Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik

623 Pages·2001·18.74 MB·German

by  Prof. Dr. Hartmut Ehrig

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg Gmb H
H. Ehrig • B. Mahr • F. Cornelius
M. Größe-Rhode • P. Zeitz
Mathematisch-strukturelle
Grundlagen
der Informatik
Zweite Auflage
Mit 103 Abbildungen und 71 Tabellen
«Hp Springer
Prof. Dr. Hartmut Ehrig Dr. Ing. Felix Cornelius
Prof. Dr. Bernd Mahr CEO,Webman AG
Dr. Martin Größe-Rhode Chausseestraße 103
10115 Berlin
Technische Universität Berlin
felixxornelius @ webman.de
Fachbereich Informatik
Franklinstraße 28/29
Dr. Philip Zeitz
D-10587 Berlin
RightStep Informationssysteme
{ehrig, mahr, mgr}@cs.tu-berlin.de
Spreebogen Plaza
Pascalstraße 10
10587 Berlin
[email protected]
ISBN 978-3-540-41923-5
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik / von Hartmut Ehrig... 2. Aufl..- Berlin;
Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 2001
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-41923-5 ISBN 978-3-642-56792-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-56792-6
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999,2001
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001
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Vorwort zur 1. A uflage
Anfang der neunziger Jahre wurde am Fachbereich Informatik der TU Ber
lin eine neue Studienordnung eingefUhrt, die als Verbindung der Saulen In
formatik und Mathematik einen Zyklus "Theoretische Grundlagen der In
formatik" vorsieht. In diesem Zyklus werden neben den klassischen Grund
lagen der Theoretischen Informatik, wie Automatentheorie, Formale Spra
chen, Berechenbarkeits- und Komplexitatstheorie, insbesondere mathema
tisch-strukturelle Grundlagen der Informatik vermittelt, die im weiteren In
formatikstudium von zentraler Bedeutung sind. Sie werden von uns in jedem
Studienjahr in zwei vierstundigen Lehrveranstaltungen mit jeweils 250-300
Teilnehmern angeboten.
Aus den Skripten zu diesen Lehrveranstaltungen entstanden nach mehr
facher Uberarbeitung die Teile I-IV dieses Buches, in denen mathematische
Grundbegriffe, algebraische Strukturen und Spezifikationen sowie Aussagen
und Pradikatenlogik behandelt werden. Die kategoriellen Grundlagen der In
formatik in Teil V dieses Buches sind aus einem Skriptum fUr die Lehrveran
staltung "Kategorientheorie fur Informatiker" hervorgegangen, die im Rah
men des Nebenfachs Mathematik regelmaBig von uns angeboten wird.
Der Zyklus der Veranstaltungen zur theoretischen Informatik wurde wei
testgehend mit den Kernveranstaltungen des Grundstudiums abgestimmt.
Thematisch angrenzend ist das Gebiet der funktionalen Programmierung.
Zu diesen Vorlesungen ist ebenfalls im Springer-Verlag gerade ein Lehrbuch
un seres Kollegen Peter Pepper erschienen [Pep98].
Wir sind dem Springer-Verlag sehr dankbar, daB wir die mathematisch
strukturellen Grundlagen der Informatik in dieser Zusammenstellung, die
es bisher in der einfUhrenden wissenschaftlichen Literatur noch nicht gibt,
als Lehrbuch veroffentlichen konnen. Hier vor aHem herzlichen Dank an Dr.
Hans Wossner, den zustandigen Programmplaner und Lektor, und Frank
Holzwarth, den fb.1EXnischen Begleiter, fUr fachkundige UnterstUtzung und
unermudliche Hilfe.
Danken mochten wir auch Roswitha Bardohl, Marion Elsner, Sebastian
John, Heike Pisch, Gunnar Schroter, Dietmar Wolz und Uwe Wolter, die
uns sowohl bei der Durchfiihrung der Lehrveranstaltungen als auch bei der
Endredaktion dieses Buches eine groBe Hilfe waren.
Berlin, im Oktober 1998 Harlmut Ehrig
Bernd Mahr
Felix Cornelius
Marlin GrofJe-Rhode
Philip Zeitz
Vorwort zur 2. Auflage
Dank der rasanten Nachfrage der 1. Aufiage dieses Buches im Jahr 1999,
hat uns der Springer-Verlag gebeten, eine 2. Aufiage vorzubereiten. Dieser
Bitte haben wir gern entsprochen und dabei nicht nur einige kleinere Fehler
in der 1. Aufiage korrigiert, sondern auch - auf Grund der positiven Erfah
rungen der Verwendung des Buches in unseren Lehrveranstaltungen - einige
Erganzungen vorgenommen.
In Teil I (Mathematische Grundbegriffe) und Teil II (Algebraische Struk
turen) haben wir die Ubungen, einen neuen Abschnitt "Historische Entwick
lung algebraischer Spezifikationen und Spezifikationssprachen" im Kapitel
"Algebraische Spezifikationen" und ein neues Kapitel "Von der Modellalge
bra uber die Spezifikation zur Implementierung" erganzt. Teil IV (Pradika
tenlogik) ist durch ein neues Kapitel mit einem ausfUhrlichen Ausblick auf
die Formen und Zusammenhange anderer Logiken erweitert worden, die fur
die Informatik von besonderem Interesse sind. Dieses Kapitel enthalt ein se
parates umfangreiches Literaturverzeichnis.
Das neue Kapitel in Teil II ist von Herrn Gunnar Schroter, der ausfUhr
liche Ausblick in Teil IV von Herrn Klaus Robering verfaBt worden. Beiden
sind wir fur diese wertvollen Erganzungen sehr dankbar und haben sie des
halb als Koautoren fUr die entsprechenden Teile ausgewiesen.
Fur die Endredaktion der 2. Aufiage sind wir vor aHem Herrn Gunnar
Schroter dankbar.
Lars Frantzen, Igor Akkerman, Daniel Parnitzke, Tina Wieczorek, Andre
Berger, Nikolai Tillmann und Ulrich Durholz gilt unser Dank fUr das Auf
spuren kleinerer Fehler in der 1. Aufiage, vorwiegend im Rahmen der Betreu
ung von Ubungsgruppen zu den Lehrveranstaltungen "Theoretische Grund
lagen der Informatik 2 und 3" in den Jahren 1999 - 2001.
Insgesamt danken wir erneut dem Springer Verlag fUr die gute Zusam
menarbeit, auch bei der Herausgabe der 2. uberarbeiteten Aufiage.
Berlin, im Februar 2001 Harlmut Ehrig
Bernd Mahr
Felix Cornelius
Marlin Groj1e-Rhode
Philip Zeitz
Inhaltsverzeichnis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Teil I. Mathematische Grundbegriffe
1. Mengen................................................... 7
1.1 Konzept............................................... 7
1.2 Menge und Element. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . 9
1.3 Teilmenge und Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.4 Vereinigung, Durchschnitt, Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
1.5 Kartesisches Produkt und disjunkte Vereinigung. . . . . . . . . . .. 20
1.6 Worter und Wortmengen . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
2. Relationen................................................ 29
2.1 Konzept............................................... 29
2.2 Zweistellige Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
2.3 Eigenschaften von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.4 Komposition von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
2.5 Umkehrrelation........................................ 37
2.6 Mehrstellige Relationen ................................. 39
3. Abbildungen........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3.1 Konzept............................................... 43
3.2 Partielle Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
3.3 Eigenschaften partieller Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
3.4 Totale Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50
3.5 Komposition und Eigenschaften von Abbildungen. . . . . . . . . .. 54
3.6 Abbildungssatz......................................... 59
3.7 Kategorie der Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
3.8 Kardinalitat........................................... 68
4. Ordnungen......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
4.1 Konzept............................................... 77
4.2 Partielle und totale Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80
4.3 Lexikographische und Standardordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
X Inhaltsverzeichnis
5. Aquivalenzrelationen..................................... 93
5.1 Konzept............................................... 93
5.2 Aquivalenzrelationen.................................... 94
5.3 AquivalenzabschluB..................................... 96
5.4 Aquivalenzklassen und Quotienten ........................ 101
5.5 Faktorisierungssatz ..................................... 104
Teil II. Algebraische Strukturen
6. Datenstrukturen .......................................... 113
6.1 Konzept ............................................... 113
6.2 Zahlen ................................................ 114
6.3 Worter ................................................ 116
6.4 Stacks und Queues ..................................... 116
6.5 Operationserzeugte Datenstrukturen ...................... 119
6.6 Weitere Datenstrukturen ................................ 120
7. Signaturen und Algebren ................................. 121
7.1 Konzept ............................................... 121
7.2 Signaturen............................................. 123
7.3 Algebren .............................................. 126
8. Homomorphismen ........................................ 133
8.1 Konzept ............................................... 133
8.2 Homomorphismen ...................................... 136
8.3 Erweiterungen ......................................... 141
8.4 Komposition und Isomorphie ............................. 143
8.5 Abbildungssatz fUr Homomorphismen ..................... 145
8.6 Kategorie von Algebren ................................. 151
9. Terme und strukturelle Induktion ........................ 155
9.1 Konzept ............................................... 155
9.2 Grundterme ........................................... 157
9.3 Terme mit Variablen .................................... 160
9.4 Strukturelle Induktion .................................. 162
10. Termalgebren ............................................. 169
10.1 Konzept ............................................... 169
10.2 Grundtermalgebren ..................................... 172
10.3 Initiale Algebra ........................................ 173
10.4 Termalgebra mit Variablen .............................. 177
10.5 Freie Algebren ......................................... 178
Inhaltsverzeichnis XI
11. Algebraische Spezifikationen .............................. 183
11.1 Konzept ............................................... 183
11.2 Gleichungen und Giiltigkeit .............................. 186
11.3 Initiale Semantik algebraischer Spezifikationen ............. 189
11.4 Historische Entwicklung algebraischer Spezifikationen
und Spezifikationssprachen .............................. 198
12. Von der Modellalgebra iiber die Spezifikation
zur Implementierung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
12.1 Konzept ............................................... 201
12.2 Signatur und Grundtermalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 203
12.3 Spezifikation und Quotiententermalgebra .................. 206
12.4 Korrektheit und Vollstandigkeit .......................... 210
12.5 Implementierung ....................................... 214
Teil III. Aussagenlogik
13. Aussagenlogische Formeln und Giiltigkeit ................. 223
13.1 Konzept ............................................... 224
13.2 Die Syntax der Aussagenlogik ............................ 228
13.3 Die Semantik der Aussagenlogik .......................... 231
14. Folgerung ................................................. 247
14.1 Konzept ............................................... 247
14.2 Der Folgerungsbegriff und seine Eigenschaften .............. 249
15. Logische Aquivalenz '" ................................... 259
15.1 Konzept ............................................... 259
15.2 Logisch aquivalente Formeln und Formelmengen ............ 260
15.3 Normalformen ......................................... 266
15.4 Junktorbasen .......................................... 274
16. Aussagenlogische Hilbert-Kalkiile ......................... 281
16.1 Konzept ........................................ " ..... 281
16.2 Hilbert-Regeln ......................................... 283
16.3 Hilbert-Kalkiile ........................................ 288
16.4 Ein korrekter und vollstandiger Hilbert-Kalkiil ............. 294
17. Aussagenlogische Sequenzenkalkiile ....................... 299
17.1 Konzept............................................... 299
17.2 Sequenzenkalkiile ....................................... 300
17.3 Ein korrekter und vollstandiger Sequenzenkalkiil ............ 304
XII Inhaltsverzeichnis
18. Das Resolutionsverfahren ................................. 311
18.1 Konzept ............................................... 311
18.2 Das Resolutionsverfahren ................................ 313
18.3 Horn-Klauseln ......................................... 319
Teil IV. Pradikatenlogik
19. Pradikatenlogische Formeln und Giiltigkeit ............... 329
19.1 Konzept ............................................... 329
19.2 Logische Signaturen und Strukturen ...................... 333
19.3 Die Syntax der Pradikatenlogik .......................... 336
19.4 Die Semantik der Pradikatenlogik ........................ 340
20. Folgerung und logische Aquivalenz ........................ 355
20.1 Konzept ............................................... 355
20.2 Modellklassen .......................................... 356
20.3 Folgerung und logische Aquivalenz ........................ 359
20.4 Theorien .............................................. 369
21. Substitution und Umbenennung .......................... 375
21.1 Konzept ............................................... 375
21.2 Definitionen und Satze .................................. 377
22. Pradikatenlogische Hilbert-Kalkiile ....................... 387
22.1 Konzept ............................................... 387
22.2 Definitionen und Satze .................................. 388
22.3 Ein korrekter und vollstandiger Hilbert-Kalklil ............. 393
23. Ausblick .................................................. 401
23.1 "Mathematische"und "philosophische"Logik ................ 401
23.2 Erweiterungen der elementaren Pradikatenlogik ............ 402
23.2.1 Hi:ihere Pradikatenlogik ........................... 402
23.2.2 Komprehensionsannahmen und Mengenlehre ......... 407
23.2.3 Inklusive und freie Pradikatenlogik ................. 410
23.3 Konstruktive Logik ..................................... 412
23.4 Implikationskonzepte .................................... 419
23.4.1 Minimale und klassische Implikation ................ 421
23.4.2 Strikte Implikation ............................... 422
23.4.3 Relevante Implikation ............................. 424
23.4.4 Strenge Implikation ............................... 427
23.5 Modal- und Temporallogik ............................... 428
23.5.1 Kripke-Semantik ................................. 428
23.5.2 Kripke-Semantik der intuitionist is chen Logik ......... 433
23.5.3 Andere Logiken mit modalem Charakter ............ 436