Mathématiques pour l'ingénieur : Rappels de cours, Méthodes, Exercices et problèmes avec corrigés détaillés PDF
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SCIENCES SUP Exercices Problèmes & Licence • Écoles d’ingénieurs MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR Rappels de cours Méthodes Exercices et problèmes avec corrigés détaillés Yves Leroyer Patrice Tesson MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR �Rappels de cours �Méthodes �Exercices et problèmes avec corrigés détaillés MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR Rappels de cours � Méthodes � Exercices et problèmes � avec corrigés détaillés Yves Leroyer Professeur à l’École Nationale Supérieure d’Électronique, d’Informatique et de Radiocommunications de Bordeaux (ENSEIRB) Patrice Tesson Professeur agrégé à l’École Nationale Supérieure d’Électronique, d’Informatique et de Radiocommunications de Bordeaux (ENSEIRB) Illustration de couverture : digitalvision® © Dunod, Paris, 2009 ISBN 978-2-10-053937-6 T ABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS viii NOTATIONS ix CHAPITRE1 OUTILSMATHÉMATIQUESDEBASE..................................... 1 • Rappels de cours.................................................................. 1 1.1 Rappels d’analyse 1.2 Les fonctions utilisées en physique 1.3 Les Sériesde Fourier 1.4 Les fonctions définies par des intégrales Énoncés des exercices............................................................. 9 Énoncés des problèmes........................................................... 13 Du mal à démarrer?.............................................................. 15 Corrigés des exercices............................................................. 17 Corrigésdes problèmes........................................................... 34 CHAPITRE2 TRANSFORMATIONDEFOURIER........................................ 41 • Rappels de cours.................................................................. 41 Énoncés des exercices............................................................. 43 Énoncés des problèmes........................................................... 45 élit Du mal à démarrer?.............................................................. 49 d n Corrigés des exercices............................................................. 50 u st e Corrigésdes problèmes........................................................... 58 e é s ori ut CHAPITRE3 TRANSFORMATIONDELAPLACE........................................ 66 a • n no Rappels de cours.................................................................. 66 e opi Énoncés des exercices............................................................. 68 c o hot Énoncés des problèmes........................................................... 70 p a L Du mal à démarrer?.............................................................. 73 – d no Corrigés des exercices............................................................. 75 u D © Corrigésdes problèmes........................................................... 84 Tabledesmatières CHAPITRE4 INTÉGRALESCOMPLEXES;THÉORÈMEDESRÉSIDUS...................... 95 • Rappels de cours.................................................................. 95 Énoncés des problèmes........................................................... 97 Du mal à démarrer?.............................................................. 102 Corrigésdes problèmes........................................................... 103 CHAPITRE5 DISTRIBUTIONS....................................................... 124 • Rappels de cours.................................................................. 124 Énoncés des exercices............................................................. 126 Énoncés des problèmes........................................................... 128 Du mal à démarrer?.............................................................. 131 Corrigés des exercices............................................................. 132 Corrigésdes problèmes........................................................... 139 CHAPITRE6 FILTRESETCAUSALITÉ................................................. 148 • Rappels de cours.................................................................. 148 Énoncés des problèmes........................................................... 149 Du mal à démarrer?.............................................................. 153 Corrigésdes problèmes........................................................... 154 CHAPITRE7 FONCTIONSDEBESSEL................................................ 165 • Rappels de cours.................................................................. 165 Énoncés des exercices............................................................. 166 Énoncés des problèmes........................................................... 169 Du mal à démarrer?.............................................................. 176 Corrigés des exercices............................................................. 177 Corrigésdes problèmes........................................................... 185 CHAPITRE8 FONCTIONSORTHOGONALES .......................................... 196 • Rappels de cours.................................................................. 196 Énoncés des problèmes........................................................... 197 Du mal à démarrer?.............................................................. 204 vi Tabledesmatières Corrigésdes problèmes........................................................... 205 CHAPITRE9 ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLESETÉQUATIONSAUXDÉRIVÉESPARTIELLES.... 221 • Rappels de cours.................................................................. 221 9.1 Les équations différentielleslinéaires 9.2 Équations aux dérivées partielles Énoncés des problèmes........................................................... 224 Du mal à démarrer?.............................................................. 229 Corrigésdes problèmes........................................................... 230 BIBLIOGRAPHIE 248 INDEX 249 vii A - VANT PROPOS Ce livre est un recueil d’exercices et de problèmes dans les grands secteurs des mathématiques pour l’ingénieur. Il s’adresse aux étudiants de troisième année de Licence de physique et d’EEA ainsi qu’aux élèves des écoles d’ingénieurs. Il est le fruit d’un enseignement de mathématiques pourl’ingénieurdispenséenpremièreannéedel’ÉcoleNationaleSupérieurd’Électronique,d’In- formatiqueetdeRadiocommunicationdeBordeaux(ENSEIRB). Nous avons pris le parti de privilégier l’exposé des méthodes de calcul et de recherche des solutionsenlaissantparfoislesoinaulecteurd’établirparlui-mêmelajustificationmathématique detelleoutelleétape(convergenceuniformed’intégralesoudeséries,permutationd’intégrales...). Dans la plupart des chapitres, des exercices permettent de se familiariser avec les méthodes de calcul.Lesproblèmessontplusstructurés,plusapprofondisetsurtoutorientésverslesapplications enphysiquedel’ingénieur.Certainspeuventconstituerdes«mini-projets»etêtrepoursuivispar descalculssurordinateur(ilestfaitréférencedansquelquesproblèmesàdesprolongementssous Maple). Lechapitre1rappelleetprésentedesnotionsquiserontutiliséesdanslasuitedel’ouvrage.La distributiondeDiracyestexposéeselonl’approche«phénoménologique»usuellepourlesphy- siciensquipermetuneutilisationsimpleetextensive.L’étudeplusrigoureusedesdistributionsfait l’objetduchapitre5(Distributions).Leschapitres2et3sontconsacrésauxtransformationsinté- grales de Fourier et de Laplace et à leurs applications en physique pour l’ingénieur, avec notam- ment au chapitre3 plusieurs problèmes sur l’étude des lignes de transmission. Le chapitre4 est consacréàl’étudedesfonctionsd’unevariablecomplexeavecuneorientationparticulièreversle calculd’intégrales.Cesnotionssurlesfonctionsanalytiquesintroduitesauchapitre4etsurlesdis- tributions étudiéesau chapitre5 trouventun prolongement au chapitre6 où elles sontappliquées à la description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener.LesfonctionsdeBessel,chapitre7,etlespolynômesorthogonaux,chapitre8,sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations aux dérivéespartielles(chapitre9). Cet ouvrage ne prétend pas à l’exhaustivité et certains domaines des mathématiques pour la physique n’y sont pas traités : la théorie des groupes dont les applications sont d’un niveautech- niqueplusavancé,lecalculmatricielquipourl’ingénieurressortmaintenantdavantageducalcul sur ordinateur avec des outils comme Matlab, le calcul variationnel, dont le champ d’application estplusrestreint. La plupart des exercices et problèmes originaux de cet ouvrage sont l’œuvre d’une longue collaboration au sein de laquelle nous tenons à remercier plus particulièrement Bernard Morand, MichelDaumens,MichelHontebeyrieetPierreMinnaert. N OTATIONS Espaces page N,Z Entiersnaturels,entiersrelatifs R,C Nombresréels,nombrescomplexes 1, 2 Fonctionssommables,decarrésommable 5 L L 1 Fonctionslocalementsommables 5 Lloc Fonctionsàdécroissancerapide 124 S Distributionstempérées 124 ′ S Fonctions u FonctionéchelondeHeaviside 4 ln,log Logarithmenépérien,logarithmecomplexe P Fonction«porte» 6 T L Fonction«triangle» 6 T sign Fonction«signe» 6 sinc Fonctionsinuscardinal 6 G,B Fonctionseulériennes 8 J ,N ,H FonctionsdeBessel,Neumann,Hankel 165 n n n I ,K FonctionsdeBesselmodifiées 165 n n Distributions T,f Actiond’unedistributionT surunefonctiontestf 124 ⟨ ⟩ d Dirac(distributionde,impulsionde) 6,124 PeignedeDirac 124 ⨿⨿ 1 1 Pf Pseudo-fonction 124 x x [f] Distributionrégulièreassociéeàlafonction f 124 Transformations , 1 TransformationdeFourierdirecte,inverse 41 − F F , 1 TransformationdeLaplacedirecte,inverse 66 − L L Divers z Conjuguécomplexedez fonctiondeclasseCk Fonctionk foiscontinuementdérivable 4 fonctiondeclasse Fonctionlocalementsommable 66 L etdeclasseexponentielle n 1 g = lim lnn Constanted’Euler= 0,577... n k=1 k − →∞! # n"! Cp = Coefficientdubinôme n p!(n p)! −
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