Mathematische Dynamik: Modelle und analytische Methoden der Kinematik und Kinetik

451 Pages·2015·4.71 MB·German

by  Martin Prechtl (auth.)

Springer-Lehrbuch Masterclass
Martin Prechtl
Mathematische Dynamik
Modelle und analytische Methoden
der Kinematik und Kinetik
Martin Prechtl
Fakultät Maschinenbau und Automobiltechnik
Hochschule für angewandte Wissenschaft en
Coburg
Coburg, Deutschland
ISBN 978-3-662-44795-6 ISBN 978-3-662-44796-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-44796-3
Mathematics Subject Classifi cation (2010): 62-01,62-C05,62-B05,62-N05
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Vorwort
”Magna pars est profectus velle proficere.”
– L.A. Seneca, 4 v.Chr. - 65 n.Chr. –
Nach Seneca hat der Wunsch nach Fortschritt den gr¨oßten Anteil an dem,
wasmanerreichthat.FolglichistdaspermanenteBestreben,Neulandzube-
tretenunddieseszudurchdringen,Quelleinererfolgreichenunddamitauch
befriedigendenWeiterentwicklung.DiesesBuchsolldiespannendeWeltder
Dynamik er¨offnen, kombiniert mit einem intensiven Hauch von Mathema-
tik.HatjemanddasZiel,indiese“Disziplin”einzutretenundschließlichbis
zu einem qualifizierenden Wissensstand fortzuschreiten, so sollen hier alle
notwendigen Hilfestellungen gefunden werden.
Grundlage fu¨r den Inhalt sind meine Lehrveranstaltungen u¨ber “Dyna-
mikund H¨ohereDynamik” sowie“MathematischeMethodenund Modelle”
an der Hochschule Coburg. Eine Reihe von Inspirationen dafu¨r haben aber
ihren Ursprung in den fru¨heren Vorlesungen “Technische Mechanik 3 – Ki-
nematikundKinetik”sowie“TechnischeMechanik5–Maschinendynamik“
von Professor Kuhn (ehem. Ordinarius des Lehrstuhls fu¨r Technische Me-
chanik der Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-Nu¨rnberg). Ich hatte
die Ehre, bei ihm – zusammen mit Professor Geiger – meine Promotions-
eignungspru¨fung abzulegen. An dieser Stelle sei auch ganz besonders der
mittlerweileleiderschonverstorbeneProfessorRast(HochschuleMu¨nchen)
erw¨ahnt; er hat mich stets fu¨r Mathematik begeistert und mir pr¨agende
Impulse fu¨r einen erfolgreichen Abschluss des Studiums gegeben. So man-
che Beispiele aus seinem grandiosen Mathematikunterricht leben jetzt in
meinen Vorlesungen weiter.
DasBuch“MathematischeDynamik”stelltdenAnspruch,abgesehenvon
einigenDetails,diegesamteBandbreitederTheoriederBewegungsvorg¨ange
darzustellen, unter Beru¨cksichtigung aller fu¨r ein vertieftes Verst¨andnis der
Theorie erforderlichen Herleitungen. Jedoch liegt der Fokus in der Darstel-
lungdersystematischenDenkweiseimRahmenderModellbildungbzw.der
L¨osungvonspezifischenFragestellungen.ZudemwerdendieS¨atzederDyna-
mik sowie ausgew¨ahlte mathematische Methoden an relativ einfachen, aber
aussagekr¨aftigen Beispielen angewandt und diese komplett und ausfu¨hr-
lich durchgerechnet. Eine vergleichende Erl¨auterung alternativer L¨osungs-
ans¨atze – sofern m¨oglich und sinnvoll – liefert dem Leser schließlich einen
V
VI Vorwort
u¨bergeordnetenBlickaufdieThematikundf¨ordertdabeidasErkennenspe-
zifischer Zusammenh¨ange sowie das laterale Denkverm¨ogen. Das Lehrbuch
ist hervorragend als Prim¨ar- oder Erg¨anzungsliteratur fu¨r ein Studium des
Maschinenbaus an Hochschulen fu¨r angewandte Wissenschaften bzw. Tech-
nischen Hochschulen und Universit¨aten geeignet sowie fu¨r Studierende und
LehrendeineinemfachlichverwandtenStudiengang.Hierbeiseibetont,dass
die“MathematischeDynamik”einepassendeundvertiefendeErg¨anzungzu
Band3deretabliertenReihe“TechnischeMechanik”(ebf.Springer-Verlag)
der Professoren D. Gross, W. Hauger, J. Schr¨oder und W.A. Wall ist.
Ich danke an dieser Stelle dem Springer-Verlag, der sich spontan und un-
kompliziertbereit erkl¨arthat, meineGedankenzur Dynamikzu ver¨offentli-
chen.AllenvoranseihierbeiHr.ClemensHeine,PublishingEditorundPro-
grammleiter Mathematik + Statistik, genannt. Danken darf ich natu¨rlich
auchderLeitungderHochschuleCoburgmitPr¨asidentProf.P¨otzl,diemir
fu¨r dieses Projekt zwei “halbe Forschungssemester” gew¨ahrt hat.
Mein gr¨oßter Dank gilt jedoch meiner lieben Ehefrau Bettina, die wie-
der einmal Verst¨andnis dafu¨r aufbrachte, dass ich mich u¨ber einen l¨angeren
Zeitraum ganz intensiv einem fachlichen Thema zuwandte; darunter hatte
der eine oder andere Abend zu leiden. Gewidmet sei das Buch aber “mei-
nen beiden M¨adels”, meinen bezaubernden T¨ochtern Mathilda Marie und
Lisbeth Luisa. Es ist nicht immer einfach mit ihnen, aber sie sind einfach
wunderbar. M¨ogen beidein ihrem Leben auch immer wieder mal das aufre-
gende Bedu¨rfnis verspu¨ren, im positiven Sinne fortschreiten zu wollen.
Martin Prechtl · Coburg im Jahr 2014
Ode an die Dynamik
Das im Folgenden niedergeschriebene “Werk” wurde im Jahr 2012 von drei
Maschinenbau-Studenten an der Hochschule fu¨r Angewandte Wissenschaf-
ten Coburg verfasst. Es k¨onnte zur “Aufheiterung” dienen und damit das
Erlernen der Dynamik erleichtern. .......................................
Frei nach dem wohl beru¨hmtesten Schiller-Gedicht “Ode an die Freude”,
insbesondere bekannt in der Vertonung von Ludwig van Beethoven (1770-
1827): Schlusschor Sinfonie Nr. 9 in d-Moll, Op. 125: 4. Satz [1].
– 1 – – 2 –
Freude sch¨oner Kinematik Wem der schiefe Wurf gelungen,
Tochter aus Elysium Impuls und Energien kennt.
Wir betreten voller Panik, Wer diesen großen Sieg errungen,
Himmlische dein Heiligtum. Mit Freude aus der Pru¨fung rennt.
Deine Kurse qu¨alen wieder, Wer keine gute Formelsammlung,
Spreu vom Weizen wird geteilt, Sein Eigen nennt auf dem Erdenrund!
Die Erlesenen werden klu¨ger, Und wer’s nie gelernt der stehle,
Wo Deine strenge Knute weilt. Weinend sich aus diesem Bund.
– 3 – – 4 –
Dynamik brauchen alle Wesen, Kinetik heißt die starke Feder,
auf dem Wege zum Diplom. In der ewigen Natur.
Alle Guten, alle B¨osen, Kinematik treibt die R¨ader,
Besteigen so den Masch’bauthron. In der großen Weltenuhr.
Graues Haar und tiefe Falten, K¨orper dreht sie um die Achsen,
Gewichen ward des Lebens Freud. Der Hebelarm erzwingt Moment.
Dieses Antlitz bleibt erhalten, Kugeln pendeln sanft an Federn,
Zehn Jahr dahin der Lebenszeit. Was der Pru¨fer Schwingung nennt.
– 5 – – 6 –
Aus der Wahrheit Notenspiegel, Dozenten kann man’s nicht vergelten,
L¨achelt sie den Pru¨fling an, Sch¨on ist ihnen gleich zu sein.
Die Fu¨nf im Zeugnis sei das Siegel, Wer ohne Plan ist soll sich melden,
Fu¨r des Mu¨ßigg¨angers Bahn. Am Zweitversuche sich erfreun.
Auf dem Tische Bu¨cherberge, Groll und Rache sei vergessen,
H¨ort man sie um Gnade fleh’n, Auch Herrn Prechtl sei verziehn,
Der Kampf mit Keine Tr¨ane soll ihn pressen,
Newtons schwerem Erbe, Keine Reue nage ihn.
L¨asst uns im Chor der Meister steh’n.
VII
VIII Ode an die Dynamik
– 7 – – 8 –
Fester Mut in schweren Leiden, Feuer sprudelt in den Adern,
Hilflos wenn der Blackout scheint, Statt des roten Menschenblut,
Ewigkeit geschwornen Eiden, Bru¨der heut sollt ihr nicht hadern,
Wahrheit gegen Freund und Feind. Der Verzweiflung Heldenmut!
Masch’baustolz vor K¨onigsthronen, Freunde fliegt von euren Sitzen,
Bru¨der g¨alt es Gut und Blut, Wenn die Pru¨fung ist vorbei,
Gute Noten soll’n uns kleiden, Lasst das Bier zum Himmel spritzen,
Untergang der Fristennot. Morgen ist uns einerlei.
Coburg · 2012 ............. von K. Bauder, K. Hofmann, M. Mayer
Und wenn wir schon beim “Aufheitern” sind, so darf ein ebenfalls an der
Hochschule Coburg – im Rahmen einer Dynamik-Vorlesung (Studiengang
Maschinenbau,seinerZeitnochDiplom)–entstandenesBildnichtfehlen...
In diesem Sinne, viel Freude beim Lesen/Studieren! Martin Prechtl
Inhaltsverzeichnis
Begriffe,Symbole XI
1 Kinematik 1
1.1 Kinematik des Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Polarkoordinaten der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Natu¨rliche Koordinaten im Raum . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Relativ-Punktkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Translation des Bezugssystems . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Bezugssystemrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Kinematik starrer K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Translationsbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2 K¨orperrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3 Allgemeine Bewegung starrer K¨orper . . . . . . . . . . 29
1.3.4 Bewegungen in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 Relativ-K¨orperkinematik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Massenpunktkinetik 45
2.1 Newtonsche Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Die Dynamische Grundgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Freie Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Gefu¨hrte Bewegung und Zwangskr¨afte . . . . . . . . . 53
2.2.3 Widerstandskr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Arbeitssatz und konservative Kr¨afte . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5 Drehimpuls, Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6 Impulssatz und Theorie der Stoßprozesse . . . . . . . . . . . . 98
2.6.1 Stoßintegral/Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.6.2 Zentrale St¨oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7 d’Alembertsche Tr¨agheitskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.8 Massenpunktsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.8.1 Schwerpunktsatz, Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . 119
2.8.2 Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.8.3 Arbeits- und Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.9 Zeitlich ver¨anderliche Massen und Schubkraft . . . . . . . . . 130
IX
X Inhaltsverzeichnis
3 KinetikdesstarrenKo¨rpers 135
3.1 Rotation um raumfeste Achsen (1) . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1.1 Momentensatz, Massentr¨agheitsmoment . . . . . . . . 135
3.1.2 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.3 Rotationsenergie und Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . 147
3.2 Ebene Bewegungen starrer K¨orper . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.2.2 Momentensatz fu¨r einen bewegten Bezugspunkt . . . . 156
3.2.3 Impuls- und Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.2.4 Kinetische Energie, Schwerepotenzial . . . . . . . . . . 175
3.3 K¨orperbewegungen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3.1 Momentensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.3.2 Drehimpuls und Tr¨agheitstensor. . . . . . . . . . . . . 189
3.3.3 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.3.4 Euler-Gleichungen und Kreiselbewegungen . . . . . . . 211
3.4 Rotation um raumfeste Achsen (2) . . . . . . . . . . . . . . . 227
4 LagrangescheMethoden 247
4.1 Prinzip von d’Alembert (Fassung nach Lagrange) . . . . . . . 247
4.2 Lagrangesche Gleichungen 1. und 2. Art . . . . . . . . . . . . 251
5 Schwingungsfa¨higeSysteme 269
5.1 Theorie des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . 270
5.2 Freie 1D-Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.2.1 Lineare konservative Systeme, Eigenfrequenz . . . . . . 276
5.2.2 Ersatzfedermodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.2.3 Dissipative Systeme: D¨ampfung . . . . . . . . . . . . . 293
5.3 Harmonische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.3.1 Dimensionslose Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . 305
5.3.2 Frequenzgang in Amplitude und Phase . . . . . . . . . 316
5.4 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.4.1 Freie 2D-Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.4.2 Harmonische Erregung und Schwingungstilgung . . . . 333
5.4.3 Masselose Biegekopplung. . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.5 Eigenschwingungen eines Kontinuums . . . . . . . . . . . . . 352
6 Erga¨nzendeBeispiele 365
Literaturverzeichnis 400
A. Herleitungen 403
B. Massentra¨gheitsmomente 421
Stichwortverzeichnis 431