Mathematische Gesetze der Logik I: Vorlesungen über Aussagenlogik PDF
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DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE HERAUSGEGEBEN VON R. GRAMMEL· F. HIRZEBRUCH· E. HOPF H. HOPF . W. MAAK· W. MAGNUS· F. K SCHMIDT KSTEIN·B.L.VAN DER WAERDEN BAND 69 MATHEMATISCHE GESETZE DER LOGIK I VON H. ARNOLD SCHMIDT SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG 1960 MATHEMATISCHE GESETZE DER LOGIK I VON H.ARNOLD SCHMIDT DR. PHIL., ORD. PROFESSOR DER MATHEMATIK UND DER MATH. LOGIK AN DER UNIVERSITAT MARBURG VORLESUNGEN DBER AUSSAGENLOGIK MIT 24 ABBILDUNGEN SPRINGER-VERLAG BERLIN· GOTTINGEN· HEIDELBERG 1960 ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN VORBEHALTEN OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES 1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS AUF PHOTOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALT IGEN © BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN· GbTTINGEN . HEIDELBERG 1959 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1959 ISBN-13: 978-3-642-94781-0 e-ISBN-13: 978-3-642-94780-3 OOI: 10.1007/978-3-642-94780-3 DRUCK DER UNIVERSITATSDRUCKEREI H. STURTZ AG., WURZBURG Vorwort. A. Die Zielsetzung des Buches. Die mathematische Logik, die hinsichtlich ihrer Methode als Mathe matik, hinsichtlich ihres Gegenstandes als Logik anzusprechen ist, stellt sich als eines jener Wissensgebiete dar, auf denen sich gegenwartig die ur sprunglichen Interessen der Mathematiker und der nicht originar mathe matisch orientierten Geisteswissenschaftler uberschneiden. Die Gesetz maBigkeit des Denkens hat sich in weitem MaBe als eine so1che von der Art mathematischer GesetzmaBigkeiten enthlillt, und keine Logik kann an diesem Tatbestand mehr vorbeigehen, so wie heute etwa keine Physik mehr den analogen Tatbestand ignoriert. Das vorliegende Buch will sich demgemaB - wie die ihm zugrunde liegenden mehrfach gehaltenen Vorlesungen es wollten - zunachst an Mathematiker, zugleich aber auch an mathematisch interessierte Nicht mathematiker - hiervor allem eben: an geisteswissenschaftlich orien tierte Logiker - wenden. Diesem Ausgangsimpuls entspringt eine doppelte Zielsetzung. Einerseits will das Buch - im Gegensatz zu bloBen Anfangerbuchem - in jedem angeschnittenen Problemkreis bis zu seinen zentralen Fragestellungen vordringen und sie in exakter mathematischer Behandlungsweise beantworten. Andererseits solI es jedoch gleichzeitig den nebenfachlich mathematisch ausgebildeten Lesem das Instrumen tarium, das zum vollen Erfassen des mathematischen Gehaltes des Stoffes natig ist, in die Hand geben. Mit der primaren Absicht, die mathematischen Leser in die wichtigen Zuge des Wissensgebietes einzu fUhren, laBt sich diese Rucksichtnahme wohl gerade auf Grund der oben gekennzeichneten Eigenart der mathematischen Logik zwanglos ver einigen, und zwar in der Weise, daB die einzelnen Kapitel mit einer aus fuhrlichen Erlauterung der Grundbegriffe und der methodischen Grund gedanken beginnen und sodann in den Kern der Fragestellungen ein dringen, wobei diese Fragen jeweils ihre Lasung finden. Bei so1chen Problemen, die sich an spezielle Kodifikationen anschlieBen, wird auch das methodische Prinzip, nach dem das betreffende Kodifikat zunachst ein Stuck weit konkret verfolgt wird, ehe in die syntaktische Unter suchung eingetreten wird, der anschaulichen Profilierung des Gegen standes forderlich sein. VI Vorwort. Es wird hier nicht der Versuch gemacht, die Logik voraussetzungslos aufzubauen; - wenn auch der grundsatzliche Zweifel an der Moglichkeit des Aufbaus eines logischen Kodifikats ohne jede logische Voraussetzung in das Gebiet erkenntnistheoretischer Voruberlegungen gehort, die in diesem Buche vermieden werden sol1en, so darf doch die Absicht be kundet werden, einem solchen Ziele in diesem Buche nicht nachzujagen. Ein gewisser Teil der Logik wird hier schon - in den syntaktischen Erorterungen und Nachweisen - vorausgesetzt; es handelt sich dabei urn einen mehr oder weniger primitiven Bereich des SchlieBens von kombinatorisch-konstruktiver Art. Zur Vermeidung von Zweigleisigkeiten ist bei der nachfolgenden Einfiihrung in die Aussagenlogik auf die gleichzeitige Analyse dieses Bereiches verzichtet wor den. Ebenso wurden auch "Oberlegungen aus der sogenannten formalen Semantik vorerst beiseite gelassen, damit ein moglichst klares Bild der deduktiven Logik hervortrete (vgl. hierzu spater S. 140). Bei der Behandlung der Pradikatenlogik, der der II. Band gewidmet sein wird, gibt es "Oberlegungen, in denen formal semantische Argumentationen eine fundamentale Rolle spielen; dort werden sie zu ihrem Recht kommen. Auch ein zweites Ziel hat sich die Vorlesung nicht gesetzt: sie will nicht die mathematische Logik als ein Werkzeug zum Denkenlernen hinstel1en. Der aufmerksame Leser wird auf Schritt und Tritt solchen Dberlegungen, Beispielen und Ausblicken begegnen, die in hervorragen der Weise geeignet sind, das exakte Denken zu trainieren und den Um gang mit Begriffen, Schlussen und Begrundungen praziser zu gestalten. Diese Wirkung der mathematischen Logik liegt so sichtbarlich auf der Hand, daB ein pathetischer Hinweis darauf den Effekt nur abschwachen wiirde. Die Struktur des Denkens ist eben mathematischer Art, und wer dieser mathematischen Struktur nachspurt, schult gleichzeitig sein Denken und klart es abo Andererseits jedoch ist diese Analyse des Denkens weit davon entfernt, sich als ein bloBes Organon, ein Werkzeug miBbrauchen zu lassen, mittels dessen man in einer mechanischen Weise Denken erlernen konnte. Mit der Absicht, die Vorlesung in allen Teilen so einzurichten, daB sie auf den logischen Gehalt ausgeht, hangt es zusammen, daB uberall eine moglichst einfache symbolische Einkleidung gewahlt wurde, ohne auf schmuckendes Nebenwerk einzugehen. Demgegenuber sei der (bereits weiter oben gestreifte) Verzicht auf jegliche erkenntnistheoretische oder philosophische Diskussion hervorgehoben. Es wird zwar an mehreren Stel1en die Harte, der die alternare Implikation in ihrer Interpretation unterliegt, beleuchtet, und bei der Behandlung der Hauptansatze fUr nichtalternare Logik - d. h. der derivativen, der intuitionistischen und der strikten Logik - ist jeweils zunachst einfUhrend auf die leitenden Konzeptionen eingegangen worden. Hieriiber hinaus jedoch wird jede Vorwort. VII philosophische Erorterung streng verrnieden. Die Probleme und ihre Behandlung sollen in allen Phasen der Uberlegungen nach Moglichkeit fiir sich seIber sprechen und dem Leser das Material zu eigener erkennt nistheoretischer Bearbeitung erstellen. [Betreffs einer solchen philoso phischen Unterrnauerung ist iiberdies in einigen Fallen zu empfehlen, die jeweiligen pdidikatenlogischen Aufstockungen der Probleme - die im II. Bande folgen sollen - abzuwarten; so schlieBt z. B. die iiber zeugende Systematik, die den - im 6. und 7. Abschnitt des vorliegenden Buches vorgefiihrten - Aufbau der intuitionistischen Aussagenlogik aus den fundamentalen derivativen Postulaten (mit Heranziehung der im plikativen Form zu einer eliminierbaren SchluBregel) in aussagenlogischer Sicht auszeichnet, nicht aus, daB sich bei der Erweiterung zur intui tionistischen Pradikatenlogik weitere nicht unerhebliche Gesichtspunkte fiir die Analyse des erkenntnistheoretischen Standortes des mathemati schen Intuitionismus herausschalen werden.] Nicht in die Darstellung einbezogen wurden unter anderem solche Zweige der Aussagenlogik, bei denen das mathematisch-methodische Interesse weit iiber dasjenige der rein logischen Interpretation hinaus zugehen schien, sowie solche logischen Teilgebiete, die zwar mit der Aussagenlogik in Beriihrung stehen, die jedoch in einer strengen Syste matik primar nicht so sehr der Aussagenlogik als vielmehr einer ver wandten Disziplin - etwa der Wahrscheinlichkeitstheorie (so die soge nann ten "mehrwertigen Logiken") oder auch einer eigenstandigen I{las senlogik zuzurechnen sind (so die Syllogistik, die zwar ihr aussagen logisches Entsprechen hat, deren originare Interpretation jedoch in der klassen- und pradikatenlogischen Sphare liegt). In keiner Weise wird Vollstandigkeit in einem enzyklopadischen Sinne angestrebt, die jedem Losungsversuch und jeder Variante eines Problems Raum gabe. Vielmehr wird umgekehrt der Versuch gemacht, von parallel verlaufenden oder sich verastelnden Teilziigen eines Pro blems jeweils einen Zug herauszuheben und konsequent zu verfolgen. Der Leser solI hierdurch in einen solchen Stand der Vertrautheit mit der Materie versetzt werden, der ihm erlaubt, andere Teilziige, soweit sie ihm begegnen werden, zu iiberschauen und insbesondere sie als Teil ziige von hier mitgeteilten Problemen zu wiirdigen. Den Ausfiihrungen aller verschiedenen Kapitel liegt eine einheitliche Betrachtungs- und Darstellungsweise zugrunde; in vielen Fallen werden die Problemstellung und die Losungsmethode durch Einblendung in den gemeinsamen Be trachtungswinkel erheblich gegeniiber den literarischen Urspriingen modifiziert (so wird, - urn schon hier ein Beispiel zu nennen, auf das weiter unten noch einzugehen sein wird - die strikte Logik aus einem rein aussagenlogischen Kodifikat entwickelt). VIII Vorwort. B. Einige Hinweise zum Lesen des Buches. Zum Lesen des Buches seien noch einige Hinweise gegeben. Die benutzten logischen Zeichen sind am Ende des Buches zusammen gestellt. Urn dem Leser ein moglichst plastisches Bild der einzelnen Gebiete zu vermitteln, wurde in fast allen Abschnitten eine Reihe stichwort artiger Ubersichten und tabellarischer Z~tsammenfassungen bzw. Gegenuber stellungen eingestreut, deren ausgiebiger Gebrauch hiermit empfohlen sei. An mehreren Stellen wird ein eiliger Leser, m.a.W. ein so1cher, der sich zunachst im graBen informieren mochte, ohne auf die mathematische Durchftihrung eingehen zu wollen, darauf aufmerksam gemacht, daB er einen Paragraphen oder eine ganze Gruppe von Paragraphen tiber schlagen konne. Hierdurch ist, wie ich zuversichtlich hoffe, auch ein mehr oberflachlich interessierter Leser der Furcht vor zu groBem Umfang der Lekttire enthoben; tiberdies ist jeweils die Einteilung des Stoffes nach Moglichkeit so sichtbar angelegt, daB jeder Leser unschwer das ihn Interessierende herauszuholen vermag, ohne sich mit den tibrigen Teilen zu belasten. Zur Erleichterung einer so1chen teilweisen oder un geordneten Lekttire habe ich allenthalben moglichst viele Verweisungen eingeftigt; insbesondere dienen dies em Zwecke auch Verweisungen auf spiiter folgendes, die die jeweiligen Querverbindungen deutlich prafilieren sollen. Den Verweisungen der letzteren Art ist stets das Wort "spater" beigegeben. Demjenigen Leser, der das Buch in der ordnungsgemaBen Reihenfolge liest, solI hierdurch signalisiert werden, daB er die betref fende Verweisung nicht zur Kenntnis zu nehmen braucht; es moge sich also niemand durch die Verweisungen auf spater folgendes in seiner normalen Lekttire unterbrechen lassen! Es ist vielleicht gut, schon hier beziiglich der Verwendung von Anfuhnmgs zeichen im Text auf S. 147 zu verweisen, auf der erHiutert wird, warum ihre Ver wendungsweise sich im folgenden nicht einer in der mathematischen Logik in weitem MaBe eingebiirgerten und an sich wohlfundierten Gebrauchsweise an schlieBt; bei Einbeziehung semantischer Uberlegungen in den II. Band wird sich iibrigens das Bediirfnis nach teilweisem AnschluB an diese Gebrauchsweise starker geltend machen. Die kodifikativen Beweise, durch die, wie bereits in Abteilung A erwahnt wurde, die meisten vorgeftihrten Kodifikate ein Stuck weit ausgeleuchtet werden, wurden so ausftihrlich gestaltet, daB der Leser sie bequem ohne Ausftihrung von Nebenrechnungen durchfiihren kann. Das am Ende des Buches angeftigte ,Verzeichnis der wichtigsten numerierten Formen' solI das Lesen dieser Beweise erleichtern. Dem fortgeschrittenen Leser kann iibrigens zur Lektiire so1cher kodifikativen Beweise unbedenklich geraten werden, sie jeweils gerade so weit auszudehnen, wie dies zur Erlangung einer hinreichenden Vertrautheit im Umgang mit dem be- Vorwort. IX treffenden Kodifikat wunschenswert erscheint, und sich von da an mit der Aneignung der bewiesenen Form selbst zu begnugen, da dies zum Verstandnis der anschlieBenden syntaktischen Fragen ausreichen wird. Wiehtig ist noch der Hinweis auf die allenthalben beigegebenen Aufgaben. Sie teilen sich in Textaufgaben und andere Aufgaben. Eine Textaufgabe ist dort eingeschaltet, wo eine Passage der Deduktion so trivial erscheint oder bereits vorher so oft vorgeftihrt wurde oder wo sie in so deutlichem MiBverhaltnis zur Tiefe des Ergebnisses steht, daB eine genauere DurchfUhrung eher eine stcirende Verz6gerung der Lekture als eine Hilfe fUr den Leser bedeuten k6nnte. Um darauf aufmerksam zu machen, daB die betreffende Passage verkurzt oder uberschlagen wurde, wird der Leser durch den Terminus "Textaufgabe" zum kurzen Uberdenken der Deduktion aufgefordert. Bis auf die Textaufgaben soIl eben der gesamte Text ohne Zuhilfenahme eines Bleistiftes zugig lesbar sein. (Der Terminus "Textaufgabe" ersetzt an einigen Stellen auch die frtiher ubliche Wendung "wie man leicht erkennt" und soIl in diesem FaIle dem Leser die Garantie bieten, daB - leider im Gegensatz zu manchem Gebrauch der genannten Wen dung - die Sache trivial, d.h. wirklich leicht vollstandig zu erkennen ist.) Auch die Aufgaben, die nieht als Textaufgaben gekennzeichnet sind, sind in der Regel keines wegs schwere Erprobungsaufgaben, sondern lediglich Aufforderungen zum bloBen Trainieren der im Text gegebenen methodischen Grundzuge (es gibt nur vereinzelte Ausnahmen). GemaB dem in Abteilung A umrissenen Charakter des Buches ist zur Unterstreichung des einheitlichen Standes der aussagenlogischen Pro blemstellung im Text selbst auf die Angabe von Autoren und Publi kationen grundsatzlich verzichtet worden. Eine Ausnahme bilden hier neben den Initiatoren so1cher Problemkreise, denen je ein ganzer Abschnitt des Buches gewidmet ist (z. B. Gentzen, Lewis u. a.) ledig lich so1che Autoren, deren Name als Bestandteile gewisser Fach ausdrucke auftreten, und zwar entweder von allgemein eingeburgerten Fachausdrucken (wie z.B., "Peircesche Wahrform") oder von Fachaus drucken, deren Attribute der Unterscheidung dienen (wie z.E. die Autorennamen verschiedener Axiomensysteme). Ein an del' Angabe der Autoren interessierter Leser findet dem gegenuber bei der im nachsten Absatz folgenden Inhaltsubersicht zu jedem vorgebl'achten Problem die Quellenangabe. Auf diese bezieht sich auch das spater folgende Literaturverzeichnis. C. Inhaltsiibersicht. An den Anfang der Vorlesungen ist ein Abschnitt uber die Algebra der Logik, die sogenannte BOoLEsche Algebra [3J gestellt. Da diese von Gleichungen zwischen Aussagenformen handelt, erscheint sie durch x Vorwort. ihre Affinitat zur elementaren Algebra den meisten Anfangern der Logik recht eingangig underleichtert ihnen somit das Eindringen in mathe matische Gesetze der Logik. Von dem Standort, den die moderne mathematische Logik erreicht hat, stellt sich allerdings ein so1cher Gleichheitskalkiil nicht als die angemessenste Erfassung so1cher Gesetz maBigkeiten dar, und unter diesem Aspekt ist man versucht, der Algebra der Logik eine ahnliche Rolle zuzuweisen, wie sie die Segelschiffe in der Handelsmarine spielten: wenn sich auch mit geraumer Zeit das Gros der Handelsschiffe aus neueren Schiffstypen zusammensetzen wird, so vermittelt doch ihre Benutzung nach wie vor eine fachgerechte Grund ausbildung. Unter einem anderen Aspekt nimmt jedoch die Algebra der Logik gerade heute wieder einen hervorragenden Platz in der logi schen Kodifikation ein; sie ordnet die GesetzmaBigkeiten des Denkens einer zentralen Teilstruktur der heutigen Algebra unter, derjenigen der distributiven Verbande. Auch unter diesem Aspekt wird die logische Algebra hier vorgefiihrt. Dariiber hinaus dient der Nachweis del' Vollstandigkeit der Boole schen Algebra (Kap. III) zugleich der Vorbereitung auf den Vollstandig keitsnachweis fUr ein spaterfolgendes normaldeduktives "WR-Kodifikat" (entsprechend bildet ein in sich abgeschlossenes Kapitel, das sich im AnschluB an eine Arbeit von H. HERMES und H. SCHOLZ [11] mit der Vollstandigkeit einer bloB en Implikations-Negations-Logik befaBt - Kap. V - die Vorbereitung auf den Vollstandigkeitsnachweis fUr ein spater folgendes normaldeduktives "FL-Kodifikat"). Der Verfasser hat in den 1. Abschnitt eine Reihe anschaulicher Inter pretationsbeispiele eingestreut, die den Einfiihrungszweck erleichtern sollen und die in den weiteren Abschnitten naturgemaB zuriicktreten. - Einige Paragraphen (insbesondere § 24) deuten kurz die Zusammen hange mit del' Klassen- und Begriffslogik an. Die im 2. Abschnitt gebrachte EinfUhrung in die wertende Logik legt den Grund fiir die alterniire Aussagenlogik, die sich als diejenige Theorie beschreiben laBt, we1che aus der Aristotelischen Kennzeichnung del' Aussage als dessen, was entweder ,wahr' oder ,falsch' ist, entspringt. Die Auffassung der logischen Verkniipfungen als Wahrheitsfunktionen bildet das Fundament dieser Dberlegungen, in deren Verlauf unter anderem die binaren Verkniipfungen zueinander in Beziehung gesetzt und die wichtigsten binaren Verkniipfungsbasen vorgefUhrt werden (Kap. VI). Der Begriff der Wahr/orm, der in diesem Zusammenhang erortert wird (Kap. VII), wird aIle weiteren Dberlegungen zur alternaren Aus sagenlogik (1. Teil des Buches) durchziehen. Es werden zunachst die wichtigsten Typen von Wahrformen zusammengestellt - §§ 43f. (diese Dbersicht ist zugleich zur Einiibung des Lesens aussagenlogischer For meln geeignet). Vorwort. XI Der Darstellung der Wahrheitswertung schlieBt sich eine solche der Methode der Quasiwahrheitswertungen an (Kap. VIII), die vornehmlich wohl von BERNAYS [2J, LUKASIEWICZ und TARSKI [19J entwickelt wurde und die in erster Linie dem Nachweis von Unabhangigkeiten bei deduk tiver Kodifikation der Logik dient. 1m Zusammenhang mit den Quasiwahrheitswertungen wird in § 49 auch auf die Bedenklichkeiten eingegangen, die einer rein aussagen logischen Interpretation der sogenannten "mehrwertigen Logiken" (ge nauer: der "mehr-als-zweiwertigen Logiken") entgegenstehen. Der ausfiihrlicheren Beschaftigung mit der bei der Behandlung der Quasiwahrheitswertungen bereits kurz in vorlaufiger Weise heran gezogenen deduktiven Behandlungsweise ist im 3. Abschnitt zunachst eine allgemein gehaltene Erklarung des Begriffs des kodifizierten Wis sensgebietes bzw. des Kodifikates [24J vorangestellt. Die Kodifikation eines exakten Wissensgebietes geht iiber die - insbesondere seit dem Erscheinen von Hilberts "Grundlagen der Geometrie" urn die Jahr hundertwende in der Mathematik und in Teilen z.B. der Physik heimisch gewordene - Axiomatisierung gerade durch die Einbeziehung des Logi schen in die exakte Fixierung hinaus; auch ein solcher Axiomatiker, der noch nicht das Systematisch-zwingende dieser Entwicklung eigenstandig nachempfunden haben sollte, wird einen solchen Ubergang jedenfalls als eine durch die bekannten Paradoxien der Mengenlehre und Logik aufge deckte Notwendigkeit anerkennen, und tatsachlich ist, wie ich glaube, durch den Begriff der Kodifikation die Grundkonzeption umrissen, deren sich kiinftige exakte Forschung bedienen wird. (Es gibt mannigfache Ab wandlungen dieser Konzeption; am nachsten steht der hier gepragten Fixierung neben der alten CARNAPschen [5J Bestimmung der "formalen Sprache" wohl die jetzt vielfach benutzte, ebenfalls ein wenig allgemeinere CURRYSche [6J Begriffsbildung des "formal systems"). In §53 wird die logi sche Fundierung einerTheorie in einem ,logischen Kernkodifikat' skizziert. Die wichtigsten Ziige der allgemeinen Syntax der Kodifikate werden in Kap. X umrissen, wobei flir die HILBERTschen Grundanforderungen an Axiomensysteme, namlich Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit (sowie gegenseitige Unabhangigkeit der Axiome) jeweils die verschie denen angemessenen Fassungen einander gegeniibergestellt werden. Grundlegende syntaktische Unterscheidungen - wie diejenigen von Einschlagigkeit und Beweisbarkeit von Ausdriicken (bzw. Formen), Vollstandigkeit und Entscheidungsdefinitheit von Kodifikaten, Aqui valenz und Deduktionsgleichheit von Satzgebilden (d.h. einschlagigen Ausdriicken), explizite und implizite Abhangigkeit von SchluBregeln, Separation, Elimination und Inversion von SchluBregeln, Elimination und Reduktion von Begriffen (nebst Restriktion von Kodifikaten) werden ausfiihrlich auseinandergesetzt.
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