Mathematische Exkursionen: Gödel, Escher und andere Spiele

276 Pages·2010·12.75 MB·German

by  Manfred Dobrowolski

Mathematische
Exkursionen
Gödel,Escher und andere Spiele
von
Prof.Dr.Manfred Dobrowolski
Oldenbourg Verlag München
Prof. Dr. Manfred Dobrowolski ist seit 1995 Inhaber des Lehrstuhls für Angewandte Ma-
thematik an der Universität Würzburg. Nach der Habilitation im Fach Mathematik an der
Universität Bonn war er von 1984 bis 1986 Professor an der Universität der Bundeswehr in
München und von 1986 bis 1995 Professor an der Universität Erlangen. Professor Dobro-
wolskis Arbeitsgebiete sind die Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.

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Lektorat: Kathrin Mönch
Herstellung: Anna Grosser
Coverentwurf: Kochan & Partner, München
Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier
Gesamtherstellung: Grafik + Druck, München

ISBN 978-3-486-58909-2
Vorwort
Das vorliegende Buch ist aus der Veranstaltungsreihe Mathematik am Samstag“ ent-
”
standen, die ich seit einigen Jahren an der Universit¨at Wu¨rzburg fu¨r Mathematik-
Interessierte abhalte. Der Teilnehmerkreis setzt sich aus Schu¨lern, Studenten, Lehrern
und sonstigen Personen zusammen. Die Teilnehmerzahlen lassen auf die Popularit¨at
derbehandeltenThemenschließenundzeigenklarePr¨aferenzen: Escher“, Chaosund
” ”
Fraktale“, Wie l¨ostmanMathematik-Aufgaben?“,undzwarindieserReihenfolge.Ich
”
habe mir inallenVeranstaltungenvorgenommen,nebendem visuellenAspekt auchdie
zugrunde liegende Mathematik zu erl¨autern. Vor allem beim mittleren Thema besteht
dann die Gefahr, die Teilnehmer zu u¨berfordern.
Besonders wu¨nsche ich mir, dass die Leser einen Zugang zur Mathematik des 20. Jahr-
hunderts bekommen. Gerade hier finden wir viele frische Ideen jenseits der Schulma-
thematik, die das heutige Weltbild mitpr¨agen. Neben Chaos und Fraktale“ geh¨oren
”
dazu sicherlich die strategische Spieltheorie sowie die mathematische Logik und Bere-
chenbarkeit.
Bei Veranstaltungen, in denen die Teilnehmer ganz unterschiedliche Voraussetzungen
mitbringen,sindnatu¨rlichThemengefragt,diesichohnegroßenVorlauferkl¨arenlassen.
Sie stammen daher zu einem guten Teil aus der diskreten Mathematik, die heute eher
in der Informatik als in der Mathematik gepflegt wird. Neben der bereits erw¨ahnten
Logik und Berechenbarkeit“ geh¨oren die Kapitel u¨ber Graphen und Polyeder sowie
”
u¨ber die kombinatorische Spieltheorie in diesen Bereich.
Als direkte Fortsetzungen der Schulmathematik sind eigentlich nur die Kapitel u¨ber
Algebra und Zahlentheorie sowie u¨ber Stochastik zu sehen, aber auch hier hoffe ich,
den Themen interessante und ungew¨ohnliche Aspekte abgewonnen zu haben.
Normalerweisedientdas Vorwortdazu,sichfu¨r das Buchzurechtfertigen.Ichrechtfer-
tige mich fu¨r die Auswahlder Themen, die in der Tat subjektiv gef¨arbtist. Um ehrlich
zu sein, habe ich das Buch geschrieben, das ich als junger Mann gerne gelesen h¨atte.
Besonders danken m¨ochte ich meiner Kollegin Frau Huberta Lausch, die mir vor allem
bei der Abfassung des Kapitels u¨ber Algebra und Zahlentheorie sehr geholfen und aus-
giebigKorrekturgelesenhat.FernerdankeichdemOldenbourgWissenschaftsverlagfu¨r
die Bereitschaft, dieses Buch zu publizieren.
Wu¨rzburg Manfred Dobrowolski

Inhaltsverzeichnis
1 Der Anfang ist leicht 1
1.1 Etwas Logik........................................................... 1
1.2 Natu¨rliche Zahlen und vollst¨andige Induktion .......................... 3
1.3 Kombinatorik ......................................................... 7
1.4 M¨achtigkeit von Mengen............................................... 11
1.5 Aufgaben ............................................................. 15
2 Graphen und Polyeder 19
2.1 Graphen und Eulersche Polyederformel ................................ 19
2.2 Die platonischen K¨orper............................................... 22
2.3 Kombinatorische Probleme auf Graphen ............................... 24
2.4 Ramsey-Zahlen........................................................ 29
2.5 Aufgaben ............................................................. 32
3 Algebra und Zahlentheorie 35
3.1 Grundlegende S¨atze der elementaren Zahlentheorie..................... 35
3.2 Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln.............................. 39
3.3 Gruppen .............................................................. 44
3.4 Restklassenk¨orper und der Satz von Wilson............................ 48
3.5 Geheimcodes .......................................................... 49
3.6 Aufgaben ............................................................. 54
4 Wie l¨ost man Mathematik-Aufgaben? 59
4.1 Themen............................................................... 59
4.2 Methoden ............................................................. 68
4.3 Psychologie ........................................................... 72
4.4 Hilfsmittel aus der Analysis: Konvexit¨at ............................... 75
4.5 Aufgaben ............................................................. 77
VIII Inhaltsverzeichnis
5 Stochastik 83
5.1 Wahrscheinlichkeit und Statistik im Alltag............................. 83
5.2 Paradoxiender Wahrscheinlichkeitsrechnung ........................... 85
5.3 Glu¨cksspiele........................................................... 90
5.3.1 Roulette .............................................................. 90
5.3.2 Lotto ................................................................. 91
5.3.3 Wetten................................................................ 92
5.3.4 Black Jack ............................................................ 93
5.4 Die Monte-Carlo-Methode ............................................. 98
5.4.1 Bestimmung des Kugelvolumens ....................................... 99
5.4.2 Berechnung von Finanz-Derivaten ..................................... 101
5.5 Aufgaben ............................................................. 104
6 Kombinatorische Spieltheorie 107
6.1 Nim................................................................... 108
6.2 Kombinatorische Spiele als halbgeordnete kommutative Gruppe ........ 109
6.3 Zahlenwerte des Schwarz-Weiß-Nims................................... 113
6.4 Das Kamasutra der kombinatorischenSpiele ........................... 115
6.5 Neutrale Spiele........................................................ 118
6.6 Die Sprague-Grundy-Theorieder neutralen Spiele...................... 121
6.7 Aufgaben ............................................................. 125
7 Strategische Spiele 129
7.1 Zweipersonen-Nullsummenspiele ....................................... 129
7.2 Nichtnullsummen- und Mehrpersonenspiele ............................ 135
7.3 Das Verhandlungsproblem............................................. 138
7.4 Evolution¨are Spieltheorie .............................................. 140
7.5 Aufgaben ............................................................. 142
8 Escher-Parkettierungen 145
8.1 Einfu¨hrung............................................................ 145
8.2 Die 17 ebenen kristallographischenGruppen ........................... 149
8.3 Graphentheoretische Klassifikation von Parketten ...................... 154
8.4 Die 28 grundlegenden Escher-Parkette ................................. 154
8.5 Analyse einiger bekannter Bilder....................................... 166
Inhaltsverzeichnis IX
8.6 Parkettierungender hyperbolischen Ebene ............................. 171
8.7 Aufgaben ............................................................. 174
9 Logik und Berechenbarkeit 177
9.1 Die G¨odelschen S¨atze.................................................. 177
9.2 Die Turing-Maschine .................................................. 182
9.3 Die Unentscheidbarkeit des Wort-Problems fu¨r Semi-Thue-Systeme..... 189
9.4 Nichtdeterministische Turing-Maschinen und das P =NP-Problem .... 191
9.5 Die Pr¨adikatenlogik ................................................... 193
9.6 Aufgaben ............................................................. 204
10 Chaos und Fraktale 205
10.1 Die Cantor-Menge..................................................... 205
10.2 Die diskrete logistische Gleichung...................................... 207
10.3 Mandelbrot- und Julia-Mengen ........................................ 211
10.4 Hilfsmittel aus der reellen Analysis .................................... 216
10.5 Komplexe Zahlen...................................................... 225
10.6 Aufgaben ............................................................. 229
11 Literaturhinweise und L¨osung der Aufgaben 231
11.1 Weiterfu¨hrende Literatur .............................................. 231
11.2 L¨osung der Aufgaben.................................................. 233
Literaturverzeichnis 259
Index 263