Mathematische Appetithäppchen: Faszinierende Bilder. Packende Formeln. Reizvolle Sätze.

221 Pages·2015·2.695 MB·German

by  Martin Erickson (auth.)

Martin Erickson
Mathematische
Appetithäppchen
Faszinierende Bilder. Packende
Formeln. Reizvolle Sätze.
Mathematische Appetithäppchen
Über den Autor
MartinErickson(1963–2013)wurdeinDetroit,Michigangeboren.ImJahr1985
schloss er die University of Michigan mit Auszeichnung ab und erhielt dort 1987
denDoktortitel. Er war Professor fürMathematik an der TrumanState University
in Kirksville, Missouri. Er hatmehrererenommierteBücherüberMathematik ge-
schrieben,darunterAha!Solutions(MAA)undIntroductiontoNumberTheory(mit
Anthony Vazzana, CRC Press). Er war Mitglied der Mathematical Association of
AmericaundderAmericanMathematicalSociety.
Martin Erickson
Mathematische
Appetithäppchen
Faszinierende Bilder.
Packende Formeln.
Reizvolle Sätze.
Aus dem Englischen übersetzt
von Roland Girgensohn
MartinErickson
ISBN978-3-662-45458-9 ISBN978-3-662-45459-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-45459-6
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ÜbersetzungderamerikanischenAusgabe:BeautifulMathematicsvonMartinErickson,erschienenbei
(c)2011TheMathematicalAssociationofAmericaInc.AllRightsReserved.Authorizedtranslation
fromtheEnglisheditionpublishedbyRights,Inc.
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Für Rodman Doll,
meinen Mentor inMathematik,
alsich Schüler auf der Highschoolwar.
Vorwort
WarumsindZahlen schön?DasistwiedieFrage, warumBeethovens Neunteschön sei.
WennSiedasnichtselbsterkennen,kannesIhnenniemanderklären.Ichweiß,dassZahlen
Schönheitbesitzen.Wennsienichtschönsind,dannistüberhauptnichtsschön.
PAULERDO˝S(1913–1996)
IndiesemBuchgehtesumdieSchönheitmathematischerKonzepteundSchöpfun-
gen.
MancheMenschenbetrachtendieMathematikalsdieSprachederNatur,füran-
dereistsieeinabstraktesSpielmitSymbolenundRegeln.Wiederandereglauben,
sie bestehe ganz aus Berechnungen. Platon setzte die Mathematik mit „dem Gu-
ten“ gleich. Ich selbst gehean die Mathematik heran wie an eine Kunstform, wie
an Malerei, Bildhauerei oder Musik. Während der Künstler mit handfesten Mate-
rialien arbeitet, bestehtder WerkstoffdesMathematikers ausZahlen,Formen und
abstrakten Strukturen. In der Mathematik gibt es wie in der Kunst Restriktionen.
Diestärkstedavonistdie,dassmathematischeErgebnissewahrseinmüssen;andere
sind PrägnanzundEleganz.Wieinden anderenKünsten auchbesitzen mathema-
tischeGedankengängeeinenästhetischenReiz,dendiejenigenzuschätzenwissen,
diebereitsind,sichdamitzubeschäftigen.
Ichhoffe,meineLesermitdiesemBuchfürdieSchönheitderMathematikzube-
geistern.IchwerdemathematischeThemenausdenKategorienWörter,Bilder,For-
meln, Sätze, Beweise, LösungenundungelösteProblemepräsentieren.Wir gehen
vondenkomplexenZahlenzuarithmetischenProgressionen,vonderAlkuin-Folge
zurZetafunktionundvonHyperwürfelnzurUnendlichkeithochzwei.
Für wen ist dieses Buch geschrieben? Ich bin der Meinung, dass jede mathe-
matisch gesinnte Person etwas Neues darin finden kann. Insbesondere empfehle
ichesGymnasiasten sowieStudentenoderStudentinnen,wennsie einenAnsporn
fürdasStudiumderMathematikbenötigen;dennSchönheitisteinehervorragende
Motivation.EbensoempfehleichesprofessionellenMathematikern,dawirimmer
wieder neue Beispiele für mathematische Schönheit brauchen, um sie an andere
weitergeben zu können. Innerhalb jeden Kapitels setzen die Themen zunehmend
mehrVorwissenvoraus.EinThema,daszunächstnochzufortgeschrittenfüreinen
VII
VIII Vorwort
Leser oder eine Leserin zu Beginn der Ausbildung sein mag, wird zugänglicher,
wenndasmathematischeStudiumweitervoranschreitet.ZudementhälteinKapitel
alsHintergrundmaterialmathematischeDefinitionenundSätze,währendeinweite-
resKapitelherausforderndeÜbungsaufgabenmitLösungenanbietet,umdieLeser
beimweiterenLernenzuunterstützen.
IchdankedenMenschen,diediesesBuchfreundlicherweisemitVorschlägenun-
terstützthaben:RolandBacher,DonaldBindner,RobertCacioppo,RobertDobrow,
ShalomEliahou,RaviFernando,SurenFernando,DavidGarth,JoeHemmeter,Da-
nielJordan, Ken Price, KhangTran, VincentVatter undAnthonyVazzana. Vielen
Dankauchandiejenigen,diezumVerlagsbereichderMathematicalAssociationof
America gehören, insbesondere Gerald Alexanderson, Don Albers, Carol Baxter,
Rebecca Elmo, Frank Farris, Beverly Ruedi und die anonymen Testleser, für ihre
Hilfedabei,dassdiesesBuchentstehenkonnte.
Inhaltsverzeichnis
1 FantasievolleWörter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Lemniskate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Zentilliarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 GoldenerSchnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 BorromäischeRinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 SiebdesEratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 TransversaleausPrimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 WasserfallausPrimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Quadratzahlen,DreieckszahlenundKubikzahlen . . . . . . . . . . . 8
1.9 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 KomplexeEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 FaszinierendeBilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 QuadratischePyramidalquadratzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Binärbäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 HervorquellendeHypersphären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 ProjektiveEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 ZweigefärbterGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Hyperwürfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Volladdierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Sierpin´ski-Dreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.9 Quadrierplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 Riemann’scheZahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 PackendeFormeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 ArithmetischeWunder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 HeronischeFormelundheronischeDreiecke . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 EntwicklungenvonSinus,KosinusundExponentialfunktion . . . 34
3.4 EntwicklungenvonTangensundSekans . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 ReihefürPi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 ProduktfürPi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.7 Fibonacci-ZahlenundPi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 VolumeneinerKugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9 EulersIntegralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.10 EulersPolyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.11 DiekleinsteTaxicab-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.12 UnendlichkeitundUnendlichkeitquadriert. . . . . . . . . . . . . . . 46
3.13 FunktionenimKomplexen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.14 DieZetafunktionundBernoulli-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.15 DieRiemann’scheZetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.16 DieJacobi-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.17 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.18 Turmpfade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 ReizvolleSätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 EinQuadratinjedemDreieck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 MorleysSatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 DieEuler’scheGerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 SatzvonMonge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Hölder-Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 RegelmäßigesSiebeneck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 IsometrienderEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.8 SymmetrienderregulärenkonvexenPolyeder . . . . . . . . . . . . . 73
4.9 SymmetrienvonPolynomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.10 KönigeundDiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.11 SatzvonErdo˝sundSzekeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.12 SatzvonMinkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.13 SatzvonLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.14 SatzvonvanderWaerden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.15 LateinischeQuadrateundprojektiveEbenen. . . . . . . . . . . . . . 91
4.16 EinWiedersehenmitderLemniskate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 GefälligeBeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 DerSatzvonPythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 DieErdo˝s-Mordell-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Dreiecke,derenFlächeundUmfangvorgegebensind . . . . . . . . 101
5.4 EineEigenschaftderLeitlinieeinerParabel . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 EinklassischesIntegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 PartitionennatürlicherZahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7 GanzzahligeDreiecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 Dreieckszerstörung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.9 QuadratzahleninarithmetischerProgression. . . . . . . . . . . . . . 112
5.10 ZufälligeHemisphären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.11 UngeradeBinomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.12 DasFrobenius’scheBriefmarkenproblem. . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.13 DiePerrin-Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.14 DieAnzahlderHalbordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120