Mathématiques Résumé du cours en fiches PCSI-PTSI, PC-PSI-PT

260 Pages·2010·2.73 MB·French

9782100549238-fredon-tdm.qxd 6/07/10 12:29 Page V
Table des matières
R
Partie 1 – Analyse dans
1 Nombres réels 2 13 Intégrales définies 39
1reannée 1reannée
2 Fonctions numériques 6 14 Calcul des primitives 43
1reannée 1reannée
3 Limites:généralités 10 15 Formules de Taylor 47
1reannée 1reannée
4 Limites:comparaisons 16 Développements limités 48
locales 13 1reannée
1reannée
17 Approximation 52
5 Continuité 16 1reannée
1reannée
18 Intégration sur un
6 Fonctions dérivables 18 intervalle quelconque 55
1reannée 2eannée
7 Étude globale 19 Généralités sur les équa-
des fonctions dérivables 21 tions différentielles 60
1reannée 1reannée
8 Logarithmes,exponen- 20 Équations différentielles
linéaires 62
tielles et puissances 24
1reannée et 2eannée
élit. 1reannée
n d 21 Systèmes différentiels
u 9 Fonctions circulaires
est et réciproques 28 linéaires 66
e 2eannée
é
oris 1reannée
ut 22 Notions sur les équations
a
n 10 Fonctions hyperboliques différentielles
o
e n et réciproques 32 non linéaires 68
pi
co 1reannée 1reannée et 2eannée
o
ot
a ph 11 Suites numériques 34 23 Séries numériques
– L 1reannée 2eannée 70
d
o
un 12 Suites particulières 37
D
© 1reannée
V
9782100549238-fredon-tdm.qxd 6/07/10 12:30 Page VI
Table des matières
Partie 2 – Analyse dans Rn
24 Espaces vectoriels normés 76 31 Intégrales curvilignes 98
2eannée 2eannée
25 Continuité 80 32 Suites de fonctions 102
2eannée 2eannée
26 Calcul différentiel
dans Rn 83 33 Séries de fonctions 104
2eannée
1reannée
27 Différentiabilité 86 34 Séries entières 107
2eannée 2eannée
28 Extremum d’une fonction 35 Séries de Fourier 112
à plusieurs variables 89 2eannée
2eannée
36 Fonctions définies
29 Intégrales doubles 91
par une intégrale 115
1reannée 2eannée
30 Intégrales triples
et applications 95
2eannée
Partie 3 – Algèbre générale
37 Logique binaire 118 42 Dénombrement 131
1reannée 1reannée
38 Ensembles 121 43 Groupes 134
1reannée 1reannée
39 Applications 123 Autres structures
44
1reannée algébriques 138
1reannée
40 Relations 126
1reannée 45 Nombres complexes 141
1reannée
41 Entiers naturels 128
1reannée
VI
9782100549238-fredon-tdm.qxd 6/07/10 12:30 Page VII
Table des matières
46 Exponentielle 48 Polynômes 149
complexe 144 1reannée
1reannée
49 Fractions rationnelles 153
47 Nombres complexes 1reannée
et géométrie plane 147
1reannée
Partie 4 – Algèbre linéaire
et multilinéaire
50 Structure 58 Déterminants 185
d’espace vectoriel 158 1reannée et 2eannée
1reannée et 2eannée
59 Réduction
51 Dimension des endomorphismes 189
d’un espace vectoriel 161 2e année
1reannée et 2eannée
60 Polynômes annulateurs 192
52 Applications 2e année
linéaires 165
1reannée et 2eannée 61 Espaces préhilbertiens 194
2e année
53 Applications linéaires
particulières 170 62 Orthogonalité 199
1reannée 2e année
délit. 54 Écritures matricielles 172 63 Espaces vectoriels
e est un 1reannée 2eeuacnlnidéeiens 203
utorisé 55 C1raealcnunéle matriciel 175 64 Endomorphismes
a orthogonaux 204
n
no 56 Changements de bases 178 2e année
e
pi 1reannée
oco 65 Endomorphismes
hot 57 Systèmes linéaires 181 symétriques 208
p
La 1reannée 2e année
–
d
o
n
u
D
©
VII
9782100549238-fredon-tdm.qxd 6/07/10 12:30 Page VIII
Partie 5 – Géométrie
66 Espaces affines 212 74 Courbes planes
1reannée paramétrées 233
1reannée
67 Applications affines 214
1reannée 75 Courbes planes
en coordonnées polaires 236
68 Barycentres 217 1reannée
1reannée
76 Étude métrique
69 Calcul vectoriel 219 des courbes planes 238
1reannée 1reannée
70 Géométrie euclidienne 77 Compléments
du plan et de l’espace 222 sur les courbes 240
1reannée 2eannée
71 Isométries du plan 78 Généralités
et de l’espace 225 sur les surfaces 242
1reannée 2eannée
72 Similitudes directes 79 Surfaces usuelles 244
du plan 228
2eannée
1reannée
80 Quadriques 247
73 Coniques 230 2eannée
1reannée
Index 249
VIII
Partie 1
Analyse
(cid:2)
dans
9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 2
1
Nombres réels
1reannée
1. Premières propriétés
1.1 Corps ordonné
On dit que l'ensemble R des nombres réels est
• un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les
propriétés dont vous avez l'habitude;
• un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre (cid:1) est compatible avec +
et ×,c'est-à-dire :
∀a ∈R ∀b∈R ∀c∈R a (cid:1)b(cid:6)⇒a+c(cid:1)b+c
∀a ∈R ∀b∈R ∀c(cid:2)0 a (cid:1)b(cid:6)⇒ac(cid:1)bc
1.2 Règles de calcul
(cid:2)n (cid:3)n(cid:4)
(x +y)n = xk yn−k (formule du binôme)
k
(cid:5) (cid:6) k=0
n n!
où =
k k!(n−k)!
(cid:2)n−1
xn −yn =(x −y) xn−k−1yk.
k=0
1.3 Valeur absolue
• La valeur absolue d'un réel a,notée |a|,est définie par:
|a|=a si a (cid:2)0 ; |a|=−a si a (cid:1)0.
• Propriétés ∀a ∈R ∀b∈R
|a|(cid:2)0 ; |a|=0 ⇐⇒ a =0 ; |ab|=|a||b|
(cid:7) (cid:7)
|a+b|(cid:1)|a|+|b| ; (cid:7)|a|−|b|(cid:7)(cid:1)|a−b|
1.4 Propriété d'Archimède
Soit a ∈R et b>0. Alors il existe k ∈N tel que bk >a.
2
9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 3
Nombres réels 1
2. Intervalles
2.1 Définitions
Pour a (cid:1)b,le segment [a,b] est défini par:
[a,b]={x ∈R ; a (cid:1)x (cid:1)b}
On utilise souvent la propriété :
c∈[a,b] ⇐⇒ ∃t ∈[0,1] c=ta+(1−t)b
On définit de même les autres types d'intervalles:
]a,b[,[a,b[,]a,b],]a,+∞[,[a,+∞[,]−∞,b[,]−∞,b],]−∞,+∞[=R.
2.2 Propriété caractéristique
Une partie A de R est un intervalle si,et seulement si :
∀a ∈ A ∀b∈ A a <c<b(cid:6)⇒c∈ A.
2.3 Voisinage d'un point
Soit a ∈R. Une partie V de R est un voisinage de asi elle contient un intervalle
ouvert centré sur a.
Q R
2.4 Densité de dans
Tout intervalle ]a,b[ non vide contient au moins un rationnel et un irrationnel.
On dit que Q et son complémentaire R\Q sont denses dans R.
R
3. Ordre dans
élit.
d 3.1 Majoration,minoration
n
u
est • Définitions
e
orisé Soit A une partie de R. On dit que a est un majorantde A si x (cid:1)a pour tout x
ut de A.
a
n
e no Si,en plus, a ∈ A,alors aest le plus grand élémentde A,noté max A. R
opi Si A admet un majorant,on dit que A est majorée. s
oc n
phot On définit de même :minorant,plus petit élément,partie minorée. da
La • Unicité e
– s
od Si une partie non vide de R admet un plus grand élément,ou un plus petit ly
n a
Du n
© élément,il est unique. Mais il peut ne pas exister. A
3
9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 4
1 Nombres réels
Surveillez votre vocabulaire :unmajorant,leplus grand élément.
• Cas particulier des entiers naturels
Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.
Toute partie non vide majorée de N admet un plus grand élément.
3.2 Borne supérieure,inférieure
• Définitions
La bornesupérieurede A est le plus petit élément (s'il existe) de l'ensemble des
majorants de A.
La borne inférieurede A est le plus grand élément (s'il existe) de l'ensemble des
minorants de A.
• Caractérisation
Mest la borne supérieure de A si,et seulement si,on a,à la fois :
∀x ∈ A x (cid:1) M,c'est-à-dire que Mest un majorant ;
∀ε>0 ∃x ∈ A M −ε<x, c'est-à-dire que M −εn'est pas un majorant.
m est la borne inférieure de A si,et seulement si,on a,à la fois :
∀x ∈ A m (cid:1)x,c'est-à-dire que m est un minorant ;
∀ε>0 ∃x ∈ A x <m+ε,c'est-à-dire que m+ε n'est pas un minorant.
• Remarque
Si A admet un plus grand élément,alors c'est la borne supérieure de A.
Si A admet un plus petit élément,alors c'est la borne inférieure de A.
• Théorème d'existence
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de Radmet une borne supérieure
(resp. inférieure).
3.3 Droite numérique achevée
Pour ne pas avoir de restriction dans le théorème précédent,on considère un nou-
vel ensemble noté R obtenu à partir de R par l'adjonction de deux éléments notés
−∞ et +∞.
On prolonge à R la relation d'ordre en posant pour tout a ∈R :
−∞<a <+∞.
4
9782100549238-fredon-C01.qxd 1/07/10 15:09 Page 5
Nombres réels 1
On définit ainsi la droite numérique achevée dont le plus grand élément est +∞,
le plus petit élément −∞.
Et le théorème précédent se généralise:
Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieure
dans R.
4. Approximations décimales
4.1 Valeurs approchées
Soit a ∈R,b∈R,ε>0. On dit que best une valeur approchéede aà εprès si
|a−b|<ε,c'est-à-dire si b∈]a−ε,a+ε[.
On parle de valeur approchée par excèssi b>a et par défautsi b<a.
4.2 Partie entière
Étant donné un nombre réel x,il existe un plus grand entier relatif,noté E(x) ou
[x],tel que E(x)(cid:1)x.
On l'appelle la partie entière de x. On a donc, par définition:
E(x)(cid:1)x < E(x)+1.
Attention à ne pas confondre avec la suppression de la partie déci-
male quand x <0; par exemple E(−4,3)=−5.
4.3 Valeurs décimales approchées
Soit x ∈R et n ∈N. Il existe un entier dunique tel que
d×10−n (cid:1) x <(d+1)×10−n.
élit.
n d dest la partie entière de 10nx.
u
est d×10−n s'appelle la valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut,
e
orisé et (d+1)×10−n celle par excès.
ut
a
n
o
e n R
opi s
oc n
ot a
ph d
La e
– s
d y
o l
n a
Du n
© A
5
9782100549238-fredon-C02.qxd 1/07/10 15:10 Page 6
2
Fonctions numériques
1reannée
1. Définitions
1.1 Fonction numérique
Définir une fonction numérique f sur une partie non vide E de R, c'est indiquer
comment faire correspondre au plus un réel y à tout x de E.
Le réel y est l'image de x par fet s'écrit f(x). On note :
f : E −→ R
x (cid:4)→ f(x).
L'ensemble des réels qui ont effectivement une image par fest l'ensemble de défi-
nition de f. Il est noté D ,ou Ds'il n'y a pas d'ambiguité.
f
1.2 Représentation graphique
(cid:2) −→ −→(cid:3)
Le plan étant rapporté à un repère O, i , j , la représentation graphique de f
(cid:2) (cid:3)
est l'ensemble C des points de coordonnées x,f(x) avec x ∈ D .
f f
1.3 Images et images réciproques d'ensembles
Soit A⊂ D . L'imagede A par fest l'ensemble:
f
f(A)={f(x); x ∈ A}.
Soit B ⊂R. L'image réciproquede Bpar fest l'ensemble:
−1
f (B)={x ∈ D ; f(x)∈ B}.
f
Attention à ne pas confondre avec la réciproque d'une bijection. Ici,
on ne suppose rien sur f.
1.4 Restriction,prolongement
Soit f une fonction définie sur I et g une fonction définie sur J. Si I ⊂ J et si
f(x)=g(x) pour tout x de I,on dit que f est une restriction de g,ou que g est
un prolongement de f.
6