Mathématiques Terminales Es Enseignements Spécifique Et De Spécialité

217 Pages·2012·31.89 MB·French

by  Lydia Misset

Enseignements spécifique
et de spécialité
Lydia Misset
Michèle Le Bras
Claudine Merdy
Denis Ravaille
C H A P I T R E
Suites
Suites

(p. 10)
A Vrai ou faux ? La variation absolue n’est pas constante.
8 6,4
Reconnaître une variation • = 0,8 et = 0,8 . Les coeffi cients multipli-
10 8
absolue ou relative
cateurs sont les mêmes : la consommation peut
60600 être modélisée par une suite géométrique.
a. Vrai : CM − 1 = −1 ≈ 0,25 , soit 25 % .
48400 3 b. L’augmentation est de 11 pour 1 000, ou
b. Vrai : VF = ( 1 − 0,20 ) × VD . 1,1 % par an.
60000
Donc VD = = 750 000 .
0,8 C QCM – Établir une relation
Et 750 000 − 600 000 = 150 000 . de récurrence
c. Faux : car VF = ( 1 + 0,316 ) × VD .
c. Au mois n + 1 , le montant après prélèvement
4005×109
Donc VD = ≈ 3 043 × 10 9 . est u − 120 .
1,316 n
La grand−mère de Nath ajoute 0,1 × ( u − 120 ) .
n
Le montant après le dépôt est donc :
B QCM – Reconnaître une suite
u = ( u − 120) + 0,1 ( u − 120 ) = ( u − 120 ) × 1,1 .
n+1 n n n
arithmétique ou géométrique
1 a. Les dates sont espacées de la même durée D QCM – Interpréter
de 10 ans.
un algorithme
• 16,7 − 15,3 = 1,4 et 18,1 − 16,7 = 1,4 .
La variation absolue est constante tous les 10 ans : Réponse b.
la consommation peut être modélisée par une Tableau de suivi des valeurs des variables lorsque
suite arithmétique. A vaut 5.
16,7 18,1 A B C
• ≈ 1,09 et ≈ 1,08 .
15,3 16,7 5
Le coeffi cient multiplicateur n’est pas constant : Initialisation 5 0 1
la consommation ne peut pas être modélisée par
1 2
une suite géométrique. Traitement
5 2 4
2 b. Les dates sont espacées de la même durée (tant que C (cid:2) A)
3 8
de 10 ans.
Sortie 5 3 8
• 8 − 10 = −2 et 6,4 − 8 = −1,6 .
AAccttiivviittéé 1 Estimer une population (p. 12)
1
© Hachette Livre 2012 - Déclic Mathématiques Term ES/L option - Livre du professeur
La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 1
2 Calculons le coeffi cient multiplicateur décennal b. Si q = 1,29 .
1 Pour tout entier n , P = 1,29 P
moyen égal à ⎛⎝⎜1202171,,  32⎞⎠⎟6  ≈1,282 . donc Pn = 227,3 × 1,2n+91n n
En 2010, n = 6 , P ≈ 1047, 46 valeur supérieure à la
6
3 a. Pour tout entier n, on note P la population afri- valeur réelle.
n
caine estimée par ce modèle (en millions) à l’année c. La population africaine dépassse 2  000 millions
1950 + 10n . P = 227,3 et q = 1,28 . lorsque n vérifi e 227,3 × 1,28n > 2 000 .
0
Pour tout entier n , P = 1,28 P À l’aide d’un tableur , on trouve n (cid:4) 9 .
n +1 n
donc P = 227,3 × 1,28n
n
En 2010, n = 6 , P ≈ 999,68 , valeur inférieure à la valeur
6
réelle.
AAccttiivviittéé 2 Calculer une somme et déterminer un seuil (p. 12)
1 d. 3

2 b.

4
Jour 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Production 1 000 980 960 941 922 904 886 868 851 834 817 801 785 769 754 739 724 709
Production
1 000 1 980 2 940 3 882 4 804 5 708 6 594 7 462 8 313 9 146 9 963 10 76411 54912 31813 07213 81014 53415 243
stockée
AAccttiivviittéé 3 Visualiser à long terme (p. 13)
1 a.. b. Pour tout entier n , soit v la valeur de l’action à l’année n ,
n
v = 1 000 × 1,02n .
n
c.

2 a. b.
À long terme, la valeur de cette action sera nulle.
c. Si q (cid:3) 1 , la valeur de l’action augmente,
si 0 (cid:2) q (cid:2) 1 , la valeur de cette action diminue
et si q = 1 , elle reste constante.
AAccttiivviittéé 4 Modéliser par une suite récurrente (p. 13)
Situation 1 : 2 a. C
Situation 2 : 4 d. A
Situation 3 : 1 c. D
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 2
1. M odéliser à l’aide d’une suite arithmétique ou géométrique
(p. 15)
EExxeerrcciicceess dd’’aapppplliiccaattiioonn
a. Soit u la production à l’année n . a. Soit u la production de sucre de l’année 2010 + n .
n n
La production augmente chaque année de 2 %, la La consommation moyenne de sucre diminue de 3 %
production est multipliée chaque année par 1,02 par an. Cette consommation est multipliée par 0,97
donc, la suite ( u ) est géométrique de raison 1,02 avec chaque année.
n
u  = 3 000 . b. La suite ( u ) est géométrique de raison 0,97 avec
0 n
Ainsi pour tout entier n , u = 1,02n × 3 000 . u  = 8 .
n 0 0,9716 −1 800
u = 1,0210 × 3 000 . Soit u ≈ 3 657 tonnes . S = u + u + … + u = u × = (1−0,9716)
10 10 0 1 15 0 0,97−1  3
b. La production totale est égale à
soit S ≈ 110,46 kg par personne.
1,0211−1
P = u + u + … + u = u × =150000(1,0211−1)
0 1 10 0
1,02−1 
soit P ≈ 36 506 tonnes .
2. Étudier une suite géométrique et déterminer un seuil
(p. 17)
EExxeerrcciicceess dd’’aapppplliiccaattiioonn
Les dirigeants décident d’augmenter de 5 % le nombre
a. On note C le capital acquis au bout de n années
n
des femmes salariés, chaque année.
de placement. C = 12 000 .
0
a. Le nombre d’hommes salariés va diminuer de 5 % du
Le capital placé à intérêts composés au taux annuel
nombre de femmes, soit de 30 hommes ce qui repré-
de 2,7 % est donc multiplié par 1,027 chaque année.
sente environ 2 %.
La suite ( C ) est géométrique de raison 1,027 de terme
n
Le nombre de femmes salariées augmente chaque
initial C = 12 000 .
0
Pour tout entier n , C = 1,027n × 12 000 . année de 5 %, le nombre de femmes salariées est mul-
n
C = 1,02710 × 12 000 . Soit C ≈ 15 663 € . tiplié chaque année par 1,05 donc, la suite ( Fn ) est géo-
10 10
b. C (cid:3) 0 et 1,027 (cid:3) 1 , donc la suite ( C ) est croissante métrique de raison 1,05 avec F0 = 600 .
0 n Ainsi pour tout entier n , F = 1,05n × 600 .
et lim C = +∞ . n
n
n→+∞ b. Le nombre de femmes dépasse le nombre d’hommes,
c. À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on lorsque F (cid:3) 1 000 .
trouve n (cid:5) 27. 1,05n × 60n0 (cid:3) 1 000 ⇔ 1,05n (cid:3) 1000 ⇔ 1,05n (cid:3) 5 .
600 3
On note F le nombre de femmes salariées après n À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, on
n
années. F = 0,30 × 2 000 = 600 . trouve n (cid:5) 11.
0
3. Étudier une suite arithmético-géométrique
(p. 19)
EExxeerrcciicceess dd’’aapppplliiccaattiioonn
En reprenant le même raisonnement, on trouve : rembourse 68 €, donc le capital restant dû au début du
1 a. u = 2 944 et u = 2 887,216 . 1er mois après l’achat est :
1 2
b. Pour tout entier n, u = 1,014u − 98 . u = 4 300 + 68,8 – 68 = 4 300,8 .
n+1 n 1
2 a. Pour tout entier n , v = 1,014u − 7 098 = 1,014 v u = 4 300,8 + 4 300,8 × 0,016 − 68 = 4 301,6128 .
n+1 n n 2
et v = 3 000 − 7 000 = −4 000 . b. Pour tout entier n , u =u + 0,016 u − 68
0 n + 1 n n
D’où u = 7 000 − 4 000 × 1,014n . = 1,016 u − 68 .
n n
b. Pour n = 40 le capital est encore positif. Au début du On pose la suite auxiliaire v = u − 4 250 , pour tout
n n
40e mois le capital serait négatif et égal à −73, 2 donc le entier n , alors : v = u − 4 250 .
n + 1 n + 1
41e versement sera de 98 − 73,2 = 24,8 € . v = 1,016 u − 68 − 4 250 = 1,016 u − 4 318 .
n + 1 n n
4318
a. On note u le montant restant dû en début du On met 1,016 en facteur en remarquant que = 4 250 .
n 1,016
n-ième mois. u = 4 300 .
0 D’où pour tout entier n , v = 1,016 × ( u – 4 250 )
Le taux mensuel étant de 1,6 % , un mois après l’achat, n + 1 n
= 1,016 × v .
les intérêts sont de 4 300 × 0,016 = 68,8 , puis Corinne n
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 3
Donc, par défi nition, la suite ( v ) est géométrique, de Puisque 1,016 (cid:3) 1 et 50 (cid:3) 0 , la suite ( v ) est croissante,
n n
raison q = 1,016 et de terme initial : donc la suite ( u ) ayant même variation que la suite
n
v = 4 300 − 4 250 = 50 . ( v ) est aussi croissante.
0 n
Ainsi, pour tout entier n , v = v × qn = 50 × 1,016n Ce qui signifi e que le montant restant dû ne cesse de
n 0
et u = v + 4 250 = 50 × 1,016n + 4 250 . croitre, donc que le prêt ne sera jamais remboursé.
n n
QQCCMM (p. 21)
c. Le 1er entier pair est 0 et la diff érence entre deux b. La quantité vendue au mois n augmente de 26 % ;
entiers pairs consécutifs est 2. donc CM = 1,26 .
q
q = 1 000 × 1,26 n .
a. Myriam dépense 9 fois 250 €. Donc fi n septembre, n
Le prix unitaire au mois n diminue de 21 % ;
il lui reste 3 500 − 9 × 250 = 1 250 € .
donc CM  = 0,79 .
p
c. La suite ( p ) est modélisée par une suite géomé- p = 10 × 0,79 n .
n n
11,35 Donc au bout de n mois, la vente est :
trique de raison 1+ =1,01135 et de terme initial
p = 6 990 . 1000 Vn = p n × q n = 10 × 0,79 n × 1 000 × 1,26 n .
0
Donc p = 6 990 × 1,01135 n et p ≈ 7 913 . Donc V n = 10 000 × ( 0,79 × 1,26 ) n ,
n 11
soit V = 10 000 × 0,9954 n .
n
b. Pour tout entier n : Comme 0 (cid:2) 0,9954 (cid:2) 1 et 10 000 (cid:3) 0, la suite ( V ) est
u = u − 0,3 u + 0,5 × 0,3 u = 0,85 u . n
n + 1 n n n n décroissante.
La raison de la suite géométrique est 0,85 .
c. La valeur de la moto suit une suite géométrique
b. Comme 64 = 26 , la somme
de raison q = 0,9 .
S = 1+ 1+ 1 +…+ 1 contient 7 termes. Comme 0 (cid:2) 0,9 (cid:2) 1 , alors lim 0,9n = 0 .
2 4 64 n→+∞
(1)7 a. Pour tout entier n non nul, la probabilité de
1−
2 ( 1 ) 1 gagner n parties consécutives est 0,8 n .
D’où S = 1 =2 1−128 =2− 64 . À la calculatrice, 0,8 20 ≈ 0,011 (cid:3) 0,01
1− 2 et 0,8 21 ≈ 0,009 (cid:2) 0,01 .
1,984 est une valeur arrondie, pas une valeur exacte.
c. Pour tout entier n :
a. Fin juin, le nombre de bougies stockées est : 5
u =u + u +4000=1,05u +4000 .
S = 540 + 540 × 1,1 + … + 540 × 1,15 n+1 n 100 n n
= 540 × ( 1 + 1,1 + 1,12 + … + 1,15 )
1−1,16
= 540 × ≈ 4 166 .
1−1,1
1 Suites arithmétique ou géométrique
(p. 22)
QCM 3 b. u ≈ 23 906 ; u ≈ 24 336 .
10 11
1 a. L’accroissement moyen de u = 12 à u = 48 est : 4 a. u 8 − u 0 = 23 068,12 − 20 000 ≈ 3 068,12 .
1 3
u −u 48−12
a = 3 1 = =18 . Nature d’une suite
3−1 2
2 c. v = 2n + 5 est l’expression d’une suite arithmé- Suite arithmétique géométrique
n
tique : v n = v 0 + n × a , avec a = 2 . Réponse a. e. b. c. d.
3 a. La raison de la suite géométrique est :
a. a = 2 ; 1 1
16,7 Raison b. q =  ; c. q = 1,1 ; d. q =
CM= ≈ 1,0915 . e. a = −100 2 3
15,3
QCM
Calcul du n-ième terme
1 c. u = u + 6 .
n + 1 n
1 Le taux de croissance annuel est de 9 % , donc le PIB
2 b. u = 1,03n + 2 × 176 .
n de la chine est multiplié par 1,09. Soit u le PIB à l’année n,
n
QCM la suite ( u ) est géométrique de raison 1,09 et de terme
n
1,8 initial u = 5 000 .
1 c. CM = 1 + t = 1 + = 1,018 . 0
100 Pour tout entier n , u = 5 000 × 1,09n .
n
2 b. u = 20 000 × 1,018 8 ≈ 23 068,12 . Pour n = 6 , u ≈ 8385,5 milliards.
8 6
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 4
2 U = 5 000 ; N = 6 . Donc le 8e mois, la production est :
3 a. Ajouter Entrer T , puis changer Stocker U + 0,09U 900 × 1,12 8 ≈ 2 228 kg .
dans U par Stocker U + (T/100)*U dans U . 2 On calcule la somme du stock et des productions du
b. Pour 2015, U ← 200 et N ← 7. 1er au 8e mois :
On obtient environ 3 007,26 millions de dollars. 900 + 900 × 1,12 + 900 × 1,12 2 + … + 900 × 1,12 8
= 900 × ( 1 + 1,12 + 1,12 2 + … + 1,12 8 )
Calcul du terme initial
1−1,129
= 900 × ≈ 13 298 (cid:3) 10 000 .
On note p la production de départ. 1−1,12
0
224 L’entreprise pourra honorer sa commande en huit mois.
p × 1,2 6 = 224 . Donc p = ≈ 75 tonnes .
0 0 1,26
Somme de rebonds
Calcul de la valeur actuelle
1 À chaque rebond, la hauteur maximale atteinte par
On place un capital C à intérêts composés au taux
0 la balle diminue de 20 % , donc elle est multipliée par
annuel de 4,5 % le 2 janvier 2012.
0,8. Soit h la hauteur maximale atteinte par la balle au
Le capital augmente de 4,5 % par an donc, il est multi- n
rebond n,
plié par 1,045 chaque année. La suite ( C ) est géomé-
n – au premier rebond, h = 0,8 ;
trique de raison 1,045 et de terme initial C . 1
0 – au deuxième rebond, h = 0,64 .
C =C (1,045)n . 2
n 0 2 a. La suite ( h ) est géométrique de raison 0,8 et de
n
( 4,5)5 terme initial h = 1 .
Au bout de 5 ans, C 1+ = 4000 . 0
0 100 Pour tout entier n , h = 0,8n .
n
4000 On résout h < 0,06 à l’aide du tableau de valeurs de la
C = n
0 (1,045)5 calculatrice, on obtient n (cid:4) 13 .
soit un capital initial d’environ 3 209,80 euros. b. La distance parcourue par la balle au n-ième rebond
est égale à 2 h . La distance totale parcourue jusqu’au
n
Augmentation constante et stockage dixième rebond est :
110  bao. îtLeas eptr oodn usctoticokne laau pgrmodeuncteti ocnh aauq ufuer este mà maineseu rdee. D = h0 + 2 h1 + 2 h2 + … + 2 h9 = 2 ⎛⎝⎜h0×11–−00,,8810  ⎞⎠⎟ − h0
= 10 ( 1 – 0,810 ) − 1
Soit P la production à la semaine n, la suite ( P ) est
n n D ≈ 7,926 m .
arithmétique de raison a = 10 .
Le terme initial est P = 50 .
1 Calculs techniques
Pour tout entier n, P = 50 + 10 (n − 1) = 10 n + 40 .
n 1,121 −1 
P = 90 . a. S =1+1,1+1,12 +…+1,120 =
b5. On résout P (cid:3) 200 ⇔ 10 n + 40 . (cid:3) 200 ⇔ n (cid:3) 16 . 1 1,1−1
n S ≈64,002 .
2 a. Casio TI™ 1
1−0,9813
b. S = 1 + 0,98 + 0,982 + … + 0,9812 =
2
1−0,98 
S ≈11,549 .
2
1,038 −1
c. S = 1,03 + 1,032 + … + 1,037 = 1,03 ×
3
1,03−1 
S ≈ 7,892 .
3

b. S = 50 + ( 50 + 10 ) + ( 50 + 20 ) + ( 50 + 30 ) + ( 50 + 40 ) Encore des sommes
= 350 boîtes .
a. S =2+2×0,8+2×0,82 +…+2×0,845
1
Empilement = 2× 1−0,846 = 10(1 − 0,846 ) .
1−0,8 
Pour tout entier n non nul, le niveau n contient n pierres.
S ≈10 .
Donc le nombre total de pierres jusqu’au niveau n est : 1
b. S = 100 + 100 × 1,01 + 100 × 1,012 + … + 100 × 1,0112
1 + 2 + 3 + … + n . 2
On remarque que, au niveau 3, on a deux fois ( 1 + 2 + 3 ) = 100 × 1,0113 −1  = 10 000(1,0113 − 1 ) .
représentés par un rectangle de côtés 3 et 4 : 1,01−1 
2 × ( 1 + 2 + 3 ) = 3 × ( 3 + 1 ) . S2 ≈1381 .
1
De même, au niveau n :
2 × ( 1 + 2 + … + n ) = n ( n + 1 ) . 2 En fonction de n
n(n+1) 3 a. S =1+1,5+1,52 +…+1,5n−1
D’où : 1 + 2 + … + n = . 1
2 1,5n −1 
= = 2(1,5n −1) .

1,5−1
Stockage d’une production
b. S =3+3×0,9+3×0,92 +…+3×0,9n
2
1 Une augmentation de 12 % se traduit par une suite 1−0,9n+1
géométrique de raison 1,12 . = 3×    = 30 ( 1−0,9n+1 ) .
1−0,9 
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 5
Somme de salaires Comparaison de suites
1 Pour tout entier n, on note S le salaire mensuel 1 a. Les deux suites ( V ) et ( A ) modélisent les
n n n
d’Alice l’année 2012 + n. consommations annuelles de vin en France en 1970 + n .
À chaque 1er janvier, à partir de 2013 pour 10 ans, son La consommation de vins courants a diminué de 4 %
salaire mensuel augmente de 3 %. Il est donc multiplié donc, elle est multipliée par 0,96 chaque année. La suite
par 1,03, donc la suite ( S ) est géométrique de raison ( V ) est une suite géométrique de raison 0,96 et de
n n
1,03 et de terme initial S = 1 500 . terme initial V = 95 . Pour tout entier n , V = 95 × 0,96n .
0 0 n
Pour tout entier n, S = 1 500 × 1,03n . Celle de vins AOC a augmenté de 4 % donc, elle est mul-
n
2 a. Le salaire mensuel d’Alice en 2013 est S = 1 545 € . tipliée par 1,04 chaque année.
1
Le salaire mensuel d’Alice en 2014 est S = 1 591,35 € . La suite ( A ) est une suite géométrique de raison 1,04 et
2 n
b. Le salaire total en 2012 est : 12 × 1 500 = 18 000 € ; de terme initial A = 8 . Pour tout entier n, A = 8 × 1,04n .
0 n
en 2013 : 12 × 1 545 = 18 540 € ; b. En 1990, n = 20 . V ≈ 42 L et A = 17,5 L .
20 20
en 2014 : 12 × 1 597,35 = 19 096,20 €. 95
2 a. R = = 11, 875 et pour tout entier n,
3 a. On résout 1 500 × 1,03n (cid:3) 2 000 à l’aide du 0 8
tableau de valeurs de la calculatrice, on obtient n (cid:4) 10 ; 95×0,96n (12)n
R = =11,875× .
donc p = 10 . n 8×1,04n   13
b. Le salaire total perçu par Alice depuis le 1er janvier La suite ( R ) est une suite géométrique de raison 12 et
n
2012 jusqu’au 1er janvier 2012 + p exclu est égal à : de terme initial R = 11,875 . 13
0
S = 12 × S0 + 12 × S1 + 12 × S2 + … + 12 × S9 b. En 2010, n = 40 , R40 ≈ 0,483 .
1,0310 −1 3 On résout Vn (cid:2) An ⇔ 95 × 0,96n ⇔ 8 × 1,04n ⇔ Rn (cid:2) 1 .
= 12 × 1 500 × S ≈ 206 350 € . On trouve n (cid:4) 31 , soit p = 31 .
1,03−1 
Suite et calcul formel
1 a. La suite ( u ) est géométrique de raison 1,05 et de
La légende du jeu d’échec n
terme initial 100.
Sur la première case du jeu, on dépose un grain de riz,
b. Somme des 11 premiers termes u + u + … + u .
0 1 10
puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite en 1,05p+1−1
doublant chaque fois le nombre de grains. c. u0 + u1 + … + up = 100 × 1,05−1  =2000(1,05p+1−1)
1 Le nombre de grains de riz que l’empereur s’engage
= 2 000 × 1,05 p+1 − 2 000
à donner à Sissa est égal
= 2 000 × 1,05 × 1,05 p − 2 000
1 + 2 + 22 + 23 + … + 263 = 264 −1  =264 −1 = 2 100 × 1,05 p − 2 000 .
2−1  2 V = u + u + … + u = 2 000 × 1,0512 − 2 000
0 1 11
soit environ 18 × 1018 grains , c’est-à-dire dix-huit milliards soit V ≈ 1 592 tonnes .
de milliards !
L’œil d’Horus ou l’Oudjat
2 1 kg correspond à 3 000 grains donc, 18 × 1018 grains
1 1 1 1 1 1 1 (1)2 (1)6
18×1018 + + + + + = + +…+
pèsent  ≈ 6×1015 kg
2 4 8 16 32 64 2 2 2
3 000
(1)6
ou encore : 6 × 1012 tonnes, ce qui représente plus de 1−
1 2 (1)6 (1)6
10 000 fois la production mondiale annuelle de riz. = × = 1− . La partie manquante est .
2 1 2 2
2
2 Sens de variation et limite
Vrai ou faux ? 2 Vrai : La fonction x (cid:2) 3 x 2 − 2 x + 1 est croissante sur
l’intervalle [ 1 ; + ∞ [ ; v = 1 et v = 2 donc la suite ( v )
1 Vrai : un + 1 − un = n+12 − n1+1 = (n+1−)(1n+2) (cid:2) 0 . est monotone. 0 1 n
3 Vrai : La fonction f défi nie sur [ 0 ; + ∞ [ par
La diff érence entre 2 termes consécutifs est négative : la
2x +1 3
suite ( u ) est strictement décroissante. f ( x ) = a pour dérivée f’ ( x ) = .
n x +2 (x +2)2
Autre méthode :
1 Donc f est strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [ .
Pour tout entier n , un = f ( n ) avec f ( x ) = x +1 sur [ 0 ; + ∞ [. Comme n (cid:2) n + 1 , alors f ( n ) (cid:2) f ( n + 1 ) c’est-à-dire
−1 w (cid:2) w : la suite ( w ) est strictement croissante.
Comme f’ ( x ) = , strictement négatif, la fonction n n + 1 n
(x +1)2
f est strictement décroissante sur [ 0 ; + ∞ [ .
Comme n (cid:2) n + 1 , alors f ( n ) (cid:3) f ( n + 1 ) , c’est-à-dire QCM
1
u  (cid:3) u  : la suite ( u ) est strictement décroissante. 1 c. +∞ . 2 a. 0 . 3 a. =1,25 .
n n + 1 n 0,8
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 6
Vrai ou Faux ? Vic
(1)n a. Vic investit son capital dans une entreprise ce qui lui
1 Faux. Exemple u = 1 − .
n 2 permet d’augmenter son capital de 20 % par an, mais
2 Faux. Exemple u = −2 n . il paye 30 % de taxes sur les intérêts acquis et utilise
n
14 % de son capital par an.
On a donc pour tout entier n,
Étude des variations d’une suite
V = 1,2 V − 0,3 × 0,2 V – 0,14 V = V .
1 a. un = 0,1×1,2n : 0,1 (cid:3) 0 et 1,2 (cid:3) 1 , donc la suite bn. +L 1a suite (n V ) est constannte égalen à Vn = 240 000 = V .
n 0 5
( u ) est croissante.
n c. lim V =240000 .
n
b. u = n2 +2n−1 . f(x)= x2 +2x −1 , la fonction f n→+∞
n
est une fonction trinôme du second degré, elle est Walid
croissante sur l’intervalle [ −1 ; + ∞ [ , donc la suite ( u ) a. Walid réalise un investissement industriel : son capi-
n
est croissante. tal augmente ainsi de 15 % par an, mais il doit payer
1
2 a. u =  : Pour tout entier n , 10 % du capital en assurance et céder 40 % des intérêts
n
2n+3 acquis en taxes.
1 1 −2 Pour tout entier n ,
u − u = − =  .
n + 1 n 2n+5 2n+3 (2n+3)(2n+5) W = 1,15 W − 0,1 W − 0,4 × 0,15 W = 0,99 W ,
n + 1 n n n n
Pour tout entier n , u − u (cid:2) 0 , donc la suite ( u ) est la suite est géométrique de raison 0,99 et de terme ini-
n + 1 n n
décroissante. tial 240 000.
3n Pour tout entier n , W = 240 000 × 0,99n .
b. un = n+1 . Pour tout entier n , 0 (cid:2) 0,99 (cid:2) 1 et 240 0n0 0 (cid:3) 0 , donc la suite est décrois-
3n+3 3n 3 sante.
un + 1 − un = n+2 − n+1= (n+1)(n+2) . b. W5 = 240 000 × 0,995 soit W5 ≈ 228 237,6 € .
Pour tout entier n , u − u (cid:3) 0 , donc la suite ( u ) est c. lim Wn = 0 .
n + 1 n n n→+∞
croissante. 2
Limite de q n
1 a. + ∞ ; b. 0 ; c. + ∞ .
2 A est très grand ; B est proche de 1 ; C est proche de 0 ;
D est proche de 1 ; E est très grand ; F est proche de 1.
Limite d’une suite géométrique
a. 0,8 ∈ ] 0 ; 1 [ . Donc lim 0,8n = 0 .
n→+∞
En multipliant par 1 500, on obtient que
lim 1500×0,8n = 0 . Loyer en augmentation
n→+∞
b. 2,3 (cid:3) 1 . Donc lim 2,3n = +∞ . 1 a. u = u + 0,02 u = 1,02 u .
n + 1 n n n
n→+∞
Donc le loyer suit une suite géométrique de raison 1,02.
En multipliant par 5 000, on obtient que
Pour tout entier n , u = 450 × 1,02 n .
lim 5000×2,3n = +∞ . n
b. q = 1,02 (cid:3) 1 et 450 (cid:3) 0 , donc ( u ) est croissante.
n→+∞ n
c. 1,12 (cid:3) 1 . Donc lim 1,12n = +∞ . Comme lim 1,02n = +∞ , en multipliant par 450 :
n→+∞ n→+∞
lim 3×1,12n = +∞ . lim 450×1,02n = +∞ .
n→+∞ n→+∞
2 Donc le loyer mensuel
Croissance ou décroissance ? dépassera 500 € au bout
de six années
Ugo
d’augmentation.
a. Le capital de base est de 240 000 € .
Ugo place son capital à intérêts composés au taux
annuel de 5 %, mais il doit payer une taxe de 2 % du
capital et en retire chaque année 2 % . 3 Le montant total des loyers versés en cinq ans est :
On a donc pour tout entier n, U = 1,05 U − 2 × 0,02 U S = 12 × 450 + 12 × 450 × 1,02 + … + 12 × 450 × 1,02 4
n + 1 n n
= 1,01 U . = 12 × 450 × ( 1 + 1,02 + 1,022 + 1,02 3 + 1,02 4 )
n
La suite ( U ) est géométrique de raison 1,01 et de terme 1 − 1,025
n = 5 400 × ≈ 28 100
initial U = 240 000. 1 − 1,02
0
Pour tout entier n , U = 240 000 × 1,01n soit 28 100 € au total sur
n
1,01 (cid:3) 1 et 240 000 (cid:3) 0 , donc la suite est croissante. 5 ans.
b. U = 240 000 × 1,015 soit U ≈ 252 242,41 € . On peut vérifi er à l’aide
5 5
c. lim U = +∞ . des listes sur la calculatrice.
n
n→+∞
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 7
Déterminer un seuil Le fabricant baisse le prix de 10 % et espère augmenter
les ventes de 11 % donc, le chiff re d’aff aires est égal, en
1 Soit la suite ( u ) géométrique de terme initial
n euros, à C = 1, 11 × 0,90 × 36 000 = 35 964 .
u =100 et de raison q = 1,1 . 1
0 2 a. Pour tout entier n , C = 1, 11 × 0,90 C = 0,999 C .
Pour tout entier n , u = 100 × 1,1n . n + 1 n n
n La suite ( C ) est une suite géométrique de raison 0,999
2 1,1 (cid:3) 1 et 100 (cid:3) 0 , la suite est croissante et n
et de terme initial C = 2 400 × 15 = 36 000 .
lim u = +∞ . 0
n Pour tout entier n , C = 36 000 × 0,999n .
n→+∞ n
3 a. Le rang p tel que u (cid:3) 500 existe, car lim u = +∞ . 0 (cid:2) 0,999 (cid:2) 1 et 36 000 (cid:3) 0 , donc la suite est décrois-
p n
Dès que u (cid:3) 500 , la suite ( u ) étant crno→is+s∞ante, on a sante et lim Cn = 0 .
p n n→+∞
pour tout entier n tel que n (cid:3) p , u (cid:3) u (cid:3) 500 . Donc le fabricant ferait mieux d’abandonner son idée.
n p
b. On cherche, à l’aide de la calculatrice, l’entier n à 1−0,9995
b. C + C + C + C + C = 36 000 ×
partir duquel u (cid:3) 500 . On trouve n (cid:4) 17 , donc p = 17 . 0 1 2 3 4 1−0,999
n
Reprendre les programmes de la p. 20 en entrant 100 = 179 640,3598 .
dans U initialement.
Dépréciation d’une machine
Entrer Q et A
Mettre N à 0 et U à 100 1 a À partir de 2010, la baisse annuelle de la valeur de
Tant que U > A la machine est de 15 %, elle est donc multipliée par 0,85.
ajouter 1 à N et calculer On note v la valeur estimée de la machine au bout de
n
le terme U suivant n années de fonctionnement à partir de 2010. Pour tout
Fin de Tant que
entier n, v = 0,85 v . La suite est géométrique de
n + 1 n
Afficher l’entier seuil
raison 0,85 et de terme initial v = 220 000 .
0
b. Pour tout entier n , v = 220 000 × 0,85n .
Entrer 1,1 en Q et 500 en A n
c. En 2015, n = 5 , v ≈ 97 615 € .
5
2 220 000 (cid:3) 0 et 0 (cid:2) 0,85 (cid:2) 1 , donc la suite ( v ) est
n
Marché en valeurs à long terme
décroissante.
1 En 2009, en France, il s’est vendu 7,5 millions de télé- lim v = 0 .
n
n→+∞
viseurs au prix moyen unitaire de 500 €, donc le marché
La machine perd de sa valeur au cours du temps et se
en valeurs est égal à 500 × 7,5 = 375 millions d’euros.
rapproche de 0.
Entre 2009 et 2010, le prix des téléviseurs a chuté de
3 À l’aide de la calculatrice, on résout :
15 % et le volume de ventes a augmenté de 13 % donc, 220 000 × 0,85n (cid:2) 50 000 . On trouve n (cid:4) 10 .
le marché en valeurs est égal à 500 × 0,85 × 1,13 × 7,5
soit 3 601,875 millions d’euros.
Injection de médicament
2 a. Le prix des téléviseurs chute de 15 % par an donc,
Le volume de médicament contenu dans le corps dimi-
il est multiplié par 0,85.
nue de 8 % par heure.
Pour tout entier n , u = 0,85 u la suite est géomé-
n + 1 n 1 Au bout d’une heure, 2 × 0,92 = 1, 84 cm3 .
trique de raison 0,85 et de terme initial u = 500 .
Pour tout entier n , u = 500 × 0,85n . 0 Au bout de deux heures, 1,84 × 0,92 ≈ 1,693 cm3 .
n
2 a. Pour tout entier n , on note v le volume de médi-
Le volume de ventes augmente de 13 % par an donc, n
cament présent dans le sang du malade au bout de n
il est multiplié par 1,13. Pour tout entier n ,
heures. Ce volume diminue de 8 % chaque heure donc,
v = 1,13 v  ; la suite est géométrique de raison 1,13 et
n + 1 n
il est multiplié par 0,92.
de terme initial v = 7,5 .
0
Pour tout entier n, v = 7,5 × 1,13n . Pour tout entier n , vn + 1 = 0,92 vn . La suite est géomé-
n
b. Pour tout entier n, w = u × v = 500 × 0,85n × 7,5 × 1,13n trique de raison 0,92 et de terme initial v0 = 2 .
= 3 750 × ( 0,85 × 1,13 )nn = 3n 75n0 × 0,9605n . Pour tout entier n , vn = 2 × 0,92n .
b. 2 (cid:3) 0 et 0 (cid:2) 0,92 (cid:2) 1 , donc la suite est décroissante
La suite ( w ) est géométrique de raison 0,9605 et de
n
et de limite nulle. Le volume de médicament contenu
terme initial 3 750.
c. 0 (cid:2) 0,9605 (cid:2) 1 et 3 750 (cid:3) 0 , donc la suite est dans le corps disparait à long terme.
3 On cherche l’entier n à partir duquel v (cid:2) 1 , à l’aide
décroissante et lim w = 0 . n
n→+∞ n de la calculatrice, on trouve n (cid:4) 9 .
3 Pour l’ Allemagne, pour tout entier n , Pour v (cid:6) 0,5 , on trouve n (cid:4) 17 .
n
An + 1 = 0,95 × 1,13 An = 1, 0735 An . Pour vn (cid:6) 0,001 , on trouve n (cid:4) 92 .
La suite est géométrique de raison 1,0735 .
1,0735 (cid:3) 1 et A (cid:3) 0 , donc la suite est croissante et Entrer Q et A Reprendre les
0
lim A = +∞ . Mettre N à 0 et U à 2 programmes de la page
0
n→+∞ Tant que U > A 20 en entrant 2 dans U
ajouter 1 à N et calculer initialement.
Chiffre d’affaires
le terme U suivant Entrer 0,92 en Q puis pour
1 Avant la promotion le chiff re d’aff aires est égal, en Fin de Tant que chacun des programmes,
euros, à C = 2 400 × 15 = 36 000 . Afficher l’entier seuil dans A : 1 ; 0,5 ; 0,001
0
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 8
3 Suite arithmético-géométrique
QCM Calcul de premiers termes
3
1 b. u =u + u +100 1 a. On note C le capi-
n+1 n 100 n n
tal d’Arthur au bout de n
=1,03un +100 . années de placement et
2 c. u = 1 263,90 .
2 retrait.
3 a. (voir ci-contre).
Arthur trouve un place-

ment au taux de 6 %.
Mais il doit payer 27 % des intérêts acquis en impôts et
Modélisation correcte ou non ? retire chaque année 9 000 €. Le capital est donc multi-
plié par 1,06 puis augmenté de 9 000.
a. correcte.
C = 200 000 .
b. incorrecte : 0
C = 1,06 C − 0,27 × 0,06 × C − 9 000
u = 1, 05 u − 0,02 u − 50 = 1,03 u − 50 . 1 0 0
n + 1 n n n
= 1,0438 × C − 9 000 .
0
b. C = 199 760 ; C = 199 509,488 ; C = 199 248,0036 ;
1 2 3
Trouver une formule de récurrence
C = 198 975,0661
4
a. u = 10 000 . Pour tout entier n :
0
5
u =u + u −2000+300 = 1,05 u − 1 700 .
n+1 n 100 n n
u = 1,05 × u − 1 700 = 1,05 × 10 000 − 1 700 = 8 800 . 2 Soit k la somme retirée, C1 = 1,0438 × 200 000 − k
1 0
u = 1,05 × u − 1 700 = 1,05 × 8 800 − 1 700 = 7 540 . = 200 000 ⇔ k = 8 750 .
2 1
De même, u = 6 217 et u ≈ 4 828 .
3 4
b. u = 5 000 . Pour tout entier n : Suite auxiliaire géométrique
0
3 a. u = 10 et pour tout entier n :
u =u + u −500=1,03u −500 . 0
n+1 n 100 n n u =2u −1 et v =u −1 .
n+1 n n n
u = 1,03 × u − 500 = 1,03 × 5 000 − 500 = 4 650 . v =u −1=2u −1−1 = 2(u −1)=2v
1 0 n+1 n+1 n n n
u = 1,03 × u − 500 = 1,03 × 4 650 − 500 = 4 289,50 . la suite ( v ) est géométrique de raison q = 2 .
2 1 n
De même, u ≈ 3 918,19 et u ≈ 3 535,73 . b. u = 500 et pour tout entier n :
3 4 0
c. u = 60 . Pour tout entier n : u = 0,95u +100 et v =u −2000 .
0 n+1 n n n
un+1 =un −1030un −11050un +4,3 = 0,82 u n + 4,3 . vn+1 ==u0n,9+15−u2−001090=00=,905,u9n5(+u10−02−020000)0
n n
u 1 = 0,82 × u 0 + 4,3 = 0,82 × 60 + 4,3 = 53,5 . vn+1 = 0,95vn .
u 2 = 0,82 × u 1 + 4,3 = 0,82 × 53,5 + 4,3 = 48,17 . La suite ( vn ) est géométrique de raison q = 0,95 .
De même, u ≈ 43,799 et u ≈ 40,216 .
3 4
Étude d’une clientèle
Calcul de premiers termes avec tableur 1 a. u = 8 000 × 0,7 + 3 000 = 8 600 ;
2
1 a. Soit la surface S envahie par les mauvaises u = 8 600 × 0,7 + 3 000 = 9 020 .
n 3
herbes le mois n. Elle augmente de 50 % et s’agrandit b. u est le nombre de clients au cours du n-ième mois.
n
de 140 m2 donc, pour Le mois suivant, il y a alors 0,7 × u de clients fi dèles
n
tout entier n, et 3 000 nouveaux clients. Donc u = 0,7 u + 3 000 .
n + 1 n
S = S + 0,5 S + 140 Or u − u = 600 et u − u = 420 : la suite ( u ) n’est donc
n + 1 n n 2 1 3 2 n
b. Pour tout entier n , pas arithmétique.
u u
Sn + 1 = 1,5 Sn + 140 2 =1,075 et 3 ≈ 1,049 : la suite ( u ) n’est pas géo-
n
S = 6 000 × 0,10 = 600 . u u
0 1 2
c. Voir tableau ci-contre. métrique.
2 a. 2 a. Pour tout entier n :
v = 10 000 − u = 10 000 − ( 0,7 u + 3 000 )
n + 1 n + 1 n
= 7 000 − 0,7 u = 0,7 ( 10 000 − u ) .
n n
b. À chaque mois de Donc v = 0,7 v . La suite ( v ) est donc géométrique
n + 1 n n
traitement, la surface de raison 0,7 et de terme initial v = 10 000 − u = 2 000 .
1 1
envahie, à ce mois, Donc pour tout entier n (cid:4) 1 , v = 2 000 × 0,7 n−1 .
n
par les mauvaises b. Comme v = 10 000 − u , on a :
n n
herbes diminuent de u = 10 000 − v = 10 000 − 2 000 × 0,7 n−1 .
n n
30 % donc est multi- 3 u = 10 000 − 2 000 × 0,712−1 ≈ 9 960 .
12
pliée par 0,7. Selon ce modèle, il y aura 9 960 clients le 12e mois de
S’ = 4 460 × 0,7 = 3 122 m2 . l’enquête.
4
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La photocopie non autorisée est un délit. CHAPITRE 1 Suites 9