabbildung . . . . . . 433
VIII,3 Transformation zwischen rund H, HG 435
2
VIII,3 Transformation zwischen rund A, AG 437
3
VIII,4 Näherungsmethoden . . . . . . 440
IX. Abschnitt.
Verschiedene Projektionen des Erdsphiiroids auf Ebene, Kugel
und Drehellipsoid.
IX,I Konforme (winkeltreue) Projektionen . . . . . . . . . . 441
IX,ll Allgemeines. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 441
IX,1 Projektionen mit vorheriger Zerlegung des Sphäroids 442
2
IX,1 Konforme Doppelprojektionen 443
3
IX,2 Flächentreue Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . 444
IX,3 Geometrisch definierte Projektionen. . . . . .. . . . . 444
IX,4 Projektionen mit vorgegebenen Netz- und Verzerrungseigenschaften 445
IX,5 Zusammengesetzte und überlagerte Projektionen 446
IX,6 Kartographischer Ausblick. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447