Mathématiques «tout-en-un» ECS 2e année

635 Pages·2009·5.42 MB·French

Sous la direction de
Christian Gautier
André Warusfel
Bruno Caminade
Gonzague de Monicault
Serge Nicolas
MATHÉMATIQUES
2
ECS e année
TOUT-EN-UN •
(cid:2)Un cours complet
(cid:2)De nombreux exercices
et problèmes
(cid:2)Toutes les solutions détaillées
en fin d’ouvrage
PRÉPAS
COMMERCIALES
Mathématiques
- - • ECS 2e
TOUT EN UN ANNÉE
Cours et exercices

Mathématiques
Tout-en-un • ECS 2e année
Cours et exercices corrigés
Sous la direction de
Christian Gautier André Warusfel
et
Bruno Caminade
Serge Nicolas
Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-l’École
Professeur au lycée HENRI IV à Paris
Prépas commerciales
© Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053975-8
Table des matières
Préface vii
Chapitre1 Complémentsd’algèbrelinéaire 1
1 Sommedirectedesous-espaces,sous-espacesstables 1
2 Réductiondesendomorphismes 7
3 Réductiond’unematrice 11
Chapitre2 Algèbrebilinéaire 24
1 Produitscalaire 24
2 Espaceseuclidiens 35
3 Endomorphismessymétriques 43
Chapitre3 Intégrationsurunintervallequelconque 59
1 Définitions 59
2 Propriétésdesintégralesconvergentes 64
3 Casdesfonctionspositives 71
4 Casdesfonctionsdesignequelconque 77
Chapitre4 ÉlémentsdetopologiedeRn 88
1 RappelssurRn 88
2 Distanceeuclidienne 91
3 Ouvertsetfermés 94
4 Partiesconvexes 98
Chapitre5 Fonctionsdenvariables–Continuité 104
1 Graphed’unefonction 104
Table des matières
2 Continuitéd’unefonctiondeRn dansR 108
3 Opérationssurlesfonctionscontinues 111
4 Propriétésdesfonctionscontinues 116
Chapitre6 Fonctionsdenvariables:calculdifférentiel 125
1 Calculdifférentield’ordre1 125
2 Calculdifférentield’ordre2 135
Chapitre7 Extremums 148
1 Extremumssurunouvert 148
2 Extremumssouscontrainted’égalitéslinéaires 161
Chapitre8 Variablesaléatoiresréellesdiscrètes 171
1 Généralitéssurlesvariablesaléatoiresréelles 171
2 Sériesdoublesconvergentes 179
3 Indépendancedevariablesaléatoiresréellesdiscrètes 185
4 Espéranceetconditionnementdesvariablesdiscrètes 186
Chapitre9 Vecteursaléatoiresdiscrets 202
1 Couplesdevariablesaléatoiresréellesdiscrètes 202
2 Variablealéatoirefonctiond’unvecteurdiscret 211
3 VecteursaléatoiresdiscretsàvaleursdansRn 221
Chapitre10 Variablesaléatoiresréellesàdensité 238
1 Définitiondesvariablesaléatoiresréellesàdensité 238
2 Momentsd’unevariablealéatoireàdensité 246
3 Lesloisusuelles 255
Chapitre11 Convergences 284
1 Convergenceenprobabilité 285
2 Loisdesgrandsnombres 295
3 Convergenceenloi 298
4 Convergenceenloietapproximationsclassiques 308
Chapitre12 Estimation 318
1 Échantillonsd’uneloideprobabilité 319
2 Estimateurs 327
3 Suitesd’estimateurs 333
4 Estimationparintervallesdeconfiance 337
5 Statistiquesbivariées 347
iv
Table des matières
Chapitre13 Interventionsinformatiques 364
1 Récursivité 364
2 Gestiondelistesàunedimension 380
3 Simulationsdeloisréellesdiscrètes 390
4 Simulationsdeloisréellesàdensité 401
5 Estimation 412
Annexes Tablesdesloisusuelles 420
Solutiondesexercices 428
Chapitre1 429
Chapitre2 446
Chapitre3 464
Chapitre4 486
Chapitre5 496
Chapitre6 511
Chapitre7 524
Chapitre8 539
Chapitre9 564
Chapitre10 575
Chapitre11 595
Chapitre12 604
Index 620
v

Préface
Cet ouvrage est le deuxième de la série «Tout-en-un» consacré aux classes prépara-
toiresauhautenseignementcommercial.Ilestdestinéauxétudiantsdesecondeannée
de la filièrescientifique.
Couvrant la totalité des résultats au programme, il contient tout ce qui est nécessaire
pourlasérie«économique»,auprixdecertainescoupesévidentes;celadit,unautre
volume couvrant les deux années de celle-ci est en cours de rédaction, et sera publié
en juin 2006.
Rappelons dans quel esprit notre cours a été conçu et réalisé. Le rôle d’un professeur
est, tout particulièrement en classes préparatoires, de construire son propre cours à
partirdesesconnaissances,desesexpériencesetdeseslectures.Parsuitecelivren’est
en aucun cas un modèle qui fournirait un cours prêt à l’emploi. En direction des
enseignants, justement exigeants quant à leur liberté pédagogique, notre but a donc
étéhumble:fournirànoscollèguesquelquespointsderéflexion,quelquessuggestions
quant aux choix des propositions à invoquer et de leurs démonstrations.
S’il n’est pas un cours à l’usage des enseignants, il n’est pas davantage un texte dans
lequel un élève découvrirait seul la partie mathématique des programmes de seconde
année(àquelquesexceptionsprès,duesàdescasd’isolementimparable).Ils’agitavant
tout de donner aux étudiants un ouvrage de référence. Ce livre est à consulter de
manière essentiellement ponctuelle, par exemple à la sortie d’un cours, pour trouver
unevisionautrepermettantpeut-êtred’éclairer,parsesdifférences,l’exposédeparties
plusdélicatesqued’autres,etaussipourprépareruneinterrogationorale,larédaction
d’un devoir libre ou un contrôle. Il servira à vérifier, avec la plus grande précision
possible, une définition, l’énoncé d’une proposition, une formule, et à se servir des
nombreuses remarques mises au détour des points un peu subtils.
L’introductionde nouveaux concepts concernant le calcul des probabilités,introduits
de façon plutôt abstraite, a ses avantages scientifiques évidents; mais répétons qu’il
serait stupide de penser que cela n’implique pas de réelles difficultés pédagogiques et
techniques qu’on peut difficilement cacher sous le tapis.