Mathématiques Terminale, série S

96 Pages·2016·11.642 MB·French

by  Rue des écoles

Réviser son bac
avec
Mathématiques

Terminale, série S
Une réalisation de
Avec la collaboration de : s.
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Thomas Camara er
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Alain Larroche ent i
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Daniel Pompon ct
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Jean-Marc Ravier on
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En partenariat avec es
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AVANT-PROPOS
L’ouvrage que vous avez entre les mains a pour objectif de vous aider dans la préparation
de l’épreuve de mathématiques au baccalauréat scientifique. Son intérêt réside d’abord
dans la manière dont il reprend, point par point, les différents thèmes du programme de
terminale S, en synthétisant – dans la partie « L’essentiel du cours » – les connaissances
que vous devez maîtriser, mais aussi en listant dans les colonnes, les notions incontour-
nables et les mots-clés dont vous devez connaître la définition précise.
Plusieurs exercices tirés des sujets récemment tombés au bac accompagnent chaque
thème. Ils sont assortis de conseils de méthode pour les traiter ; tous sont corrigés en fin
de volume.
Enfin, véritable originalité de l’ouvrage, des articles tirés du journal Le Monde viennent
mettre en perspective chaque point du programme et vous offrent la possibilité
d’enrichir votre culture mathématique et scientifique. Très accessibles, accompagnés
d’un commentaire pédagogique vous permettant de bien comprendre les enjeux, ils
sont signés notamment par des mathématiciens chevronnés tels Étienne Ghys, Cédric
Villani, Pierre Cartier ou encore Jean-Michel Kantor. De quoi aborder l’examen en toute
confiance, mais aussi préparer votre éventuelle entrée dans l’enseignement supérieur.
Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet
ouvrage, contribué à votre succès.
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Les auteurs dit
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Message à destination des auteurs des textes figurant dans cet ouvrage ou de leurs  strict
ayants-droit : si malgré nos efforts, nous n’avons pas été en mesure de vous contacter  n
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afin de formaliser la cession des droits d’exploitation de votre œuvre, nous vous invitons  ati
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à bien vouloir nous contacter à l’adresse [email protected]. u
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pour préparer l'examen. e
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L’ESSESNOTMIEML ADIUR ECOURS
ANALYSE p. 5
Chapitre 01 – Suites p. 6
Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs
intermédiaires p. 10
Chapitre 03 – Dérivation p. 14
Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus p. 18
Chapitre 05 – Fonction exponentielle p. 22
Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien p. 26
Chapitre 07 – Intégration p. 30
GÉOMÉTRIE P. 33
Chapitre 08 – Nombres complexes p. 34
Chapitre 09 – G éométrie dans l’espace p. 38
PROBABILITÉS ET STATISTIQUES p. 43
Chapitre 10 – P robabilités conditionnelles p. 44
Chapitre 11 – Lois à densité p. 50
Chapitre 12 – Échantillonnage p. 56
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ALGORITHMIQUE/LOGIQUE p. 59 nter
Chapitre 13 – Algorithmique/Éléments du raisonnement mathématique p. 60 nt i
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CORRIGÉS DES EXERCICES p. 65 stri
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CULTURE SCIENTIFIQUE : MATHÉMATICIENS CONTEMPORAINS EMBLÉMATIQUES p. 83 ni
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GUIDE PRATIQUE p. 93 c
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analyse
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y π y erdit
21 Cf nt int
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–π 0 π π e
a x 2 2 ct
Cf 0 ––π21 Slau fro ln’icntitoernv caollsei n[0u s; π] 0 a b x ation stri
x = a –π est décroissante. x = a x = b munic
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L’ESSENTIEL DU COURS
MOTS CLÉS Suites
SUITE
• Une suite est une fonction définie
sur l’ensemble ℕ ou sur une partie Un couple de lapins, né le 1er janvier, donne naissance à un
de ℕ.
autre couple de lapins, chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge
• L’image du naturel n par la suite u
se note u(n) ou plus souvent u. de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de
n
TERME GÉNÉRAL reproduction. Combien y aura-t-il de couples de lapins le 1er janvier
L’image d’un entier naturel n par
de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu ?
la suite u se note u et s’appelle le
n
terme général de la suite ou terme
Pour résoudre ce problème, le mathématicien italien Fibonacci
de rang n.
(dit aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite.
SUITE CROISSANTE
Soit u une suite : Ainsi, si on note u le nombre de couples de lapins au cours du
n
• la suite u est croissante si et seule- mois (avec u = 1), la suite (u) vérifie la relation de récurrence
ment si pour tout entier naturel n, 1 n
u = u + u. On peut alors exprimer u en fonction de n et
u ⩽ u ;
n n+1 n+2 n+1 n n
• la suite  u est strictement crois- prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois.
sante si et seulement si, pour tout
entier naturel n, u < u .
n n+1
SUITE DÉCROISSANTE Quand utiliser un raisonnement par Le terme général d’une suite géométrique est :
Soit u une suite : récurrence et comment le rédiger ?
u =u ×qn.
• la suite u est décroissante si et n 0
On peut utiliser un raisonnement par récurrence
seulement si, pour tout entier Enfin, la somme des (n + 1) premiers termes d’une
naturel n, u ⩾ u ; chaque fois qu’une propriété à démontrer dépend
n n+1 suite géométrique (u +u +… +u) de raison q ≠ 1
•s alan stuei stie e ut essetu sltermicetenmt sein, pt oduérc rtooiust- d’un entier naturel n, surtout lorsqu’il semble y avoir est égale à : u × 1–q0n+1. 1 n dites.
entier naturel n, u > u . un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui 0 1–q er
SUITE CONVEnRGEnN+1TE se passe au rang n+1. Pour tout réel q différent de 1, on a : nt int
Si la suite (un) admet comme limite Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre 11++qq++qq22++……++qqnn==11––qqnn++11. me
le réel a, cela signifie que tout inter- 11––qq cte
valle ouvert centré en a contient étapes : Pour démontrer qu’une suite (un) est géométrique, il stri
tous les termes de la suite à partir u n
On commence par énoncer la propriété à démon- faut calculer le rapport n+1. o
d’un certain rang. On dit alors que un cati
la suite (un) converge vers a. trer, en précisant pour quels entiers naturels cette Si on obtient un nombre réel indépendant de n alors la uni
SUITE DIVERGENTE propriété est définie. suite est géométrique, sinon elle n’est pas géométrique. mm
Une suite qui n’est pas convergente o
est divergente. Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie Que faut-il retenir sur les suites et c
Dire qu’une suite est divergente au rang initial (qui est souvent 0 ou 1). arithmétiques ? on
peut signifier : usi
• qu’elle n’a pas de limite, comme Hérédité : on prouve le caractère héréditaire de Une suite est arithmétique quand on passe d’un diff
pour la suite de terme général la propriété. On suppose que la propriété est vraie terme au suivant en ajoutant un même nombre (la n,
o
u = cos n ; cti
n pour un entier naturel n arbitrairement fixé et on raison que l’on note r). u
• que son terme général tend vers d
o
l’infini quand n tend vers l’infini, démontre que la propriété est encore vraie au rang D’où la formule de récurrence donnée pour tout pr
e
comme pour la suite de terme R
général u =n+1. n+1. entier naturel n : un+1 =un +r. 6.
RAISONn D’UNE SUITE On conclut en invoquant le principe de récurrence. Le terme général d’une suite arithmétique est : e, 201
• Dans une suite arithmétique, u =u +nr. d
Que faut-il retenir sur les suites n 0 n
on passe d’un terme au suivant géométriques ? Cas particulier pour tout réel n, on a : Mo
en ajoutant toujours un même e
n(n+1) L
nombre r, appelé raison de la suite Une suite est géométrique quand on passe d’un terme 1 + 2 + … + n= . &
•a rDitahnms éutniqeu seu. ite géométrique, au suivant en multipliant par le même facteur (la Pour démontrer q2u’une suite (un) est arithmétique, il coles
é
on passe toujours d’un terme au raison que l’on note q). faut calculer la différence : un+1 –un. es
suivant en multipliant par un d
même nombre q, appelé raison D’où la formule de récurrence donnée pour tout Si on obtient un nombre réel indépendant de n, alors la ue
de la suite géométrique. entier naturel n : u =q×u. suite est arithmétique, sinon elle n’est pas arithmétique. © r
n+1 n
6 Suites
L’ESSENTIEL DU COURS
Comment déterminer la limite Comment calculer la limite MOTS CLÉS
d’une suite ? d’une somme des premiers termes
d’une suite géométrique ? LIMITE D’UNE SOMME
Soit (u) une suite géométrique de raison q ≠ 0.
n
On travaillera ici uniquement avec des suites géomé- Si limu = l l l +∞ +∞ +∞
La limite de la suite (u) dépend de son premier n→+∞ n
n
triques de raison strictement positive. Si limv = l′ +∞ –∞ +∞ –∞ –∞
terme u non nul et de sa raison q. n→+∞ n
0
Exemple : déterminer la limite de : alors
Quel que que soit u0, si – 1 < q < 1, alors la limite de 1 ⎛1⎞2 ⎛1⎞n limu + v = l + l′ +∞ –∞ +∞ ? –∞
la suite sera nulle. Sn = 1 + 2 + ⎝⎜2⎠⎟  + … ⎝⎜2⎠⎟ . n→+∞ n n
Lorsque u est positif : Première étape : reconnaître la somme d’une suite
0 LIMITE D’UN PRODUIT
si q > 1, la limite de la suite sera égale à + ∞ ; géométrique.
Si limu = l l ≠ 0 l ≠ 0 0+∞+∞–∞
n→+∞ n
si q < – 1, la suite n’aura pas de limite. On reconnaît la somme des n+1 premiers termes
+∞
Lorsque u est négatif : d’une suite géométrique de premier terme u = 1 et Si limv = l′ +∞ –∞ ou +∞–∞–∞
0 1 0 n→+∞ n –∞
si q > 1, la limite de la suite sera égale à – ∞ ; de raison q= .
2 1–qn+1 si l > 0, si l > 0,
si q < – 1, la suite n’aura pas de limite. On sait que : S =u × . alors +∞ –∞
n 0 1–q l × l′ ? +∞–∞+∞
limu×v=
Si la suite (un) admet comme limite le réel l, alors tout ⎛1⎞n+1 ⎛1⎞n+1 n→+∞ n n si l < 0, si l < 0,
intervalle ouvert centré en l contient tous les termes 1 – ⎝⎜2⎠⎟ 1 –⎝⎜2⎠⎟ –∞ +∞
Donc : S =u × = .
n 0 1 1
de la suite à partir d’un certain rang. On dit que la 1 –
2 2 LIMITE D’UN INVERSE
suite (un) converge vers l. ⎛ ⎛1⎞n+1⎞ ⎛1⎞n
Pour étudier la limite d’une suite, on peut exprimer le D’où : Sn =2×⎝⎜1 – ⎝⎜2⎠⎟ ⎠⎟ = 2 –⎝⎜2⎠⎟ . Si nl→im+∞vn = l ≠ 0 0 +∞ ou –∞
terme général de la suite en fonction de n et déterminer Seconde étape : on utilise les résultats de la partie 3. alors lim 1 = 1 en 0+, ou +∞ 0
bPlSaaelri oelecinromms,n oinildet→inemr c+ pdc∞aaeeus su nc: et:s= suit eitu− ruil∞mni⩽(cid:31)s⩽.ee (cid:31)rev vlnen sfeea tttih snallé→iinomm+tr∞ tèuvemnnde==rse+ –d n∞∞e v ,,c e orms lp’inafrianiis. oOnu. OOTcnl→iornmno+m ∞piesSpesinèutr mitd=s ga eeé2n nné.stté ralreepa l0pei sr :eee otrm  nc1,e i cdetotroen nc dcacéls um:, tncl,→iaamr+rc∞ qh⎛⎝⎜e=21 a⎞⎠⎟v21ne ec=s ut0 ns.etr picrtoepmriéetnét. OpLonIuM sren →Iuv r+T∞nnavE mnc aDèrn ’uvUenn Nal=u u QecnnaU 0s× –O,d vo1’uTnu –.nI∞E pNroTduit strictement interdites.
n n n→+∞ n on
alors nl→im+∞vn(cid:31)=(cid:31)+∞. Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et ZOOM SUR… cati
Troisième cas : si u ⩽w ⩽v et limu  = limv =  l, de raison q, strictement comprise entre 0 et 1. Soit Sn LE RAISONNEMENT muni
n n n n→+∞ n n→+∞ n la somme des n+1 premiers termes de la suite (u). PAR RÉCURRENCE m
alors nl→im+∞wn = l. Alors limS = u0 . n On utilise un raisonnement par et co
(théorème des « gendarmes ») n→+∞ n 1–q récurrence chaque fois qu’une n
o
Enfin, il convient de se souvenir que toute suite Qu’est qu’une suite arithmético- propriété à démontrer dépend d’un usi
géométrique ? entier naturel n, surtout lorsqu’il diff
croissante majorée est convergente et que toute suite semble y avoir un lien simple entre n,
Définition : on dit qu’une suite (u) est une suite arithmé- ce qui se passe au rang n et ce qui o
décroissante minorée est également convergente : n cti
se passe au rang n + 1 : u
tico-géométrique s’il existe deux réels a et b tels que, u d
une suite (u) est majorée s’il existe un réel M tel 0 • on énonce la propriété à démon- o
n pr
étant donné, on a pour tout entier naturel n : u = au + b. trer, en précisant pour quels e
que, pour tout naturel n, u ⩽M ; n+ 1 n R
n On peut donc calculer chaque terme d’une suite entiers naturels cette propriété 6.
une suite (un) est minorée s’il existe un réel m tel est définie ; 201
que, pour tout naturel n, u ⩾m ; arithmético-g éométrique en utilisant les coefficients • on vérifie que la propriété e,
n est vraie au rang initial (qui est d
a et b et le terme précédent. n
une suite est bornée si elle est à la fois majorée et souvent 0 ou 1) ; Mo
• on prouve le caractère héréditaire e
minorée. L
de la propriété ; on suppose que la &
propriété est vraie pour un entier es
UN ARTICLE DU MONDE À CONSULTER naturel n arbitrairement fixé et col
é
on démontre que la propriété est s
e
• La divine proportion p. 9 •e nocno croen vcrlauite eanu irnavnogq nu a+n 1t ; le prin- ue d
(Étienne Ghys, Le Monde daté du 11.04.2013) cipe de récurrence. © r
Suites 7
LE’EXSESRECNICTEIESL P DAUS C ÀO PUARSS
Métropole (juin 2013)
La bonne méthode
Soit la suite numérique (u ) définie sur ℕ par : u = 2 et,
n 2 1 0 1. a) On remplace n par 0 dans la relation de récurrence de
pour tout entier naturel n, u = u + n+1.
n+1 3 n 3 l’énoncé pour déduire u, puis n par 1 pour obtenir u, etc.
1. a) Calculer u, u, u et u. On pourra en donner des valeurs 1 2
1 2 3 4 b) Ordonner les termes successifs de la suite et conclure.
approchées à 10– 2 près.
2. a) Démontrer la propriété par récurrence.
b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette
b) Remplacer u par l’expression donnée dans l’énoncé
n+1
suite.
en fonction de u.
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, u ⩽ n + 3. n
n c) Utiliser le résultat du 2. b) et l’inégalité du 2. a).
1
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, u –u = (n+3–u ).
n+1 n 3 n 3. a) Exprimer pour un entier naturel n, v en fonction de u
n+1 n
c) En déduire une validation de la conjecture précédente.
puis en fonction de v et conclure.
3. On désigne par (v) la suite définie sur ℕ par v = u – n. n
n n n b) Exprimer v en fonction de v puis u en fonction de n.
n n
a) Démontrer que la suite (v) est une suite géométrique
n c) Utiliser la propriété du cours donnant la limite de la suite
2
de raison .
3 ⎛2⎞n (qn) avec – 1 < q < 1.
b) En déduire que pour tout entier naturel n, un = 2 × ⎝⎜3⎠⎟ + n. 4. a) Décomposer S comme la somme d’une somme de ter-
n
c) Déterminer la limite de la suite (u).
n mes d’une suite géométrique et d’une somme de termes
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
n S d’une suite arithmétique.
S  =  u  = u  + u  + … + u et T = n.
n k 0 1 n n n2 b) Utiliser à nouveau la propriété du cours donnant la
k=0
a) Exprimer S en fonction de n.
n limite de la suite (qn) avec – 1 < q < 1.
b) Déterminer la limite de la suite (T).
n s.
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Antilles-Guyane (sept. 2010) nt i
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La bonne méthode e
ct
On considère la suite de nombres réels (u ) définie sur ℕ par stri
u0 = – 1, u1 = 21 et, pour tout entier naturel nn, uunn++22 ==uunn++11 –– 4441 uunn. 1. Lua – c oun,n pauisiss aun2 ceet due1 ue2t ndoeu cso pnecrlumree.t de comparer u2 – u1 et ation
1. Calculer u2 et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmétique, 2. a1) Ut0iliser lau d1éfinuit0ion de v en fonction de u. unic
n n m
ni géométrique. m
b) Utiliser la définition de v en fonction de u et la relation o
2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n : de récurrence entre u , un et u. n et c
1 n+2 n+1 n n
v = u – u. o
n n+1 2 n c) Revenir à la définition d’une suite géométrique et ne pas si
u
a) Calculer v0. oublier de préciser son premier terme. diff
b) Exprimer v en fonction de v. n,
n+1 n d) Utiliser une propriété d’une suite géométrique. o
c) En déduire que la suite (vn) est géométrique de raison 21. 3. a) Remplacer n par 0 dans la relation donnée dans l’énoncé. ducti
o
3. Od)n E dxépfirnimit elar svun ieten (fwon) cetnio pno dsaen nt., pour tout entier naturel n : w = un. b) Remplacer dans wn+1, vn+1 et un+1 en fonction de vn et un, Repr
a) Calculer w. n n vn puis conclure. 016.
0 c) Utiliser l’égalité obtenue précédemment et la définition 2
b) En utilisant l’égalité u = v + 1u , exprimer w en fonction e,
n+1 n 2 n n+1 de w. d
de un et de vn. d) Renconnaître la nature de la suite (w) puis utiliser la pro- Mon
c) En déduire que pour tout n de ℕ, w = w + 2. n Le
n+1 n priété ad hoc. &
d) Exprimer w en fonction de n. s
n 4. v et w ont été exprimés en fonction de n, d’où u. e
4. Montrer que pour tout entier naturel n, u = 2n–1. n n n col
5. Pour tout entier naturel n, on pose : S  =  nnu  = 2un  + u  + … + u. 5. vn et wn ont été exprimés en fonction de n, d’où un. es é
n k=0 k 0 1 2n+n3 Démonstration par récurrence. e d
Démontrer par récurrence que pour tout n de ℕ : S =2– . u
n 2n © r
88 Suites
L’ARTICLE DU
La divine proportion
Le nombre d’or, qui régit le rapport harmonieux entre les parties et le tout, est un
exemple frappant d’idée mathématique : un concept simple, presque primitif, qui se
retrouve partout autour de nous.
1
,61803398875… Un livre tout le même nom à des choses diffé- d’autres sont attachants, mais comme par exemple les feuilles
entier consacré à un seul rentes ». Le nombre d’or réunit l’immense majorité n’a pas grand au format A4 ou encore les carrés.
nombre ? Pourquoi celui-là toute une multitude de phéno- intérêt. Dans les musées d’art, cette abon-
plus qu’un autre ? Pourquoi porte- mènes. Le cœur de l’explication Le monde qui nous entoure est dance ne fait pourtant aucun
t-il des noms aussi prestigieux que commune avait déjà été explicité peuplé de rectangles de toutes doute ; beaucoup de tableaux ont
le « nombre d’or » ou la « divine par Euclide il y a plus de deux mille sortes. Quelques-uns sont dans des proportions divines. Certains
proportion » ? S’agirait-il d’un ans. Lorsqu’on décompose un la nature mais la plupart sont pensent que nous avons une pré-
joyau ou d’une œuvre véritable- objet en deux parties inégales, on construits par l’homme, qui férence innée pour l’esthétique
ment divine ? La lettre grecque dit que la proportion est divine, ou doit cependant se plier aux lois du rectangle d’or. Quant à moi,
φ (Phi) lui a même été attribuée, dorée, si le rapport entre la grande naturelles. Le fil à plomb est je préfère penser que les mathé-
comme la lettre π est associée partie et la petite est le même que perpendiculaire à l’horizontale et matiques influencent notre sens
à son vieil ami et concurrent le rapport entre le tout et la grande il est bien commode de construire esthétique. L’artiste qui choisit
3,1415926535. Ce nombre fascine partie. La simplicité de cette défini- des maisons dont les murs sont ce format pour une toile ne le fait
depuis très longtemps. Il suffit de tion explique l’omniprésence de φ. rectangulaires… Il se trouve que pas parce qu’il considère que ce
taper « golden mean » sur Google On le rencontre dans la croissance beaucoup de ces rectangles sont rectangle est « beau ». De manière
pour être frappé par la diversité des populations de lapins, décrite dorés : le rapport entre longueur consciente ou inconsciente, il sait
des sites qui se l’approprient. On le par Fibonacci au Moyen Âge, dans et largeur est égal à φ. Pour vérifier que cette proportion « contient »
voit partout, dans la philosophie, les proportions qui régissent le qu’un rectangle situé devant vous plus de deux mille ans de mathé-
la spiritualité, l’art, l’économie et… pentagone régulier ou dans celles est bien doré, rien n’est plus facile. matiques et de réflexion sur l’har- s.
e
dans les mathématiques. À vrai du Parthénon. Sortez votre carte de crédit (ou monie et sur les liens qui unissent dit
dire, les mathématiciens profes- De ce point de vue, le nombre votre carte Vitale, ou de biblio- les nombres et notre perception er
slaio pnonpeulsl asroitnét duen « p leeuu ra »g ancoéms pbarer dex’oerm applpeas ralîets copmlums ef rla’upnp adnetss tleh èrqeuctea !n),g elet eesns apyleazç adnet mlaa scqaureter dAev al’nestp macêem. e de commencer à ent int
m
d’or ; ce sont eux qui l’ont décou- d’une idée mathématique : un devant vos yeux. Si le rectangle est peindre, le tableau a déjà du
e
vert (ou inventé ?), et voilà qu’il concept simple, presque primitif, exactement masqué par la carte, contenu ; il fait partie d’une his- ct
échappe à leur contrôle ! qui se retrouve partout autour il est doré ! La prédominance de toire et d’une culture. En filigrane, stri
n
Beaucoup considèrent qu’on de nous. C’est à ce titre que le ces rectangles d’or est-elle un fait on peut deviner la présence du o
exagère son importance dans le nombre d’or a droit de cité dans le acquis ou une illusion ? Ce n’est passé ; Euclide, Fibonacci, Léonard cati
domaine de l’esthétique et que le paysage mathématique. Je choisis pas clair. Après tout, on voit aussi de Vinci, Kepler, Escher et tant uni
m
rôle mystique qu’on lui attribue un nombre au hasard d’une beaucoup d’autres formes de d’autres sont présents… m
est une imposture. Ils préfèrent quinzaine de chiffres, comme rectangles qui ne sont pas dorés, o
se limiter à son aspect purement 5 387 565 581 098 724 par exemple. Étienne Ghys et c
mathématique, et une revue tout Pourrait-on écrire un livre sur ce Le Monde daté du 11.04.2013 on
à fait respectable – The Fibonacci nombre ? Certainement pas ! Ce usi
Quarterly – est d’ailleurs presque nombre ne parle que de lui-même, diff
entièrement consacrée à un il n’est relié à aucune idée, il ne POURQUOI CET ARTICLE ? n,
o
thème très proche de φ : la suite permet pas de comprendre « des cti
Il évoque la suite célèbre de Fibonacci, pour laquelle les deux u
de Fibonacci. Les mathématiques choses différentes ». d
premiers termes sont 0 et 1, et chacun des termes suivants est égal o
contemporaines manipulent pr
à la somme des deux termes précédents. Mathématiquement, cette e
le plus souvent des objets bien R
plus élaborés, et φ apparaît plutôt Perception de l’espace suite (Fn) est définie par Fn+2 = Fn+1 + Fn pour tout n ∈ ℕ, F0 = 0 et F1 = 1. 6.
1
comme un souvenir d’un passé Je suis d’ailleurs probablement On a : F = 0 ; F = 1 ; F = F + F = 1 + 0 = 1 ; F = F + F = 1 + 1 = 2 ; 20
très lointain. Les mathématiciens le premier (et le dernier !) dans F = F +0 F = 2 + 11 = 3 ; F2 = F1 + F0 = 3 + 2 = 5 ; F3 = F2 + F1 = 5 + 3 = 8 ; e,
4 3 2 5 4 3 6 5 4 d
ont cependant le sens de l’histoire l’histoire de l’humanité à avoir F = F + F = 8 + 5 = 13, etc. n
de leur discipline et regardent écrit ce nombre : il ne sert à rien ! E7n po6sant5 φ = 1 + √–5 (nombre d’or) et φ’ = 1 – √–5, on démontre que e Mo
cette « vieillerie » avec tendresse. Dans l’univers des nombres, 2 2 L
Hmeanthrié Pmoainticqaureé easftf ilr’amrta dite q duoen «n elar cde’arutatirness . sCoenrtt apinluss sroincht eus tiqleuse, Fn = √ 1–5(φn - φ’n) pour tout n ∈ ℕ, n⩾2 (formule de Binet). oles &
c
é
s
e
d
e
u
© r
Suites 9
L’ESSENTIEL DU COURS
MOTS CLÉS Limites de fonctions,
LIMITE
Soit f une fonction définie au voisi-
continuité et théorème
nage de a :
• la limite de f en a est +∞ et on note
lim f(x)=+∞, si tout intervall e
x→a
de la forme ]M ; +∞[ où M ∈ ℝ, des valeurs intermédiaires
contient tous les réels f(x) dès que
x est suffisamment proche de a ;
• la limite de f en a est – ∞ et on note
lim f(x)=–∞, si tout intervalle
x→a Déterminer des limites éventuelles d’une fonction n’a d’intérêt
de la forme ]–∞ ; M[ où M ∈ ℝ,
contient tous les réels f(x) dès que que lorsque x tend vers une borne ouverte de l’ensemble
x est suffisamment proche de a ;
de définition D de f. On peut ainsi mettre en évidence la
• la limite de f en a est le réel l et on f
note limf(x)=l, si tout intervalle présence éventuelle d’asymptotes verticales ou horizontales à
x→a
de la forme ]l – r ; l + r[ où r > 0, la courbe représentative de la fonction f.
contient tous les réels f(x) dès que
x est suffisamment proche de a. La notion de continuité permet notamment de résoudre des équa-
FORME tions du type f(x) = k (k ∈ ℝ, f fonction continue) ou donner une
INDÉTERMINÉE
valeur approchée de ses solutions.
Dans un calcul de limites, on a une
« forme indéterminée » lorsque
l’on ne peut pas conclure direc- Opérations sur les limites Comment lever une forme
tement. Pour « lever » cette indé- indéterminée ?
termination, il faut transformer Soit f une fonction définie au voisinage de a. Ici a peut es.
l’écriture de la fonction : être un nombre réel, ou +∞ ou –∞. Les « ? » dans les tableaux précédants signifient que dit
er
•dn oôsmomitien sea nen ttf ar(ccaattosio rdnisenase nflotl enpsca teri onlne + st  ep∞ro molyue- Limite d’une somme en a lp’oréns ennec ep deu’utn pe a«s f ocormncel uinred édtierremctienméee n»,t d :o onnc deesvt aennt ment int
•–  s∞o)i t; en utilisant la quantité conju- SSii fg a a p poouurr l liimmiittee : : ll′ +l∞ –l∞ ++∞∞ +–∞∞ ––∞∞ uPonue rl i«m lietvee dre » l ac efottrem ien :d +ét∞e r–m∞ ionua t∞ion×, 0il ofuau ∞∞t otrua n00s.- stricte
guée (cas des fonctions racines n
o
carrées) ; alors f + g a pour l + l′ +∞ –∞ +∞ ? –∞ former l’écriture de la fonction. cati
• soit en revenant à la définition limite : ni
du nombre dérivé (cas des fonc- Comment détermine-t-on mu
tions sous la forme d’un taux la présence d’asymptotes à la courbe m
Limite d’un produit en a o
d’accroissement). d’une fonction ? et c
•A SSi lYimMfP(TxO)=T±E∞, alors la courbe Sliim f iate p :our l l ≠ 0 l ≠ 0 0 +∞ +∞ –∞ Asymptote verticale y usion
x→a d'équation x = a : diff
raedpmréeste unntaet aivsey mdep tloat efo vnecrttiiocnal ef Si g a pour +∞ lorsque on,
d’équation x = a. limite : l′ +∞ –∞ ou +∞ –∞ –∞ lim f(x)= ±∞. a x ucti
• Si lim f(x)=b, alors la courbe –∞ x→a 0 od
x→±∞ si l>0, si l>0, Cf epr
représentative de la fonction f R
admet une asymptote horizontale alors f × g a l × l′ +∞ –∞ ? +∞ –∞ +∞ 6.
x = a 1
d’équation y = b, à l’infini. pour limite : si l<0, si l<0, 20
–∞ +∞ e,
THÉORÈME d
n
DES GENDARMES o
Asymptote horizontale : y M
Limite de l’inverse en a e
si f(x)⩽k(x)⩽g(x) et si L
d’équation y = b : &
allxxii→l→mmoaarsff ((lxixx→m))a   ==k  (llxxxii→→mm) aa=gg l((.xx))  ==  ll Sliim gi ate p1 :our l ≠ 0 0 +∞ ou –∞ lloimrsqfu(ex )=b. Cf b y = b s écoles
(valable pour a ∈ ℝ ou a qui est alors a 1 x→±∞ 0 x de
–∞ ou +∞) g l +∞ ou –∞ 0 ue
pour limite : © r
10 Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires