Mathématiques : tout le cours en fiches : Licence 1, Capes

498 Pages·2014·61.249 MB·French

by  David, Claire, Mustapha, Sami

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0
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Table des matières
Avant-propos X
Comment utiliser cet ouvrage ? XII
Partie 1
calcul us
Nombres réels
Fiche 1 Les ensembles de nombres 2
Fiche 2 Intervalles, voisinages, bornes 6
Limites 8
Fiche 3 Limite d'une fonction en un point 8
Fiche 4 Limite d'une fonction en +oo ou - oo 12
Fiche 5 Propriétés des limites - Opérations sur les limites 14
Fiche 6 Notations de Landau 16
Fonctions numériques 18
Fiche 7 Domaine de définition d'une fonction, graphe 18
Foc us La construction de l'ensemble des réels: les coupures de Dedekind 21
Fiche 8 Comment définir une fonction? 22
Fiche 9 Majorations et minorations 24
Fiche 10 Fonctions monotones 26
Fiche 11 Parité, imparité 28
Fiche 12 Symétries 30
Fiche 13 Fonctions périodiques 32
Fonctions usuelles 33
Fiche 14 Fonctions puissances entières 33
Fiche 15 Fonctions polynômes et fonction valeur absolue 35
Focus John Napier et les tables logarithmiques 38
Fiche 16 La fonction logarithme népérien 39
Fiche 17 La fonction exponentielle 41
"O :<; Fiche 18 Fonctions puissances« non entières» 43
0c: : "<:=:'l Foc us Leibniz et la fonction exponentielle 44
0v:: J i<<~i>> Fiche 19 Fonctions circulaires 45
-~
0.. -! g Fiche 20 Fonctions hyperboliques 47
N <=
0<= Foc us L'origine de la trigonométrie 49
@ <=
,>;
.~.c:: 0::> Continuité 51
Ol ~
ï:::: Q. Fiche 21 Continuité d'une fonction en un point 51
>- ~
a. 3
::> Fiche 22 Fonctions continues sur un intervalle 55
u0 ~
-0cc :i Dérivabilité 58
::>
0 Fiche 23 Dérivabilité en un point 58
@
V
Fiche 24 Dérivabilité sur un intervalle 61
Fiche 25 Dérivées successives 65
Fiche 26 Théorème des accroissements finis et théorème de Rolle 67
Fiche 27 Formule de Taylor-Lagrange 71
Fonctions réciproques 72
Fiche 28 Fonctions réciproques 72
Fiche 29 Les fonctions trigonométriques inverses 75
Fiche 30 Les fonctions hyperboliques inverses 79
Développements limités 81
Fiche 31 Développements limités 81
Fiche 32 Formule de Taylor-Young 84
Fiche 33 Développements limités usuels 89
Fiche 34 Opérations algébriques et composition des développements
limités 92
Développements asymptotiques 95
Fiche 35 Développements asymptotiques 95
Convexité 96
Fiche 36 Convexité 96
Équations différentielles linéaires du 1er ordre 100
Fiche 37 Équations différentielles linéaires du 1er ordre homogènes 100
Fiche 38 Équations différentielles linéaires du 1er ordre avec second
membre 103
Fonctions de plusieurs variables 111
Fiche 39 Topologie 111
Fiche 40 Fonctions de plusieurs variables 117
Fiche 41 Les systèmes de coordonnées usuelles 119
Fiche 42 Limites, continuité et dérivation 121
Exercices 129
Corrigés 133
Partie 2
Algèbre
"O Le plan complexe - Les nombres complexes 161
0
c::
Foc us Les nombres complexes 162
::J
0
v Fiche 43 Le corps des nombres complexes 164
0.. -! Fiche 44 Représentation géométrique des nombres complexes 167
N
@ Fiche 45 Inversion des nombres complexes 170
.~.c:: Fiche 46 Propriétés fondamentales des nombres complexes 172
Ol
ï:::: Fiche 47 Complément : les polynômes de Tchebychev 174
>
a.
0 Fiche 48 Racines nièmes de l'unité, racines nièmes complexes 177
u
Fiche 49 Factorisation des polynômes dans le corps C 180
Fiche 50 Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples 185
vi
Fiche 51 Transformations du plan : translations, homothéties 196
Fiche 52 Transformations du plan : rotations 198
Fiche 53 Transformations du plan: similitudes 200
Foc us Transformations complexes, fractales, et représentations
de la nature 204
Matrices 206
Fiche 54 Matrices de taille 2 x 2 206
Fiche 55 Déterminant de matrices de taille 2 x 2 208
Fiche 56 Matrices de taille 3 x 3 210
Fiche 57 Déterminant de matrices de taille 3 x 3 213
Fiche 58 Matrices de taille m x n 216
Fiche 59 Opérations sur les matrices 218
Fiche 60 Matrices remarquables 220
Fiche 61 Introduction aux déterminants de matrices de taille n x n 224
Fiche 62 Inversion des matrices carrées 226
Foc us L'origine des matrices 230
Foc us Les matrices et leurs applications 232
Fiche 63 Systèmes linéaires 234
Fiche 64 Vecteurs 238
Fiche 65 Barycentres 242
Fiche 66 Droites, plans 246
Fiche 67 Produit scalaire 249
Foc us Produit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique 253
Fiche 68 Produit vectoriel 254
Fiche 69 Aires et volumes 256
Foc us Géométrie euclidienne - ou non ? Encore des matrices! 258
Transformations linéaires du plan 260
Fiche 70 Bases et transformations linéaires du plan 260
Fiche 71 Changement de base en dimension 2, et déterminant
d'une application linéaire 264
Fiche 72 Conjugaison - Matrices semblables de taille 2 x 2 266
Fiche 73 Opérateurs orthogonaux en dimension 2 268
Fiche 74 Rotations vectorielles du plan 270
"O :<;
0c: : "<:=:'l Transformations linéaires de l'espace 273
0:: J <<~>> Fiche 75 Bases de l'espace R3 273
v ii
-~
..-! g Fiche 76 Transformations linéaires de l'espace Hl3 274
0
N <=
0<= Fiche 77 Changement de base en dimension 3 278
@ <=
,>;
.~.c:: 0::> Fiche 78 Conjugaison - Matrices semblables de taille 3 x 3 280
ïO:::: l ~Q . Fiche 79 Opérateurs orthogonaux de l'espace IR.3 282
>- ~
a. 3::> Fiche 80 Rotations vectorielles de l'espace R3 284
u0 ~
-ci L'espace IRi" 286
0c :
::>
0 Fiche 81 Vecteurs en dimension n, n ;;:. 2 286
@
vii
Fiche 82 Espace engendré par une famille de vecteurs - Sous-espaces
vectoriels de IR." 288
Fiche 83 Transformations linéaires de l'espace IR." 291
Fiche 84 Changement de base 295
Fiche 85 Conjugaison - Matrices semblables de taille n x n 297
Fiche 86 Réduction des matrices carrées 299
Foc us Groupe spécial orthogonal et cristallographie 303
Foc us Diagonalisation - La toupie de Lagrange (et de Michèle Audin) 305
Espaces vectoriels 306
Fiche 87 Les espaces vectoriels 306
Fiche 88 Sous-espaces vectoriels 310
Fiche 89 Somme de sous-espaces vectoriels 312
Fiche 90 Projecteurs, symétries 313
Exercices 315
Corrigés 323
Partie 3
Analyse
Suites 367
Fiche 91 Qu'est-ce qu'une suite? L'espace des suites et opérations
sur les suites 368
Fiche 92 Les différents types de suites 371
Foc us Suites arithmético-géométriques et finance 376
Fiche 93 Étude d'une suite 377
Fiche 94 Majorants, minorants d'une suite réelle - Croissance
et décroissance 380
Fiche 95 Techniques d'étude des suites réelles 382
Fiche 96 Convergence 384
Fiche 97 Convergence des suites monotones 387
Fiche 98 Opérations sur les limites de suites 389
Fiche 99 Convergence des suites homographiques réelles 392
Fiche 100 Suites extraites 397
"O Fiche 101 Suites de Cauchy 399
0
c::
Fiche 102 Comparaison des suites réelles 401
::J
0
Foc us Suites et systèmes dynamiques - L'attracteur de Hénon 405
v
0.. -! Intégrales 406
N
@ Fiche 103 Qu'est-ce qu'une intégrale? 406
.~.c:: Fiche 104 Intégrale d'une fonction en escaliers 408
Ol
ï:::: Fiche 105 Intégrale d'une fonction continue par morceaux 413
>-
a.
Fiche 106 Calcul intégral 419
0
u
Fiche 107 Primitives de fractions rationnelles 425
Fiche 108 Calcul approché d'intégrales 427
viii
Focus Intégrale de Riemann vs intégrale de Lebesgue 434
Exercices 436
Corrigés 442
Annexes Formulaire de trigonométrie 470
Dérivées usuelles 472
Dérivées des fonctions réciproques usuelles 473
Primitives usuelles 474
Limites usuelles des fonctions puissances 475
Rang d'une matrice 476
Bibliographie 477
Index 479
"O :<;
0c: : "<:=:'l
0:: J <<~>>
v ii
-~
..-! g
0
N <=
0<=
@ <=
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Ol ~
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ix
Avant-propos
Cet ouvrage est destiné aux étudiants du cycle Ll des filières universitaires scienti
fiques, ou des classes préparatoires. Il se base sur nos cours donnés en première année de
Licence à l'UPMC (université Pierre et Marie Curie).
Face aux demandes croissantes de nos étudiants, qui recherchaient un ouvrage de réfé
rence complet mais abordable, ainsi que des exercices d'application corrigés, nous nous
sommes lancés dans la conception de ce livre qui, nous l'espérons, sera un outil utile
pour les générations d'étudiants à venir.
Cet ouvrage est donc le fruit d'un compromis: dans ce volume condensé, nous avons
essayé de donner suffisamment d'éléments recouvrant l'ensemble des mathématiques
de première année. Cet ouvrage correspond aussi à l'arrivée des nouveaux programmes
universitaires et des classes préparatoires. Pour mi.eux assurer la jonction avec les ma
thématiques enseignées au lycée, nous avons opté, pour la première partie d'analyse,
relative à l'étude des fonctions, à une présentation de type « Calculus », inspirée de
l'esprit des « textbooks » anglo-saxons, qui permet d'aborder plus facilement le reste
du programme, plus « classique», sur les suites et le calcul intégral. Pour l'algèbre, la
présentation reprend celle de l'ouvrage Calcul Vectoriel (Collection Sciences Sup), en
allant un peu plus loin : Rn, réducti.on, espaces vectoriels.
Malgré tout le soin apporté à la rédaction, nous demandons l'indulgence du lecteur
pour les éventuelles imperfections qui pourraient subsister; qu'il n'hésite pas à nous les
signaler.
Claire David
[email protected]
Sami. Mustapha
[email protected]
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0
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X
Remerciements
Nous remercions vivement toutes les personnes dont la relecture et les remarques ont
contribué à améliorer la version initiale du manuscrit :
les membres du comité de lecture, pour leur relecture extrêmement minutieuse et leurs
remarques très pertinentes ;
• Sylvie Benzoni, Université Claude Bernard Lyon 1, Institut Camille Jordan.
• Laurent Di Menza, Université de Reims, Laboratoire de Mathématiques de Reims
(LMR).
• Jean-Pierre Escofier, Université de Rennes, Institut Mathématique de Rennes.
• Sandrine Gachet, Professeur de Mathématiques, Lycée Gustave Eiffel, Dijon.
• Chloé Mullaert, Professeur de Mathématiques, Lycée Paul Valéry, Pari.s.
• Laure Quivy, ENS Cachan et Université Paris XIII, Centre de Mathématiques et leurs
applications (CMLA).
• Lamia Attouche, étudiante à l'UPMC, Paris.
• Alexis Prel, étudiant à l'UPMC, Pari.s.
mais aussi Albert Cohen, Ramona Anton, Sylvie Delabrière, Patrick Polo, Adnène
Benabdesselem, Matthieu Solnon, Eugénie Poulon, Daniel Hoehener, Julien Piera Vest.
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0:: J <<~>>
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xi
Comment utiliser cet ouvrage'?
Un découpage
en trois grandes parties
ca\c.u\US Calculus, Algèbre, Analyse
110 fiches de cours
Les notions essentielles du cours
Un repérage
• Les ensembles de nombres .P..ta.~ «i J.1.."ml l..~ WR', l 1éd •ll.ltl 1111! "· irt.~~uc 1'ctHC1nblc ~ 1t.dt .Je b r,1111~•1 ~. u&kcs1 facile
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1. Notation «il~ 1elatih. ave~: 11 ~Cl. C•l nui:tQ.
Poot db.T1.r-.:. l"cn,..;1:Dl:'4(.. °'' utili.o;e lies. :.:cilb..lel, .1.1'1nté~ur '1:."'f\ldk'> <'Ill &nt Sc:< >-l.Hnotnbtfl rhk
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nombreux E.=HP(.1)~ W>:n.:uto: f..1..P(.111 ~ l\'CI é.:111 f1indes t~l!l~ pnfr6:1cnt'> avi:o: l"o.p.><:mt •°"•" . .. ..:da "ÎllQÎl\e~
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lLJ , .Uil,.. "1·• .~\ .. 4611...',.. -JtWct<C1' •.nn<-l1'.11.d,:o,k_.,~k.<,(Sl.e'<müe!11<11<1<ucnrlnk-~<~lllcO<<t1i1h.n::.<1 1ltW.t!...J<o.C"'."1'4 ,- 1GJ"1r°""'°"'tg.iu~ lLâ'lou"rn.); ~.qJuc.c:.o ,li'o~"l'<'nil. eé ;ln"~Ci1lqli~ue'ne1nnlb edllce . <r1. .1e'cmn~:c"b1·n1.mt.i"le'- t.pk'ui< " ('pÎ'olr,Î..(tl<.-.i: l&dltkio Om«O<t nc.i,o.vilse,ei.•;i nJl'b.c")b( :~J.';ë' oa<:..ni1~s1tCi,,' .z l:'" •t 1t1t1.qsn.u:l1i.1 Ict..h< -I.ki g- .dni.ciif.;'i;>ci l é'qétµt:lJ;fcI. 1 sont
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