mathematiques-premiere-annee-pcsi-ptsi-tout-en (PDF, 5.6 Mo)

605 Pages·2009·5.59 MB·French

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H PRÉPA TOUT EN UN
1
RE
ANNÉE
M ATHS
PC SI-PTSI
• Le cours : connaissances et méthodes
• De nombreux exercices corrigés
• Des extraits de concours
TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME !

Créditsphotographiques
Couverture:GettyImages/AKIRAINOUE
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Composition,miseenpageetschémas:Publilog
Maquetteintérieure:VéroniqueLefèbvre
Maquettedecouverture:GuylaineMOI
HACHETTELIVRE2008,43quaideGrenelle75905ParisCedex15
I.S.B.N. 978-2-0118-1332-9
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l’exploitationdudroitdecopie(20,ruedesGrands-Augustins,75006Paris),constitueraitdoncunecontrefaçonsanctionnéepar
lesarticles425etsuivantsduCodepénal.
Avant-propos
En proposant ici réuni en un seul ouvrage le programme de la première année PCSI et PTSI des Classes Préparatoires
auxGrandesEcoles,nousavonsvouluprivilégierlasimplicitéetlaconcision.Nousavonscherchépourchaquenouvelle
notion l’introduction laplussimple etlesdémonstrations lespluscompréhensiblespour ledébutant.Celivre ne sesub-
stituepasaucoursorald’unprofesseur,maisnousespéronsqu’ilconstituerapourl’étudiantunoutildetravailetderéférence.
Quelquesrepèrestypographiquesdoiventaiderlelecteur:
• touslesmotsnouveaux,définisaufildutexte,sontrepérésparunfondcoloréetsontrépertoriésdansl’index.
• lesrésultatsessentielsetlesénoncésdesthéorèmessontencadrés;lesdémonstrationssontclairementidentifiéespar
unfilet.
• lespartiesquinesontpasauprogrammedesétudiantsdePTSIn’ayantpaschoisil’optionPSIsontsignaléesparune
étoile.
• desapplicationsproposent,aufuretàmesure,dessituationsoùsontmisesenœuvrelesnotionsétudiées.
élit • unefiche-méthoderésume,enfindechapitre,lesprincipauxsavoir-faireindispensablespourlesexercices.
d
n • chaquechapitrecomporteunexercicerésoluquiproposeunesolutionrédigéeetcommentéed’unexerciceclassique.
u
est • lesexercicesdechaquechapitresontaccompagnésàlafindulivred’indicationsetréponsesquipeuventaller,suivantla
e
é
oris difficulté,d’unesimpleréponsenumériqueàunesolutiondétailléeenpassantparle«coupdepouce»souventnécessaire.
ut Cesélémentsderéponsen’ontévidemmentd’intérêtquepourlelecteurquiaeffectivementtravaillésurl’exerciceetqui
a
n
o veutvérifiersesrésultats.Ilsdoiventêtrelusdefaçonactive,lecrayonàlamain,etnesontjamaisdéfinitifs:c’estau
n
pie lecteurdeconclureet,s’illedésire,derédigercomplètementsasolution.
o
c
oto • nous avons choisi des exercices posés aux oraux des concours lorsque ceux-ci ne portent que sur le programme de
h
p PremièreAnnée,cequiesttoutdemêmeassezfréquent.
a
L
– Les programmes préconisant l’introduction du calcul formel, nous avons choisi de présenter tout au long de l’ouvrage
h
Mat l’utilisationd’unecalculatrice,enrepèranttouteslesfonctionsrelativesauxnotionsétudiéesetenlescomplétantéventuel-
a/ lementpardepetitsprogrammes.
p
é
Pr
H
– Nousremercionstousceuxquiontbienvoulunousfairebénéficierdeleursremarquesetdeleursconseils.
e
vr
Li
ette Lesauteurs
h
c
a
H

3
Sommaire
Avant-propos 3
Partie I : Programme de début d’année
1 Nombrescomplexes 7
2 Fonctionsusuelles 30
3 Équationsdifférentielleslinéaires 52
4 Géométrieélémentaireduplan 73
5 Courbesparamétrées 92
6 Coniques 108
7 Géométrieélémentairedel’espace 125
Partie II : Nombres et structures algébriques usuelles
8 Vocabulairerelatifauxensembles,auxapplicationsetauxrelations 146
9 Nombresentiers naturels–Combinatoire 164
10 Structures algébriquesusuelles 182
11 Espacesvectoriels 198
12 Polynômes 216
4
Sommaire
Partie III : Nombres réels, suites et fonctions
13 Nombresréels 230
14 Suites réellesetcomplexes 242
15 Fonctionsd’unevariableréelle 263
Partie IV : Calcul différentiel et intégral
16 Dérivation desfonctionsd’unevariableréelle 286
17 Intégrationsurunsegment 308
18 Intégralesetprimitives d’unefonctioncontinue 327
19 FormulesdeTaylor.Développements limités 342
20 Approximations 363
Partie V : Algèbre linéaire
21 Dimensiondesespacesvectoriels 379
22 Matrices 396
23 Rangd’unematriceetsystèmeslinéaires 418
24 Déterminants d’ordre2ou3 432
Partie VI : Espaces vectoriels euclidiens et géométrie euclidienne
25 Produitscalaire,espacesvectorielseuclidiens 448
élit
d
n 26 Automorphismesorthogonaux 462
u
est
ée 27 Transformationsduplanetdel’espace 476
oris
ut
a
on Partie VII : Espace R2 et géométrie différentielle
n
e
pi
o
c 28 Fonctionsdedeuxvariablesréelles 490
o
ot
h
p
a 29 Calculintégraletchampsdevecteurs 508
L
–
h
at 30 Étudemétriquedescourbesplanes 522
M
/
a
p
é
Pr Solutions 535
H
–
e
vr
Li Index 595
e
ett
h
c
a
H

5

1
Nombres
complexes
INTRODUCTION
(cid:3)(cid:2) (cid:5)
N
és de la résolution générale de l’équation du
troisième degré par Bombelli (1572) – voir
Exercice résolu – les nombres complexes sont long-
tempsconsidéréscommedecommodesintermédiaires
de calcul n’ayant pas d’existence propre. C’est Ha-
milton en 1837 qui donne pour la première fois une
construction satisfaisante des nombres complexes à
partir des couples de nombres réels.
L’intérêtmajeurducorpsdescomplexesrésidedansle
théorème de d’Alembert que nous évoquerons dans le
OBOJBEJCETCITFISFS
chapitre Polynômes (chapitre 12) : tout polynôme
non constant à coefficients complexes possède des ra-
• Réviser et enrichir les notions
vuesenTerminale. cines!Parailleurs,lesnombrescomplexesconstituent
• Préparer le cours d’algèbre en un outil commode en géométrie plane et en trigono-
donnant des premiers exemples
métrie.
destructures.
• Préparer le cours d’analyse, où
les fonctions pourront être aussi
bien à valeurs complexes que
réelles.
• Utiliser les nombres complexes
pourlatrigonométrie.
7