Mathematiques pur les sciences naturelles

77 Pages·2003·0.517 MB·English

by  Skoruppa N.-P.

Nils-Peter Skoruppa
Math¶ematiques pour les sciences
naturelles
Polycopi¶e
Premier Cycle | Universit¶e Bordeaux 1
Version: Id: poly.tex,v 1.2 2003/11/20 23:10:59 fenrir Exp
(cid:176)c Nils-Peter Skoruppa, 1997 - 2003
www.countnumber.de
i
Avertissement
Ce polycopi¶e est une version un peu¶elabor¶ee de mes notes au cours du m^eme
nom que j’ai assur¶e pendant l’hiver 1996.
Talence, le 24 d¶ecembre 1997
ii
Table des Mati(cid:181)eres
1 Fonctions d¶erivables 1
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Les Accroissements Finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Quelques cons¶equences des
Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Etude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 D¶eveloppement limit¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Courbes 17
2.1 Rappels sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Courbes param¶etr¶ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 La courbure d’une courbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Fonctions en deux variables 27
3.1 Vocabulaire de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 D¶eriv¶ees de fonctions en 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Etudes locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Equations diަerentielles du premier ordre 39
4.1 Existence et unicit¶e des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 S¶eparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Equation diަerentielle de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 D¶eterminants, valeurs et vecteurs propres 49
5.1 La d¶eflnition du d¶eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 R(cid:181)egle de calcul pour les d¶eterminants . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3 Applications aux ¶equations lin¶eaires . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv
5.5 Matrices triagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Syst(cid:181)emes lin¶eaires d’¶equations
difi¶erentielles (cid:181)a co¶e–cients constants 61
6.1 Fonctions a(cid:181) valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 La th¶eorie g¶en¶erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3 Calcul d’un syst(cid:181)eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Equations difi¶erentielles lin¶eaires de 2me ordre
a(cid:181) co¶e–cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chapitre 1
Fonctions d¶erivables
1.1 Rappels
Un intervalle ferm¶e est un ensemble de nombres r¶eels de la forme
[a;b] = x R : a x b
f 2 • • g
ou de la forme
[a; ) = x R : a x ; ( ;b] = x R : x b :
1 f 2 • g ¡1 f 2 • g
Un intervalle du premier type est aussi appel¶e compact ou ferm¶e et born¶e.
Un intervalle de la forme
(a;b) = x R : a < x < b
f 2 g
estappel¶eouvert. Icionadmetpoura;blessymboles . Ainsiparexemple
§1
( ;+ ) = R est un intervalle ouvert.
¡1 1
Lemotfonctionindiquedanscepremierchapitretoujoursuneapplication
f : D R ou(cid:181) le domaine D de f est un sous-ensemble des nombres r¶eels.
!
On dit qu’une fonction est d¶eflnie sur ou dans un ensemble E si E est un
sous-ensemble du domaine de f.
D¶eflnition. Une fonction f d¶eflnie sur un intervalle I est dite continue en
a I si
2
limf(x) = f(a):
x a
!
Remarque. On rappel que pour une fonction f d¶eflnie sur D l’¶ecriture
b = lim f(x)
x a;x D
! 2
1
¶
2 CHAPITRE 1. FONCTIONS DERIVABLES
signifle qu’il existe au moins une s¶erie (a ) dans D telle que a = lim a , et
n n n
que pour toute telle s¶erie on a
b = limf(a ):
n
n
On suppose que la notion d’une limite d’une s¶erie est bien connue. Ici a
n’appartient pas necessairement au domaine de f. Si il est ¶evident du con-
text quel D il faut prendre on supprime le D dans l’¶ecriture, i.e. on ¶ecrit
simplement
b = limf(x):
x a
!
Remarque. En cons¶equence, si une fonction est continue dans un intervalle I
(i.e. continue en tout a I), alors on a
2
limf(a ) = f(lima )
n n
n n
pour toute s¶erie convergente dans I et avec limite dans I, et vice versa. Br(cid:181)ef :
Continuit¶e de f indique que l’on peut ¶echanger ‘limite’ et ‘l’application f’.
Nous rappelons sans preuve
Th¶eor(cid:181)eme 1.1. (Th¶eor(cid:181)eme principale sur les fonction continues).
Soit f continue sur l’intervalle compact I, alors f(I) est compact.
En cons¶equence, si f est continue sur l’intervalle compact I, alors il existe
un minimum et un maximum absolu de f, i.e. il existe x;y I tel que
2
f(x) f(») f(y) pour tout » I. En plus, pour tout c entre f(x) et f(y)
• • 2
il existe un » tel que c = f(»).
D¶eflnition. Une fonction f d¶eflnie sur un intervalle ouvert I est appel¶ee
d¶erivable en a I si la limite
2
f(x) f(a)
lim ¡
x a x a
! ¡
existe et est flnie. La limite est dite la d¶eriv¶ee de f en a, not¶e f (a).
0
Remarque. Si f est d¶erivable en a, alors la fonction
¢ f : I R; (¢ f)(x) = f(xx)¡af(a) si x 6= a
a a ¡
! (f0(a) si x = a
est continue en a.
1.2. LES ACCROISSEMENTS FINIES 3
Notation. Si f est d¶erivable dans I (i.e. f est d¶erivable pour tout a I) on
2
note f : I R la fonction x f (x). On dit que f est n-fois d¶erivable sur
0 0
! 7!
I si f est d¶erivable, f est d¶erivable, f(2) := (f ) est d¶erivable, ..., si f(n 1)
0 0 0 ¡
est d¶erivable, et donc f(n) := f(n¡1) 0 existe. On pose aussi f(0) = f.
Th¶eor(cid:181)eme 1.2. Si f: I R¡est d¶er¢ivable en a, alors f est continue en a.
!
Demonstration. On a
f(x) = f(a)+(x a) (¢ f)(x)
a
¡ ¢
et donc
limf(x) = f(a)+(lim(x a)) lim(¢ f)(x) = f(a)+0 f (a) = f(a):
a 0
¡ ¢ ¢
On suppose que les r(cid:181)egles usuelles pour calculer la d¶eriv¶ee d’une fonction
sont connues.
1.2 Les Accroissements Finies
Th¶eor(cid:181)eme 1.3. Soit f: (a;b) R d¶erivable en c (a;b). Si f poss(cid:181)ede un
! 2
maximum locale ou minimum locale en c, alors f (c) = 0.
0
Remarque. On parle d’un maximum locale en c si il existe un " > 0 tel que
f(c) f(x) pour tout c " < x < c + ". Un minimum locale sera d¶eflni
‚ ¡
analoguement.
Demonstration. Supposons que f poss(cid:181)ede un minimum locale en c. On a
(¢ f)(c 1) 0 pour n N assez grand, d’ou(cid:181) f (c) = lim(¢ f)(c 1) 0.
c ¡ n • 2 0 c ¡ n •
De m^eme, on a (¢ f)(c + 1) 0 pour n N assez grand, d’ou(cid:181) f (c) =
c n ‚ 2 0
lim(¢ f)(c 1) 0. La seule possibilit¶e est donc que f (c) = 0. Le cas que
c ¡ n • 0
f atteint un maximum locale en c est analogue.
Th¶eor(cid:181)eme 1.4. (Th¶eor(cid:181)eme de Rolle). Soit f: [a;b] R continu sur
!
[a;b] et d¶erivable dans (a;b). Soit f(a) = f(b). Alors il existe un » (a;b)
2
tel que
f (») = 0:
0
Demonstration. Soit x et y tel que f([a;b]) = [f(x);f(y)]. De tels x et y
existent d’apr(cid:181)es le th¶eor(cid:181)eme principal des fonctions continues. Donc f prend
son max et min en x et y respectivement.
Si x (a;b), alors f (x) = 0. Si y (a;b), alors f (y) = 0. Si x;y
0 0
2 2 f g (cid:181)
a;b , alors f(x) = f(y), et donc f est constant et puis f 0.
0
f g ·
¶
4 CHAPITRE 1. FONCTIONS DERIVABLES
Th¶eor(cid:181)eme 1.5. (Th¶eor(cid:181)eme des accroissements flnis) Soit f: [a;b] R
!
continu sur [a;b] et d¶erivable dans (a;b). Alors il existe un » (a;b) tel que
2
f(b) f(a)
¡ = f (»):
0
b a
¡
Demonstration. On d¶eflnit F: [a;b] R par
!
f(b) f(a)
F(x) = f(x) ¡ (x a):
¡ b a ¡
¡
Alors F(a) = F(b) = f(a). D’apr(cid:181)es Ro^le on a F (») = 0 pour un » (a;b).
0
2
Mais F (») = 0 est ¶equivalent a(cid:181) la formule donn¶e.
0
Th¶eor(cid:181)eme 1.6. (Acroissements (cid:181)a la Cauchy) Soient f;g: [a;b] R
!
continues sur [a;b] et d¶erivables dans (a;b). Alors il existe un » (a;b) tel
2
que
f(b) f(a) g (») = g(b) g(a) f (»):
0 0
¡ ¡
¡ ¢ ¡ ¢
Remarque. 1. Pour g(x) = x on retrouve les accroissements simples. 2. Si
on suppose que g (x) = 0 pour tout x (a;b), alors on a g(b) g(a) = 0
0
6 2 ¡ 6
(d’apr(cid:181)es les accroissements simples), et on peut ¶ecrire les accroissements a(cid:181) la
Cauchy sous la forme
f(b) f(a) f (»)
0
¡ = :
g(b) g(a) g (»)
0
¡
Demonstration. On pose pour x [a;b] :
2
F(x) = f(x)[g(b) g(a)] g(x)[f(b) f(a)]:
¡ ¡ ¡
On a F(a) = f(a)g(b) g(a)f(b) = F(b). Appliquer Rolle a(cid:181) F.
¡
1.3 Quelques cons¶equences des
Accroissements Finis
Corollaire 1.6.1. Soit f: [a;b] R continu et d¶erivable dans (a;b) tel que
!
f (x) = 0 pour tout x (a;b). Alors f est constante.
0
2
Demonstration. Fixons un c (a;b). Alors pour tout x [a;b], x = c,
2 2 6
il existe un » entre c et x tel que f(cc)¡xf(x) = f0(»). Mais f0(») = 0, donc
f(x) = f(c). ¡