Mathématiques tout-en-un BCPST 2e année : Cours et exercices corrigés

626 Pages·2008·4.73 MB·French

by  Christian Gautier

Sous la direction de
Christian Gautier
André Warusfel
François Lussier • Gonzague de Monicault
Serge Nicolas • Monique Ramis
Bruno Caminade
MATHÉMATIQUES
2
BCPST e année
TOUT-EN-UN •
(cid:2)Un cours complet
(cid:2)De nombreux exercices et
problèmes
(cid:2)Toutes les solutions détaillées
Mathématiques
BCPST 2
TOUT-EN-UN • e année
Cours et exercices corrigés
Sous la direction de
Christian Gautier André Warusfel
et
François Lussier Gonzague de Monicault
Professeur au lycée Sainte Geneviève Professeur au lycée Montaigne
Serge Nicolas Monique Ramis
Professeur au lycée Henri IV Ancien professeur de chaires supérieures
Bruno Caminade
Professeur au lycée militaire de Saint-Cyr-l’École
© Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053976-5
Table des matières
Chapitre1 Espacesvectoriels 1
1 Espacesvectoriels,sous-espacesvectoriels 1
2 Famillesdevecteursgénératrices,libres 6
3 Base,dimensiond’unespacevectoriel 9
4 Sous-espacevectoriel,sommedesous-espacesvectoriels 14
Chapitre2 Applicationslinéaires 24
1 Applicationslinéaires 24
2 Rangd’uneapplicationlinéaire 30
3 L’ensembledesapplicationslinéairesdeEdansF 32
4 Projections 35
5 Matricesetapplicationslinéaires 37
6 Rangd’unematrice 45
Chapitre3 Réductiondesendomorphismesetdesmatrices 51
1 Changementdebase 51
2 Valeursetvecteurspropresd’unendomorphisme 55
3 Réductiondesendomorphismes 58
4 Diagonalisationdesmatricescarrées 60
5 Applicationsdelaréduction 69
Chapitre4 Sériesnumériques 82
1 Généralités 82
2 Sériesàtermegénéralpositif 91
3 Sériesabsolumentconvergentes 101
Table des matières
4 D’autressériesderéférence 102
5 Appendice:complémentenvuedesprobabilités 107
Chapitre5 Fonctionsréellesdeplusieursvariables 119
1 Limites 119
2 Continuité 122
3 Dérivéespartielles,fonctionsdeclasseC1 125
4 FonctionsdeclasseC2 138
5 Notationdifférentielle,formesdifférentielles 142
Chapitre6 Extensionsdelanotiond’intégrale 151
(cid:2)
+∞
1 L’intégraleimpropre f(t)dt 151
(cid:2)a
b
2 L’intégraleimpropre f(t)dt 161
a
3 Intégralesplusieursfoisimpropres 166
4 Pratiquedesintégralesimpropres 170
5 Intégralesdoubles 176
Chapitre7 Espacesprobabilisés 194
1 Espacesprobabilisables 194
2 Espacesprobabilisés 199
3 Lesprobabilitésconditionnelles 212
4 Indépendance 222
Chapitre8 Variablesaléatoiresréellesdiscrètes 233
1 Uneapplicationliéeàuneexpériencealéatoire:lavariablealéatoire 233
2 Variablesaléatoiresdiscrètes 237
3 Lesmomentsd’unevariablealéatoire 248
4 Lesloisusuelles 261
Chapitre9 Couplesdevariablesaléatoiresréellesdiscrètes 279
1 Loisassociéesàuncoupledevariablesaléatoiresdiscrètes 279
2 Indépendancedevariablesaléatoiresdiscrètes 287
3 Variablealéatoirefonctiondedeuxvariablesaléatoires 292
4 Covarianceetcoefficientdecorrélationlinéaire 299
Chapitre10 Variablesaléatoiresréellesàdensité 313
1 Notiondevariablealéatoireréelleàdensité 313
2 Variablealéatoirefonctiond’unevariablealéatoireàdensité 321
3 Espéranceetvarianced’unevariablealéatoireàdensité 327
iv
Table des matières
4 Lesloisusuelles 337
5 Indépendance 351
Chapitre11 Couplesdevariablesaléatoiresadmettantunedensité 361
1 Loisassociéesàuncoupledevariablesaléatoiresàdensité 361
2 Variablesaléatoiresfonctionsd’uncoupledevariablesàdensité 371
3 Covariance-Coefficientdecorrélation 382
Chapitre12 Convergencesetapproximations 393
1 Loifaibledesgrandnombres 393
2 Convergenceenloi 396
3 Théorèmedelalimitecentrée 399
Solutiondesexercices 407
Chapitre1 408
Chapitre2 419
Chapitre3 425
Chapitre4 453
Chapitre5 475
Chapitre6 484
Chapitre7 498
Chapitre8 513
Chapitre9 534
Chapitre10 555
Chapitre11 579
Chapitre12 608
Index 615
v

1
Espaces vectoriels
1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels
Nous reprenons et complétons les définitions et propriétés établies dans le livre de première
année, le lecteur s’y référera pour les démonstrations que nous ne reprenons pas en détail.
Dans tout ce chapitre K représente soit l’ensemble des réels R soit celui des com-
plexes C.
1.1 Espaces vectoriels sur K
Définition1
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne notée + et d’une loi de
composition externe à opérateurs dans K notée ·. On dit que (E,+,·) est un K-espace
vectoriels’ilvérifielesdixpropriétéssuivantes
1. (E,+)estungroupecommutatif,c’est-à-direque:
O L’opération+estuneloidecompositioninterne.
i
A Pourtouttriplet(x,y,z)d’élémentsdeE,ona(x+y)+z=x+(y+z).
N Il existe un élément 0 dans E, tel que pour tout élément x de E, on a
E
x+0 =0 +x=x.
E E
S PourtoutélémentxdeE,ilexisteunélémentydeEtelquex+y=y+x=0 ;
E
onnotecetélément−x.
C Pourtoutcouple(x,y)d’élémentsdeE onax+y=y+x.
2. Laloi·vérifielescinqpropriétéssuivantes:
O L’opération·estuneloidecompositionexterne.
e
A Pour tout couple (l,m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
m
l·(m·x)=(lm)·x.
Chapitre1–Espacesvectoriels
N PourtoutélémentxdeE,1·x=x.
D Pour tout couple (l,m) d’éléments de K et pour tout élément x de E,
g
(l+m)·x=l·x+m·x.
D Pourtoutl∈Kettoutcouple(x,y)d’élémentsdeE,l·(x+y)=l·x+l·y.
d
➤Remarques
• LesélémentsdeKsontappelésdesscalairesetlesélémentsdeEdesvecteurs.
• Sauf mention contraire, les lettres majuscules E, F ... désigneront des espaces vectoriels sur K, les lettres
minuscules u, v, ..., ou e1, e2, ...désigneront des vecteurs et les lettres grecques a, b,..., l, m, ...des
scalaires.
• Levecteurnul0E,élémentneutrepourl’additiondesvecteurs,estuniqueetnousavons,pourtoutscalairel
ettoutvecteurx,l’équivalencelx=0E⇐⇒(l=0)ou(x=0E).
• L’opposé d’un vecteur x est unique et nous avons pour tout scalaire l les égalités suivantes
(−l)x=l(−x)=−(lx).
• Toutespacevectorielcontientaumoinslevecteurnuletn’estdoncpasvide.
Exemples
1. L’ensembleK[X]despolynômesmunidesloishabituellesestunK-espacevectoriel.
2. Pour toute valeur des entiers non nuls n et p, l’ensemble M (K) des matrices muni des
n,p
loishabituellesestunK-espacevectoriel.
(cid:2) (cid:3)
3. Pour toute valeur de l’entier non nul n, l’ensemble Kn ouM (K) des n-uplets de
1,n
scalairesestunK-espacevectoriel.
4. L’ensembleClui-mêmepeutêtreconsidérécommeunR-espacevectorielouunC-espace
vectoriel.
5. L’ensemble KN des suites de scalaires muni de l’addition des suites et du produit par un
scalairesestunK-espacevectoriel.
6. L’ensemble RI des fonctions réelles f définies sur un intervalle I muni de l’addition des
fonctionsetduproduitparunréelestunR-espacevectoriel.
Définition2
On appelle famille finie de vecteurs tout n-upletde n vecteurs où n est un entier naturel
nonnul.
➤Remarques
• Deuxfamillesdevecteurssontégalessiellessontconstituéesdesmêmesvecteursdanslemêmeordre.
• Onnotehabituellementunetellefamille(e1,e2,...,en)ou(ei)i∈IavecIunsous-ensemblefinideN.
• Ondiraque(ei)i∈Jestunesousfamilledelafamille(ei)i∈Isil’onaJ⊂I.
2
Espacesvectoriels,sous-espacesvectoriels
Définition3
UnvecteurxdeEestditcombinaisonlinéaired’unefamille(e ,e ,...,e )s’ilexisten
1 2 n
(cid:4)n
élémentsl ,l ,...,l deKtelsque x= le.
1 2 n i i
i=1
L’ensembledescombinaisonslinéairesde(e ,e ,...,e )estnotéVect(e ,e ,...,e ).
1 2 n 1 2 n
Exemples
1. Dans l’ensemble K3 des triplets de scalaire(cid:2)s, le vecteur (2,5,9) (cid:3)est combi-
naison linéaire de la famille de vecteurs (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) , en effet
(2,5,9)=2(1,1,1)+3(0,1,1)+4(0,0,1).
2. Dans l’ensemble des polynômes R[X], on a Vect(X2,X,1) qui est égal à R [X] puisque
2
nousavonspardéfinitionR [X]={aX2+bX+c|(a,b,c)∈R3}.
(cid:5)2 (cid:6) (cid:5) (cid:6)
1 0 0 1
3. DansM (R),posonsD= etD= .
2 0 1 −1 (cid:5)0 (cid:6)
l m
Pourtousscalairesletm,nousavonsalorslD+mD= .Nousendéduisons
(cid:7)(cid:5) (cid:6)(cid:8) (cid:9) −m l
(cid:8)
Vect(D,D)= −ml ml (cid:8)(cid:8)(l,m)∈R2 .
1.2 Sous-espaces vectoriels
Définition
Définition4
Soient E un espace vectoriel et F un sous-ensemble de E. On dit que F est un sous-
espacevectorieldeE siF estnonvideets’ilvérifielesdeuxpropriétéssuivantes.
1. Pourtoutcouple(x,y)devecteursdeF,levecteurx+yappartientàF.
2. PourtoutscalairelettoutvecteurxdeF,levecteurlxappartientàF.
➤Remarque
élit OndiraqueFestunsous-espacedel’espacevectorielEs’ilestnonvide,stableparadditionetstableparmultipli-
d
n cationparunscalaire.
u
est Exemples
e
é
oris 1. ToutespacevectorielE atoujoursaumoinsdeuxsousespacesquisontE lui-même(c’est
aut le plus grand des sous-espaces de E pour l’inclusion) et {0E} (c’est le plus petit des sous-
n
no espacesdeE(cid:10)pourl’inclusion). (cid:11)
e
opi 2. L’ensemble (x,y,0)|(x,y)∈K2 estunsousespacevectorieldeK3.
c
o
ot
h
p
a Théorème 1
L
d– Soit(E,+,·)unK-espacevectorieletF unsous-espacevectorieldeE.
o
un L’ensembleF estlui-mêmeunespacevectorielpourleslois+et·.
D
©
3