Mathematiques Tout-en-un (PSI PSI)

1114 Pages·2018·18.073 MB·French

by  C.Deschamps, F.Moulin, Y.Gentric, C.Mullaert, JM.Cornil, B.Morel, M.Volcker, F.Lussier

C. DESCHAMPS | F. MOULIN
Y. GENTRIC | C. MULLAERT | J.-M. CORNIL
B. MOREL | M. VOLCKER | F. LUSSIER
MATHS
PSI-PSI
*
TOUT-EN-UN
Conception et création de couverture : Hokus Pokus Créations
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11(cid:3)(cid:14)(cid:5)(cid:15)(cid:3)(cid:16)(cid:17)(cid:5)(cid:18)(cid:3)(cid:19)(cid:15)(cid:14)(cid:20)(cid:9)(cid:3)(cid:21)(cid:10)(cid:10)(cid:22)0 (cid:23)(cid:17)(cid:18)(cid:17)(cid:24)(cid:7)(cid:25)(cid:25)(cid:3)
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La réforme du lycée, qui a suivi celle du collège, s’est achevée en 2012, avec
la mise en œuvre des nouvelles classes de terminale. Depuis septembre 2013,
les étudiants qui entreprennent des études en classes préparatoires, ont bé-
néficié, durant leur scolarité au collège et au lycée, de programmes rénovés,
en particulier en mathématiques. Afin d’assurer une continuité, de nouveaux
programmes de classes préparatoires étaient donc indispensables.
En mathématiques, en 1995, lors de la mise en place des programmes de
l’époque, les Éditions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étu-
diants des ouvrages de référence clairs et précis complétant le cours, irrempla-
çable, du professeur. Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés et
exercices, avec corrigés, en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuis
très largement imité), qui a remporté un grand succès.
En septembre 2013 ont été mis en place de nouveaux programmes des classes
préparatoireset,avecuneéquipepartiellementrenouveléeetdegrandequalité,
nous avons récidivé : deux ouvrages «tout en un» (MPSI et PCSI-PTSI)pro-
posent, aux étudiants depremière année, un cours en conformité avec le texte,
mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme des classes préparatoires.
Aujourd’hui ce nouveau « tout en un » PSI/PSI* prolonge, pour la seconde
année, ces deux ouvrages et il conserve l’ambition, en mettant en œuvre de
nouvelles méthodes d’acquisition des connaissances, de proposer à l’étudiant
unedémarche pour s’approprier les théories du programme, théories indispen-
sables tant aux mathématiques qu’aux autres disciplines.
En pratique, dans chaque chapitre :
• De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du
lycée ou du programme de première année, illustrent chaque définition et
permettent à l’étudiant de s’approprier cette nouvelle notion.
• Les propositions et théorèmes sont énoncés et suivis immédiatement
d’exemples élémentaires d’applications. En outre, leurs démonstrations
sont l’occasion d’un travail personnel de l’étudiant. Nous avons choisi de
ne pas faire figurer systématiquement, à la suite des énoncés, la rédaction
complète de ces démonstrations mais plutôt d’indiquer à l’étudiant le prin-
cipe de celles-ci avec les éléments qui lui permettront de la construire par
lui-même et ainsi de mieux s’approprier la propriété. Évidemment, guidé
par un renvoi précis en fin du chapitre, il pourra ensuite consulter la dé-
monstration complète et vérifier ou compléter son travail personnel.
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• Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pas
privilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc-
tionsexplicites.C’estvolontaire;durantleursétudesaulycéenosétudiants
n’ont en général pas construit les objets mathématiques qu’ils ont utilisés :
ils se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire un objet,
comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitement ses
propriétés et les limites de ces propriétés.
• Dans chaque chapitre, l’étudiant trouvera, pour illustrer immédiatement
l’usage des propositions et théorèmes, de très nombreux exercices simples
qu’il doit évidemment chercher au fur et à mesure de son apprentissage et
dont il pourra consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifier son
propre travail.
• Régulièrement l’étudiant trouvera des « point méthode » qui, pour une
situation donnée,lui offrent uneou deux possibilités d’approchedela réso-
lutiondesonproblème.Évidemmentiltrouveraaprèsce«pointméthode»
exemples et exercices l’illustrant.
• À l’issue de chaque chapitre, figurentdes exercices souvent plus ambitieux,
demandant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement
maitrisé. Certains plus difficiles sont signalés par des étoiles; les solutions
détaillées de tous ces exercices complémentaires sont données.
• Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque que les étu-
diants, noscollègues, toutlecteur... seraient amenés à nouscommuniquer.
Celanouspermettra,lecaséchéant,decorrigercertaineserreursnousayant
échappéet surtoutce contact nousguiderapourunemeilleure exploitation
des choix pédagogiques que nous avons faits aujourd’hui dans cet ouvrage.
Claude Deschamps et François Moulin
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Préface iii
Table des matières viii
Chapitre 1. Compléments d’algèbre linéaire 1
I Produit et somme d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 2
II Matrices et endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
III Compléments sur les déterminants . . . . . . . . . . . . . . . 20
IV Formes linéaires et hyperplans en dimension finie . . . . . . . 24
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 28
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chapitre 2. Réduction 55
I Éléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
II Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 70
III Endomorphismes et matrices trigonalisables . . . . . . . . . . 83
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 86
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Chapitre 3. Espaces préhilbertiens et euclidiens 129
I Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . . . . . . . . 130
II Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
III Espaces euclidiens orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IV Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie 145
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 153
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Chapitre 4. Endomorphismes d’un espace euclidien 175
I Isométries vectorielles d’un espace euclidien . . . . . . . . . . 176
II Endomorphismes et matrices symétriques . . . . . . . . . . . 183
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 186
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) (cid:6)(cid:5)(cid:7) (cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:7)
Chapitre 5. Espaces vectoriels normés 211
I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
II Suites d’éléments d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . 223
III Topologie d’un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . 226
IV Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
V Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 243
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Chapitre 6. Espaces vectoriels normés de dimension finie 287
I «Équivalence» des normes en dimension finie . . . . . . . . . 288
II Utilisation des coordonnées dans une base . . . . . . . . . . . 290
III Applications continues sur un fermé borné . . . . . . . . . . . 291
IV Continuité : applications linéaires, polynomiales etmultilinéaires 292
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 296
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Chapitre 7. Fonctions vectorielles, arcs paramétrés 315
I Dérivation des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . 316
II Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 345
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Chapitre 8. Intégration sur un intervalle quelconque 389
I Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . 390
II Intégrale généralisée sur un intervalle [a,+∞[ . . . . . . . . . 396
III Généralisation aux autres types d’intervalles . . . . . . . . . . 405
IV Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
V Calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 422
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Chapitre 9. Compléments sur les séries numériques 461
I Comparaison à une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
II Comparaison à une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
III Étude de séries non absolument convergentes . . . . . . . . . 468
IV Produit de Cauchy de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 472
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
(cid:0)(cid:2)
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) (cid:6)(cid:5)(cid:7) (cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:7)
Chapitre 10. Suites et séries de fonctions 507
I Modes de convergence des suites de fonctions . . . . . . . . . 508
II Convergence uniforme et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
III Intégration, dérivation d’une limite . . . . . . . . . . . . . . . 518
IV Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 533
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
Chapitre 11. Séries entières 587
I Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
II Séries entières de la variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 600
III Développements en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
IV Pratique du développement en série entière . . . . . . . . . . 609
V Approfondissement : exponentielle complexe . . . . . . . . . . 615
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 619
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
Chapitre 12. Convergence dominée et applications 673
I Suites et séries d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
II Intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 690
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
Chapitre 13. Équations différentielles linéaires 739
I Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . 741
II Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre . . 753
III Exemples d’équations différentielles non résolues . . . . . . . 763
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 766
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
Chapitre 14. Calcul différentiel 807
I Fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
II Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
III Fonctions de classe C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 832
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
(cid:0)(cid:2)(cid:2)
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5) (cid:6)(cid:5)(cid:7) (cid:8)(cid:2)(cid:9)(cid:10)(cid:5)(cid:11)(cid:12)(cid:5)(cid:7)
Chapitre 15. Applications du calcul différentiel 867
I Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
II Applications à la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
III Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . 886
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 892
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
Chapitre 16. Ensembles dénombrables 937
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 942
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
Chapitre 17. Espaces probabilisés 951
Introduction informelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
II Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
III Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966
IV Probabilités sur un univers au plus dénombrable . . . . . . . 968
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 970
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984
Chapitre 18. Variables aléatoires discrètes 999
I Variables aléatoires discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
II Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
III Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007
IV Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1015
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
Chapitre 19. Variables aléatoires réelles discrètes 1041
I Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
II Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
III Variance, covariance, écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048
IV Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . 1053
V Variables aléatoires à valeurs entières : fonctions génératrices 1055
VI Pour finir : récapitulatif sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1057
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 1058
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081
(cid:0)(cid:2)(cid:2)(cid:2)
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8) (cid:9) (cid:10) (cid:0)(cid:11)(cid:12)(cid:4)(cid:13)(cid:8)(cid:14)(cid:12)(cid:8)(cid:15)(cid:6)(cid:16) (cid:17)(cid:18)(cid:3)(cid:13)(cid:19)(cid:8)(cid:20)(cid:21)(cid:7)(cid:8) (cid:13)(cid:5)(cid:15)(cid:8)(cid:14)(cid:3)(cid:5)(cid:7)(cid:8)
I Produit et somme d’espaces vectoriels . . . . . . . 2
1 Produit d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 2
2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . 3
3 Somme directe de sous-espaces vectoriels. . . . . . 4
4 Décomposition en somme directe . . . . . . . . . . 5
5 Fractionnement d’une base, base adaptée . . . . . 7
6 Somme directe et applications linéaires. . . . . . . 8
II Matrices et endomorphismes . . . . . . . . . . . . 9
1 Polynômed’une matrice carrée,d’un endomorphisme 9
2 Matrices par blocs et opérations . . . . . . . . . . 12
3 Sous-espace stable et endomorphisme induit . . . . 16
4 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Traced’unematricecarrée,d’unendomorphismeen
dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
III Compléments sur les déterminants . . . . . . . . . 20
1 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs. 20
2 Exemples de calcul de déterminant. . . . . . . . . 22
IV Formes linéaires et hyperplans en dimension finie 24
Démonstrations et solutions des exercices du cours . . 28
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:7)(cid:6)(cid:3)(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10) (cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:5)(cid:14)(cid:7)(cid:15)(cid:16)(cid:17)(cid:7)
(cid:5)(cid:18)(cid:8)(cid:7)(cid:6)(cid:13)(cid:18)(cid:17)(cid:7)
Dans tout le chapitre IK désigne IR ou C.
(cid:0) (cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:8) (cid:9)(cid:8) (cid:10)(cid:4)(cid:11)(cid:11)(cid:9) (cid:5)(cid:12)(cid:9)(cid:10)(cid:13)(cid:14)(cid:15)(cid:9)(cid:10) (cid:16)(cid:9)(cid:15)(cid:8)(cid:4)(cid:3)(cid:7)(cid:9)(cid:17)(cid:10)
S(cid:0)oit (cid:2)p (cid:3)u(cid:4)n(cid:5)e(cid:6)nt(cid:7)i(cid:8)er(cid:5)n(cid:9)(cid:10)at(cid:11)u(cid:12)re(cid:13)l(cid:14)s(cid:10)up(cid:11)ér(cid:15)ie(cid:10)u(cid:14)r(cid:8)o(cid:4)u(cid:3)é(cid:7)(cid:10)ga(cid:16)(cid:11)l à 1.
Proposition 1
Soit (E1,...,Ep) une famille finie de IK-espaces vectoriels.
On définit les lois suivantes sur le produit cartésien E1×···×Ep :
• l’addition telle que pour tout vecteur (x1,...,xp) ∈ E1 ×···×Ep et
tout vecteur (y1,...,yp) ∈ E1×···×Ep :
(x1,...,xp)+(y1,...,yp) = (x1+y1,...,xp+yp),
• la loi externe telle que pour tout scalaire λ ∈ IK et tout vec-
teur (x1,...,xp) ∈E1×···×Ep :
λ.(x1,...,xp) = (λ.x1,...,λ.xp).
Munideces deuxlois, E1×···×Ep estun IK-espacevectoriel appeléespace
vectoriel produit.
(cid:3) (cid:5)
Principe de démonstration. Posons F =E1×···×Ep. (cid:4)Démonstration page 28(cid:6)
D’après la définition d’un espace vectoriel, il s’agit devérifier :
• d’une part que l’addition définie sur F est associative, commutative, possède un élément
neutreet quetout élément de F admet un opposé,
• d’autrepart quepour tout (x,y)∈F2 et (α,β)∈IK2, on a :
(1) α.(β.x)=(αβ).x (3) (α+β).x=α.x+β.x
(2) 1.x=x (4) α.(x+y)=α.x+α.y
(cid:2)p
On note aussi Ek au lieu de E1×···×Ep.
(cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:3)(cid:5)(cid:2)(cid:6) k=1