Mathematische Behandlung naturwissenschaftlicher Probleme: Behandlung von Meßwerten — Funktionen — Differential- und Integralrechnung — Lineare Algebra — Differentialgleichungen Eine Einfürung für Chemiker und andere Naturwissenschaftler

454 Pages·1987·10.8 MB·German

by  Manfred Stockhausen (auth.)

Mathematische Behandlung
naturwissenschaftlicher Probleme
Manfred Stockhausen
Mathematische Behandlung
naturwissenschaftlicher Probleme
Behandlung von MeBwerten - Funktionen - Differential- und
Integralrechnung - Lineare Algebra - Differentialgleichungen
Eine Einfuhrung fur Chemiker
und andere Naturwissenschaftler
2., uberarbeitete und erweiterte Auflage
Steinkopff Verlag Darmstadt
~
CIP-KurztItelaufnahme der Deutschen Blbhothek
Stockhausen, Manfred:
MathematIsche Behandlung naturwissenschaft
hcher Probleme e Emf fur Chemlker
u a Naturwissenschaftier / Manfred
Stockhausen - Darmstadt Stemkopff
1 Behandlung von MeBwerten - FunktlOnen
DlfferentIal-und Integrairechnung - hneare
Algebra - DlfferentIaiglelchungen
2, uberarb u erw Auf! - 1987
ISBN-13: 978-3-7985-0702-9 e-ISBN-13: 978-3-642-97773-2
001: 10.1007/978-3-642-97773-2
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Vorwort zur 2. Auflage
MathematIsche Methoden fmden m Immer noch stelgendem MaBe Anwendung m den Na
turwissenschaften. So bedarf auch das StudlUm der Chemle sowohl emer Kenntms des ele
mentaren mathematIschen Handwerkszeugs als auch emes gewissen Embhcks m die Rolle, die
die Mathematik bel der Begnffs- und Theoneblldung splelen kann. Vor dlesem Hmtergrund
1st das vorhegende Buch als eme Emfuhrung fur Studlenanfanger der Chemle, aber auch be
nachbarter naturwissenschafthcher Facher gedacht Es 1st yom Standpunkt emes expenmen
tlerenden Naturwissenschaftlers geschneben und folgt m frelem Aufbau dem Gang yom Expe
nment zur Theone, 1st also mcht nach mathematIschen Geslchtspunkten konzlplert Der In
halt ghedert slch vlelmehr m zwel Haupttelle, die die mathematIschen Methoden zur Beschrel
bung emerselts der "makroskopischen", andererselts der "mlkroskopischen" Erschemungswelt
bnngen. Der erste Tell enthalt FehlerstatIstIk und Themen aus der AnalysIs, der zwelte Tell
Grundlagen der lmearen Algebra und die Behandlung der DlfferentIalglelchungen
Die Darstellungsart 1St mcht elgenthch mathematJsch Vleles wlrd verbal ausgedruckt, nur
wemges bewlesen, denn die mathematIschen Grundbedurfmsse des Chemlkers smd verstandh
cherwelse auf die Anwendungen genchtet Mancher Satz, der 1m Anwendungszusammenhang
emleuchtend 1St, wlrd daher akzeptIert werden, auch wenn er mcht m Strenge bewlesen 1St
DaB fur dle]emgen, die m Ihrer Arbelt m ausgedehnterem Umfange mathematIsche Hllfsmlttel
benotIgen, em vertIefendes StudlUm mathematIscher Lehrbucher ratsam und erforderhch sem
wlrd, braucht kaum betont zu werden
Die vorhegende, nunmehr embandlge Neuauflage 1St uberarbeltet und urn elmge Abschmtte,
msbesondere aber urn viele durchgerechnete Belsplele erweltert worden. Dlese smd zur lelchte
ren Erkennbarkelt durch emen senkrechten Stnch am hnken Rand marklert 1m Klemdruck
erschemen die fur eme erste Emfuhrung wemger WlchtIgen Passagen, sle konnen ohne Storung
des Zusammenhangs uberschlagen werden
Munster, 1m Januar 1987 Manfred Stockhausen
Inhalt
Vorwort ................................................................... V
Einleitung: Uber das Verhiiltnis von Mathematik und Naturwissenschaften .......... 1
1. Yom Me8wert zum funktionalen Zusammenhang ......................... . 4
1.1 Einiges tiber MeBgroBen als Zahlen und als Skalare und Vektoren ............ . 4
1.1.1 Zahlen .............................................................. . 5
1.1.2 Skalare und Vektoren ................................................. . 16
1.2 MeBwerte und MeBfehler .............................................. . 26
1.2.1 Streuung von MeBwerten durch statistische Einfltisse: Theoretische Betrachtun-
gen ................................................................. . 28
1.2.2 Streuung von MeBwerten durch statistische Einfltisse: Praktische Handhabung . 39
1.3 Statistische Fehler in MeBreihen geringen Umfangs ........................ . 45
1.3.1 Einiges tiber Stichproben .............................................. . 45
1.3.2 Beurteilung von Mittelwert und Standardabweichung bei angeniiherter Normal-
verteilung ........................................................... . 47
1.3.3 Nichtnormale Verteilungen ............................................ . 51
1.4 Stochastische und funktionale Zusammenhiinge zwischen zwei Variablen ..... . 56
1.4.1 Korrelation und Korrelationsanalyse .................................... . 56
1.4.2 Lineare Regression und Allgemeines tiber Ausgleichsrechnung .............. . 59
1.4.3 Der funktionale Zusammenhang als Abstraktion .......................... . 64
2. Funktionen .......................................................... . 66
2.1 Uber mathematische Funktionen und ihre Darstellung ..................... . 66
2.1.1 Allgemeines und Terminologisches ...................................... . 66
2.1.2 Die graphische Darstellung von Funktionen .............................. . 71
2.1.3 Transformation von Ortskoordinaten ................................... . 77
2.2 Einige wichtige Funktionen einer Variablen ............................... . 83
2.2.1 Algebraische Funktionen .............................................. . 84
2.2.2 Trigonometrische Funktionen .......................................... . 89
2.2.3 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion ........................... . 94
2.2.4 Zwei spezielle, sttickweise definierte Funktionen .......................... . 103
2.2.5 Modifikation gegebener Funktionen durch multiplikative oder additive Zusiitze 104
2.3 Die Stetigkeit von Funktionen .......................................... . 106
2.3.1 Grenzwerte und Stetigkeit ............................................. . 106
2.3.2 Einige Eigenschaften stetiger Funktionen ................................ . 111
2.3.3 Stetige Funktionen in naturwissenschaftlichen Zusammenhiingen ............ . 111
2.4 Vermischtes zu Funktionen mehrerer Variablen ........................... . 112
2.4.1 Erweiterung einiger Begriffe ........................................... . 112
2.4.2 Kugelfliichenfunktionen ............................................... . 114
2.4.3 Bemerkungen tiber vektorielle Ortsfunktionen (Vektorfelder) ............... . 117
3. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.1 Der Differentialquotient einer Funktion .................................. 121
3.1.1 Der Differentialquotient als Losung des Tangentenproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
VIII Inhalt
3.1.2 Der Differentialquotient als abgeleitete Funktion .......................... . 124
3.1.3 Differentiale ......................................- ................... . 125
3.1.4 Naturwissenschaftliche Anwendungen? .................................. . 127
3.2 Das Differenzieren ................................................... . 129
3.2.1 Die Differentiation analytisch gegebener Funktionen; allgemeine Differentia-
tionsregeln .......................................................... . 129
3.2.2 Die Differentiation numerisch gegebener Funktionen ...................... . 136
3.2.3 Die Differentiation graphisch gegebener Funktionen ....................... . 137
3.3 HOhere Ableitungen .................................................. . 139
3.4 Einige praktische Anwendungen der Differentialrechnung .................. . 142
3.4.1 Lineare Approximation von Funktionen und Fehlerdiskussion .............. . 142
3.4.2 Ableitungen als Hilfsmittel der Kurvendiskussion ......................... . 144
3.4.3 Variation von Parametem; Anpassung und Ausgleichsrechnung ............. . 146
3.4.4 Behebung von Unbestimmtheiten ....................................... . 148
3.5 Potenzreihenentwicklung einer Funktion ................................. . 149
3.5.1 Beschreibung von MeJlergebnissen durch ganze rationale Funktionen ......... . 149
3.5.2 Entwicklung einer analytisch gegebenen Funktion in eine Potenzreihe ........ . 149
3.5.3 Einiges tiber unendllche Reihen ......................................... . 152
3.5.4 Beispiele ............................................................ . 155
4. Differentialrechnung von Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen ....... . 162
4.1 Neue Gesichtspunkte bei der Erweiterung der Differentialrechnung .......... . 162
4.1.1 Die verschiedenen Differentialquotienten und das Rechnen darnit ............ . 162
4.1.2 Wechsel der Variablen ................................................ . 170
4.1.3 Funktionaldeterminanten als Rechenhilfsmittel ........................... . 176
4.2 Einige Anwendungen ................................................. . 182
4.3 Differentialrechnung mit vektoriellen GrOJlen ............................. . 189
5. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen ......................... . 197
5.1 Stammfunktion und Integral einer Funktion .............................. . 197
5.1.1 Die Stammfunktion einer Funktion ..................................... . 197
5.1.2 Das Integral als LOsung des FUlchenproblems ............................. . 198
5.1.3 Der Zusarnmenhang zwischen Stammfunktion und Integral ................. . 202
5.2 Das Integrieren ....................................................... . 208
5.2.1 Die Integration analytisch gegebener Funktionen; allgemeine Integrationsregeln 209
5.2.2 Die Integration numerisch gegebener Funktionen .......................... . 219
5.2.3 Die Integration graphisch gegebener Funktionen .......................... . 224
5.3 Definition von Funktionen durch Integrale ............................... . 226
5.4 Die Integration einfacher Differentialgleichungen ......................... . 229
5.4.1 Allgemeine Vorbemerkungen ........................................... . 230
5.4.2 Einige LOsungsschemata und LOsungsbeispiele ............................ . 232
5.4.3 Differentialgleichungen spezieller Funktionen ............................ . 238
6. Integralrechnung von Funktionen zweier (und mehrerer) Variablen .......... . 241
6.1 Anschauliche Einftihrung .............................................. . 241
6.2 Linienintegrale ....................................................... . 243
6.2.1 Das allgemeine Kurvenintegral und seine Berechnung ...................... . 243
6.2.2 Wegunabhlingige Kurvenintegrale ....................................... . 247
6.3 Fllichenintegrale ...................................................... . 250
6.4 Integralrechnung mit vektoriellen GroJlen ............................. , .. . 255
Inhalt IX
7. Ein Blick anf die Fnnktionentheorie .................................... 258
7.1 Funktionen einer komplexen Variablen und ihre Darstellung. . . . . . . . . . . . . . . . 258
7.2 Differential-und Integralrechnung im Faile einer komplexen Variablen ...... 262
Zwischenbemerkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8. Vektortransformationen im Dreidimensionalen .......................... . 268
8.1 Koordinatentransformation bei Drehung der Basis ....................... . 269
8.2 Vektortransformationen in fester Basis ................................. . 279
8.2.1 Transformation eines Vektors durch Drehung ........................... . 279
8.2.2 Lineare Transformation eines Vektors .................................. . 281
8.2.3 Einiges tiber Tensoren ............................................... . 285
9. Matrizen nnd Determinanten ......................................... . 292
9.1 Matrizen ........................................................... . 292
9.1.1 Matrizenrechnung .................................................. . 292
9.1.2 Transformation von Matrizen ......................................... . 300
9.2 Determinanten und weitere Charakteristika von Matrizen ................. . 304
9.2.1 Die Determinante und ihre Berechnung ................................. . 304
9.2.2 Der Rang einer Matrix ............................................... . 310
9.2.3 Zwei Exempel: Reziproke Matrizen, orthogonale Matrizen ................ . 311
9.3 Einiges tiber lineare Gleichungssysteme ................................. . 314
9.4 Eigenwerte von Matrizen ............................................. . 321
9.4.1 Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix ........................... . 322
9.4.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix ................ . 325
9.4.3 Gleichzeitige Diagonalisierung und gemeinsame Eigenvektoren zweier Matri-
zen ............................................................... . 330
9.4.4 Erganzungen zum Thema Matrizentransformation ....................... . 331
9.4.5 Physikalisch-chemische Fragen: Ausblicke auf Anwendungen ............. . 336
10. Groppen ........................................................... . 338
10.1 Die Groppe als algebraische Struktur ................................... . 338
10.1.1 Erste Beispielgruppe ................................................. . 338
10.1.2 Groppenaxiome und erganzende Begriffe ............................... . 343
10.2 Darstellung von Gruppen ............................................ . 344
10.2.1 Die Darstellung durch Matrizensysteme ................................ . 344
10.2.2 Irreduzible Darstellungen ............................................ . 348
10.2.3 Zweite Beispielgruppe ............................................... . 352
10.2.4 Charaktere ......................................................... . 357
10.3 Einige Bemerkungen tiber Symmetriegruppen ........................... . 361
11. Vektorriinme hoherer Dimension ...................................... . 367
11.1 Die Verailgemeinerung des Vektorbegriffs .............................. . 367
11.1.1 Der lineare Vektorraum .............................................. . 367
11.1.2 Vektorraum mit Skalarprodukt ....................................... . 369
11.1.3 Erganzungen ....................................................... . 371
11.2 Funktionen als Vektoren ............................................. . 374
11.2.1 Die Interpretation einer Funktion als Vektor ............................ . 374
11.2.2 Transformation von Vektoren, die Funktionen sind ...................... . 379
12. Orthogonale Fnnktionensysteme ...................................... . 382
12.1 Die Entwicklung nach orthogonalen Funktionen ......................... . 382
x
Inhalt
12.2 Entwicklung von Funktionen einer Variablen nach trigonometrischen Funktio-
nen (Fourier-Entwicklung) ........................................... . 385
12.2.1 Basisfunktionen und EntwicklungskoeffIzienten der Fourier-Reihe ......... . 386
12.2.2 Die Fourier-Reihe als Spektrum ....................................... . 389
12.2.3 Das Spektrum nichtperiodischer Funktionen (Fourier-Integral) ............ . 394
12.3 Entwicklung von Funktionen zweier Variablen nach Kugelfllichenfunktionen . 399
13. Differentialgieichungen .............................................. . 402
13.1 Eigenwerte bei Differentialgleichungen ................................. . 402
13.2 Lineare Differentialgleichungen ....................................... . 409
13.2.1 Einiges zur Integration einer gewOhnlichen linearen Differentialgleichung ... . 409
13.2.2 Einiges fiber Systeme von linearen Differentialgleichungen ................ . 414
13.3 Partielle Differentialgleichungen ...................................... . 421
13.3.1 Die Wellengleichung ................................................. . 424
13.3.2 Die SchrOdinger-Gleichung ........................................... . 427
Sachverzeichnis.. .. . . .. .. . .. .. .. . .. ... ... .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Einleitung:
Uber das Verhaltnis von Mathematik und Natur
wissenschaften
Kaum jemand wlrd bezwelfeln wollen - erst recht mcht selt dem Aufkommen des Computers
-, daB Mathematik eme nutzliche, hilfreiche, ja m gewissem Smne die "emzlg wahre" Wis
senschaft sei. GenieJ3en nicht mathematlsch emgekleldete Aussagen im taglichen Leben welt
hm den Vorzug einer besonderen Glaubwurdlgkelt? So schemt es muJ3lg, eine emleltende Be
merkung uber die Hintergrunde der mathematlschen Behandlung naturwlssenschafthcher
Probleme zu machen. Und doch ist das Verhaltnis der Mathematik zu den Naturwlssenschaf
ten em wenig differenzlerter, als es auf den ersten Bhck scheinen mag, und es kann mcht scha
den, wenn slch der angehende Naturwlssenschaftler als Anwender der Mathematik daruber 1m
klaren ist - und blelbt.
Was die Naturwlssenschaften - im heutigen Sinne des Wortes - betrelben, 1st die Suche
nach Natur"gesetzen". Em namhafter Sachverstandlger, namhch Kant, beschrelbt das so:
"Die Vernunft mu/3 ffilt lhren Prmziplen, nach denen allem uberemkommende Erschemungen
fur Gesetze gelten kannen, in emer Hand und ffilt dem Expenment, das Sle nach jenen aus
dachte, m der anderen an die Natur gehen, zwar urn von lhr belehrt zu werden, aber mcht m
der QUalltat eines Schulers, der sich alles vorsagen laBt, was der Lehrer will, sondern emes be
stallten Richters, der die Zeugen notigt, auf die Fragen zu antworten, die er Ihnen vorlegt'" . "
Die Pnnzlpien der Vernunft, die Kant nennt, findet man konkretlSlert m der remen
Mathematik: einem System des streng logischen SchlieJ3ens, das auf nur in slch selbst gerecht
fertlgten Grundlagen, den Axiomen, ruht, die also durchaus nicht der Erfahrung zu entstam
men brauchen. Die Mathematik bedient sich welter einer rein formalen Sprache, urn aus den
AxlOmen neue Satze und Theoreme herzuleiten. Die" W arter" dieser Sprache smd zwar wohl
defimert und praZlse, stellen aber keme Begriffe der Erfahrungswlrklichkelt dar - 1m Gegen
satz zur naturhchen Sprache. So 1st die Mathematlk als axlomatlsche Wlssenschaft gerade
keme Naturwlssenschaft, indem sie nicht von der erfahrbaren Natur ausgeht; ihre Axiome
und Begriffe smd vlelmehr - 1m Wortsmne - "bedeutungs"los. Sle 1st also, wie die Logiker
sagen mogen, em "umnterpretlerter Kalkul" , geWlssermaBen die reine Syntax emer (formalen)
Sprache.
Erst die Zuordnung der mathematlschen "Wo rter" zu Begnffen der Erfahrungswelt
schafft die Bedeutungsmhalte, die Semantik dleser Sprache, erglbt emen "mterpretierten
Kalkul". Die MathematlSlerung einer Wlssenschaft 1st uberhaupt nur moglich, sowelt dlese
Zuordnung maghch ist. Hier fmdet sich also der Ansatzpunkt zur mathematlschen Behand
lung naturwlssenschafthcher Probleme: Wenn slch mathematlschen Begnffen solche der Er
fahrung zuordnen lassen, und wenn mathematlsche Axlome zu m der Natur vorgefundenen
Gegebenheiten passen, dann konnen Wlr die Mathematik als formale Sprache benutzen, in der
Wlr uber unsere Erfahrungen sprechen, und konnen auch die rein mathematlsch gezogenen
Folgerungen, die theoretlsch abgeleiteten Gesetze als "wahr" - und das heillt wlederum mit
der Erfahrung im Einklang - ansehen. Ob nun aber die vorgenommene Zuordnung der Be
griffe gerechtfertlgt ist, ob also ein von den Mathematikern gehefertes Handwerkszeug an
wendbar ist, kann elnzlg und allem durch Prufung an der Erfahrung, durch Fragen an die
Natur festgestellt werden. Daher mu/3 - 1m Sinne von Kant - alle Naturwlssenschaft Expen
mentalwissenschaft sem.
... Vorrede zur 2 Auflage der Kntlk der remen Vernunft
2 Emleltung Uber das Verhaltms von Mathematik und Naturwissenschaften
Die verschledenen Arten der m den Fachwissenschaften gebrauchhchen Begnffe (und dar
unter smd, anders als m der Umgangssprache, m Jedem Fall Worter wohldefmlerter und pra
zlser Bedeutung zu verstehen) kann man slch unter dem Geslchtspunkt ansehen, ob sle slch
mathematIschen Begnffen wohl uberhaupt zuordnen lassen Offen bar 1st das bel rem klasslfl
zlerenden, beschrelbenden Begnffen (wle sle z. B 1m Lmneschen System der Botamk verwen
det werden) mcht moghch Die Begnffe mussen vlelmehr metrlslerbar sem, also slch m Form
quantltatIver Daten, als Me'pgro'pe, fassen lassen. Das 1st eme Voraussetzung, die manchmal
ubersehen wlrd. Von den Smnesemdrucken, die unsere Erfahrung vermitteln, smd belsplels
weise nur wemge quantIflZlerbar, so daB, wle Eddmgton sagte, die quantltatIven physlkah
schen oder chemischen MeBgroBen auch noch von emem fast aller Smne beraubten, nur em
auglgen Beobachter ermIttelt werden konnten.
Die SituatIOn des Naturwissenschaftlers 1st also typischerweise die, daB er, mIt emer Fulle
von MeBdaten m der emen Hand - den Antworten der Natur auf seme Fragen - , mit der an
deren m den mathematIschen Fundus grelft und emen Formallsmus sucht, der seme Befunde
in der Sprache der Mathematik auszudrucken gestattet. Dlese Formuherung erlaubt Ihm dann
theoretlsche Vorhersagen, die sich expenmentell bestatIgen lassen - oder auch mcht. Der
letztere Fall 1St m der Geschlchte der Naturwissenschaften mcht selten: Ein bekanntes Beispiel
1St der atomare Bereich, m dem die fruher benutzte mathematIsche Formuherung slch schheB
hch als nur beschrankt brauchbar erwles und durch eine ganz andere ersetzt werden muBte,
mit der slch - bls heute Jedenfalls - die zunehmende Fulle expenmenteller Erfahrungen
mathematIsch emwandfrel fassen laBt.
Man sleht daran, daB die Mathematik die Aufgabe der konZlsen Beschrelbung, der knapp
sten Formuherung, der loglschen Zusammenfassung expenmenteller Befunde ubermmmt"',
aber von slch aus mchts uber die reale Bedeutung oder gar die "Wahrhelt" dessen, was man
als mathematlsches Modell konstrUlert hat, sagen kann.
Mathematik 1St das abstrakte, ordnende Handwerkszeug des Naturwlssenschaftlers, doch
kummert sle slch, sozusagen, mcht urn die Gegenstande, auf die sle angewandt wlrd. Dlese
Gegenstande und die Grundlagen der betreffenden Wissenschaft entstammen der expenmen
tellen Er/ahrung. Mit dleser Feststellung wlrd kemeswegs die Bedeutung der Mathematik fur
die Naturwissenschaften gemmdert. 1m Gegentell: Der enorme Aufschwung der Naturwlssen
schaften 1St, hlstonsch gesehen, gerade durch Ihre Mathematlsierung und das daraus erwach
sende Wechselsplel von Theorie und Expenment moghch gewesen. Das zelgt slch am Gegen
beispiel des alten Chma, wo von alters her der frel spekuherende Naturphllosoph slch mcht
mIt Mathematlkern und Feldmessern gemem machte: Trotz emer Fulle von Naturbeobachtun
gen entstand dort keme Naturwissenschaft m unserem heutigen Smne
Die sklzzlerten Verhaltmsse mogen die R!chtung vorzelchnen, in der Wlr bei der Beschrel
bung des mathematlschen Handwerkszeuges - mer msbesondere des ChemIkers - fort
schrelten wollen. Ausgangspunkt 1St die MeBgroBe und die Frage, wle Ihr mit den abstrakten
mathematIschen Begnffen belzukommen 1St. Von da kann man zu den Zusammenhangen
mehrerer MeBgroBen, der Beschrelbung der Ursache-Wlrkungsabfolge (deren Wesen wleder
urn die Mathematlker gar mcht mteresslert) ubergehen, und so fort zu welteren Fragen. Dleser
Weg laBt slch aber mcht stetlg verfolgen, falls auch nur die WlchtIgsten der den Chemlker m
teresslerenden Probleme behandelt werden sollen. Die Erfahrung hat namhch, wle schon an
gedeutet, gezeigt, daB zur Beschrelbung "makroskopischer" Sachverhalte, also etwa der
Eigenschaften der Matene in Ihren verschledenen Aggregatzustanden, andere mathematIsche
Methoden angemessen und erforderhch smd als zur Beschrelbung "mIkroskoplscher" Sach
verhalte, der Eigenschaften des emzelnen Atoms oder Molekuls Dementsprechend muB em
Bruch auftreten m der slch entwickelnden Darstellung mathematIscher Methoden.
* Ole mathematlsche Kraft 1st die ordnende Kraft, sagt der Romanuker Novalts