Mathématiques : résumés du cours ECE 1e et 2e années

265 Pages·1989·6.04 MB·French

by  Gabriel Baudrand

Gabriel Baudrand
Mathématiques
:
résumés du cours
1 2
ECE re et e années
(cid:2)Cours
(cid:2)Exemples
(cid:2)Applications
(cid:2)Conseils
Mathématiques :
résumés du cours
re e
ECE 1 et 2 année
Gabriel Baudrand
Professeur agrégé de mathématiques en classes
préparatoires au lycée Madeleine Michelis (Amiens)
© Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053972-7
Table des matières
Introduction 1
1. Ensembles,applications 1
2. Notionsdelogique 5
3. SignesS,P 9
4. Dénombrement—Formuledubinôme 12
5. Équations,inéquations 18
6. Polynômes 22
7. Manipulationdesinégalités 25
Analyse 29
1 Étudedefonctions 31
1. Recherchedelimites 32
2. Continuité 42
3. Calculdifférentiel 47
4. Fonctionsusuelles 53
5. Fonctionsdedeuxvariables 56
2 Suitesetsériesnumériques 61
1. Généralités 61
2. Suitesnumériquescalculables 66
3. Suites u =f (u ) 71
n+1 n
4. Sériesnumériques 76
5. Suitesdéfiniesimplicitement 82
3 Calculintégral 85
1. Primitives 85
2. Intégraledéfinie 87
3. Intégralesgénéralisées 98
4. Sériesetintégrales 104
Algèbre linéaire 107
4 SystèmeslinéairesCalculmatriciel 109
1. Systèmeslinéaires 109
III
TABLEDESMATIÈRES
2. Calculmatriciel 114
3. Unexempled’espacevectoriel 125
5 Espacesvectorielsapplicationslinéaires 131
1. Espacesvectoriels,sous-espacesvectoriels 131
2. Applicationslinéaires 138
3. EspacevectorielL(E,F),algèbreL(E) 142
4. Noyauetimaged’uneapplicationlinéaire 144
5. Deuxapplications 148
6 Diagonalisation 153
1. Théorieduchangementdebase 153
2. Diagonalisation 156
3. Autresréductions—Applications 165
Probabilités 173
7 Probabilitésurunensemblefini 175
1. Espacesprobabilisésfinis 175
2. Variablesaléatoiressurunensemblefini 182
3. Coupledevariablesaléatoiresfinies 186
4. Loisfiniesusuelles 189
8 Variablesaléatoiresdiscrètes 197
1. Espacesprobabilisésquelconques 197
2. Variablesaléatoiresinfiniesdiscrètes 200
3. Coupledevariablesaléatoiresdiscrètes 206
4. Variablesinfiniesdiscrètesusuelles 208
9 VariablesaléatoiresàdensitéConvergences,approximations
estimation 217
1. Généralités 217
2. Variablesaléatoiresàdensitéusuelles 221
3. Convergencesetapproximations 227
4. Estimation 230
Informatique 235
10 Élémentsd’algorithmique 237
1. LelangagePASCAL 237
2. Exemplesd’algorithmes 245
Index 253
IV
Mode d’emploi
Celivrecontientl’intégralitéducoursdemathématiquespourlesclasses
préparatoires ECE, première et deuxième années. Il intéressera aussi les
étudiantsen Licence de sciences économiques, ettous ceux qui désirent
acquérir des connaissances élémentaires mais solides en analyse, algèbre
linéaire, probabilités.
Quand on donne la définition d’un mot, celui-ci est imprimé en gras.
Les résultats essentiels sont encadrés.
Des éléments pour la démonstration d’un résultat sont donnés quand
celle-ciutilisedestechniquessignificativesetutilespourlarésolutiondes
exercices. Ces éléments demandent au lecteur une participation active
(rédiger complètement, faire les calculs omis), qui est la clé des progrès
en mathématiques.
Les notions nouvelles sont illustrées par des exemples. Ceux-ci sont
signalés en tant que que tels, ou par un liseré en marge gauche. Ils sont
inspirés par des exercices très classiques ou provenant des annales de
concours.Ilssontplusnombreuxquandunegrandevariétédesituations
se présente.
Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données.
Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement
naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéris-
tiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire.
Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique :
écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction,
remarques utiles à la mémorisation.
V
MODED’EMPLOI
Quelques indications pour les différentes sections de ce livre
L’introduction expose les connaissances et techniques de base deman-
dées par le programme. S’y ajoutent des considérations qui ne sont pas
explicitement demandées, mais néanmoins indispensables : les éléments
de logique aideront le lecteur à raisonner juste, ce qui aidera à une
meilleurecompréhensionducours.Lesrappelssurleséquations,inéqua-
tions,inégalitésvisentàconsoliderdesacquisdesclassesantérieuresetqui
prennent maintenant toute leur importance.
En ce qui concerne l’analyse, la totalité du programme de terminale
ES est reprise et bien sûr complétée. Les points les plus délicats du
programme (recherche de limites, suites récurrentes, séries, intégrales
généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux
exemples.
Pour l’algèbre linéaire, la difficulté est d’une part technique (recherche
des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utili-
sation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On
s’est efforcé de bien cerner les difficultés et ici aussi de donner suffisam-
ment de variété dans les exemples.
En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les
problèmes concernant les variables aléatoires finies, discrètes, à densité.
Cela oblige à quelques répétitions, mais les techniques différentes mises
enœuvre(respectivementsommesfinies,séries,calculintégral)justifient
unetelledémarche.Onaprivilégiéicilesdémonstrationsdesrésultatsdu
cours,oudesapplicationslesplustypiques,carleurmaitriseestessentielle
pour la résolution des exercices.
S’yajouteunchapitresurl’algorithmique:onytrouveralesélémentsdu
langage PASCAL à connaître, et quelques programmes emblématiques.
Conformément au programme, les algorithmes (rédigés en PAS-
CAL)viennentillustrerlecours.Ilssontencadrésparunlisérépoin-
tillé.
Pour ce qui concerne la répartition du travail sur les deux années de
classe préparatoire,devraient être maitrisés en fin de première année :
• l’introduction;
• le chapitre 1, sauf § 1.1.5;
• le chapitre 2 sauf § 2.3 : notion de point fixe, et § 2.4 : critères de
convergence et séries de Riemann;
• le chapitre 3 : § 3.1 et 3.2, sauf sommes de Riemann et formules
de Taylor;
• le chapitre 4;
VI
MODED’EMPLOI
• leschapitres7et8(uniquement loid’uncouple, loismarginaleset
indépendance de deux v.a en ce qui concerne l’étude simultanée
de plusieurs v.a).
• Pour ce qui concerne l’algorithmique, l’ensemble du programme
esttraitétoutaulongdelaformation,àl’exceptiondesalgorithmes
de gestion des listes, et tout ce qui concerne les v.a à densité et
l’estimation, qui seront traités en deuxième année.
Dans le texte, les renvois commencent toujours par le numéro du cha-
pitre (§ 2.3 renvoie au chapitre 2 paragraphe3).
VII

Introduction
Techniques de base
1. Ensembles, applications
1.1 Vocabulaire de la théorie des ensembles
x ∈ E : « x est élément de E », ou « x appartient à E ».
Onnecherchepasàdéfinirlesnotionsprimitivesd’élément,d’appartenance,
d’ensemble.
On peut distinguer deux façons de définir un ensemble :
•Parextension:ondonnelalistedesélémentsdel’ensemble.Onnotera
en particulier,avec n ∈ N :
(cid:2)0,n(cid:3) = {0 ; ... ; n}
•Parcompréhension:ondonneunepropriétécaractéristiqueP desélé-
ments de l’ensemble. L’élément x appartient à l’ensemble E si, et seule-
mentsi,ilvérifielapropriétéP,cequel’onnoteP(x).Parexemple,a,b
étant deux réels :
[a,b] = {x | x ∈ R ; a (cid:2) x (cid:2) b}
Ici la propriété P(x) est : « x ∈ R et a (cid:2) x (cid:2) b ».
On rencontre des variantesde notation :
[a,b] = {x ∈ R | a (cid:2) x (cid:2) b} = {x ∈ R ; a (cid:2) x (cid:2) b}...
Certains ensembles ont des notations réservées :
∅ : l’ensemble vide (il ne contient aucun élément).
N : l’ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; ...}.
∗
N : l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Z : l’ensemble des entiers relatifs.
Q : l’ensemble des nombres rationnels.
1